Sayı Dizisi Hesaplama: Aritmetik ve Geometrik Diziyi Ayırt Edin

Her düzen aynı türden değildir

3, 7, 11, 15 diye ilerleyen sayılarda her adımda 4 eklenir. 3, 6, 12, 24 dizisinde ise her terim 2 ile çarpılır. İki örnek de düzenlidir, fakat farklı kurallarla oluşur. Birincisi aritmetik dizi, ikincisi geometrik dizi örneğidir. Doğru hesap için önce hangi işlemin tekrarlandığını belirlemelisiniz. Sadece ilk ve son sayının büyüdüğüne bakmak bu ayrımı yapmaya yetmez.

Bu araç, başı ve kuralı sizin tarafınızdan verilen bir diziyi oluşturur. Rastgele yazılmış birkaç sayıdan tek doğru kuralı keşfettiğini iddia etmez. İlk terimi, ortak farkı veya ortak çarpanı ve kaç terim istediğinizi girersiniz. Sonuçta son terim, ilk n terimin toplamı ve bütün terimlerin sıralı tablosu gösterilir. Böylece yalnızca bir sayı değil, o sayıya götüren diziyi de kontrol edebilirsiniz.

Dört alanı doğru doldurun

Dizi türünde aritmetik veya geometrik seçeneğini seçin. “İlk terim” alanı dizinin birinci elemanıdır; bu uygulamada indis 1'den başlar. “Ortak fark / ortak çarpan” alanı seçtiğiniz türe göre anlam değiştirir. Aritmetikte buraya yazdığınız sayı eklenir, geometrikte ise onunla çarpılır. Son alan dizinin kaç terimini görmek istediğinizi belirtir.

Örneğin aritmetik tür, ilk terim 3, ortak fark 4 ve terim sayısı 5 için tablo 3, 7, 11, 15, 19 olur. Ana sonuç beşinci terim olan 19, toplam ise 55 çıkar. Terim sayısı 5 yazmak beş kez 4 eklemek değildir. İlk terim zaten listenin içindedir; beşinci terime ulaşmak için yalnızca dört geçiş yapılır.

Aritmetik dizide ortak farkı bulun

Ardışık iki terimin farkı sabitse aritmetik düzen vardır. 12, 17, 22, 27 örneğinde 17 − 12 = 5, 22 − 17 = 5 ve 27 − 22 = 5 olur. Ortak fark 5'tir. Birkaç geçişi kontrol etmek, yalnızca ilk iki sayıya bakmaktan daha güvenlidir. Çünkü her iki farklı sayı arasında bir fark bulunabilir; bu farkın bütün dizide korunması ayrıca gerekir.

Azalan dizide ortak fark negatiftir. 20, 17, 14, 11 dizisinde ortak fark −3'tür. Formda 3 yazarsanız azalan değil, artan bir tablo oluşturursunuz. Fark sıfır olduğunda ise dizi sabittir: 8, 8, 8, 8. Aritmetik dizi olmak için sayılar mutlaka büyümek veya pozitif olmak zorunda değildir.

Aritmetik dizinin n'inci terimi

İlk terim a₁, ortak fark d ve istenen sıra n ise aₙ = a₁ + (n − 1)d yazılır. Formüldeki n − 1, ilk terimden sonra kaç adım atıldığını anlatır. 3 ile başlayıp her adımda 4 eklenen dizinin beşinci terimi 3 + (5 − 1) × 4 = 19 olur. Birinci terim için n = 1 yazınca eklenen bölüm sıfır olur ve başlangıç değerine dönülür.

Daha uzun bir örnekte ilk terim 12, ortak fark 5 ve n = 20 olsun. On dokuz adımda toplam 95 eklenir; yirminci terim 107 çıkar. Bu hesabı yapmak için önceki on dokuz terimi tek tek yazmak gerekmez. Ancak öğrenme veya giriş kontrolü amacıyla birkaç başlangıç terimini yazmak, yanlış ortak farkı erken fark etmenizi sağlar.

Aritmetik toplamı çiftler üzerinden anlayın

3, 7, 11, 15, 19 dizisinde ilk ve son terimin toplamı 22'dir. İkinci ve sondan ikinci terimler de 7 + 15 = 22 eder. Ortadaki terim 11'dir; aynı toplamın yarısıdır. Beş terimin ortalaması 11 olduğundan toplam 5 × 11 = 55 çıkar. Bu simetri, toplam formülünün neden çalıştığını gösterir.

Genel ifade Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 şeklindedir. Son terim henüz bulunmadıysa yerine ilk terim ve ortak farkla yazılmış karşılığını koyabilirsiniz. Örneğin 12 ile başlayıp 5 artan yirmi terimin sonuncusu 107'ydi. Toplam 20 × (12 + 107)/2 = 1.190 olur. Son terim 107 ile bütün terimlerin toplamı 1.190 farklı soruların cevaplarıdır.

Geometrik dizide ortak çarpanı bulun

Ardışık terimlerin oranı sabitse geometrik düzen vardır; bölme yapılan önceki terim sıfır olmamalıdır. 5, 15, 45, 135 dizisinde 15/5 = 3 ve 45/15 = 3 olur. Ortak çarpan 3'tür. Her adımda 3 eklenmez; mevcut terim 3 ile çarpılır. Bu yüzden geometrik büyüme ile sabit miktarda artışı aynı hesap gibi ele almamak gerekir.

Ortak çarpan 1'den küçük ve pozitifse pozitif başlangıç değeri küçülür. 80, 40, 20, 10 dizisinde çarpan 0,5'tir. Çarpan −2 olduğunda ise işaretler değişerek ilerler: 3, −6, 12, −24. “Geometrik” sözcüğü tek başına sürekli artan bir dizi anlamına gelmez; çarpanın büyüklüğü ve işareti birlikte değerlendirilir.

Geometrik dizinin n'inci terimi

İlk terim a₁, ortak çarpan r ve sıra n için aₙ = a₁ × r^(n − 1) kullanılır. 3 ile başlayıp 2 ile çarpılan beş terimin sonuncusu 3 × 2⁴ = 48'dir. Tabloyu açarsanız 3, 6, 12, 24, 48 değerlerini görürsünüz. Üs yine geçiş sayısını ifade eder; terim sayısıyla doğrudan aynı değildir.

Çarpan 0 olduğunda ilk terim yerinde kalır, sonraki bütün terimler sıfır olur. Örneğin 7, 0, 0, 0 dizisi bu kurala uyar. İlk terim de sıfırsa bütün terimler sıfırdır. Sıfırlarla dolu bir listeden ortak çarpan çıkarmaya çalışmak farklı bir iştir; burada çarpanı siz verdiğiniz için üretim kuralı açıkça tanımlıdır.

Geometrik toplamı adım adım görün

3, 6, 12, 24, 48 dizisinin toplamı 93'tür. Toplamı S diye adlandırın ve bütün terimleri 2 ile çarpın: 2S, 6 + 12 + 24 + 48 + 96 olur. Bu ifadeden ilk toplamı çıkardığınızda ortadaki ortak terimler gider; 2S − S = 96 − 3 kalır. Böylece S = 93 elde edilir. Formül bu sadeleşmenin genel yazımıdır.

Ortak çarpan 1 değilse Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) kullanılabilir. Aynı formül pay ve paydanın işaretleri birlikte değiştirilerek de yazılır. r = 1 olduğunda bu ifade sıfıra bölme oluşturur, fakat dizinin toplamı tanımsız değildir. Bütün terimler a₁'e eşit olduğundan doğru toplam n × a₁ olur. Araç sabit diziyi ayrı bir hata gibi reddetmez.

Negatif çarpan toplamı küçültebilir

3, −6, 12, −24 dizisinin terim büyüklükleri artar, ancak toplam −15'tir. Pozitif ve negatif terimler birbirini kısmen götürür. “Son terimin büyüklüğü arttıysa toplam da mutlaka büyür” düşüncesi bu nedenle yanlıştır. Ana sonuç −24, toplam −15 olarak gösterilir; ikisi de kendi tanımı içinde doğrudur.

Çarpan −1 ise 5, −5, 5, −5 şeklinde salınım oluşur. Çift sayıda terimin toplamı sıfır, tek sayıda terimin toplamı başlangıçtaki 5 olur. Bu örnek, işaret ve terim sayısının birlikte neden önemli olduğunu gösterir. Hesapta mutlak değer almanız istenmiyorsa negatif terimleri pozitif yaparak toplamayın; o işlem farklı bir toplam üretir.

Günlük birikim örneğinde tür seçimi

Her ay bir önceki aydan 100 TL daha fazla para ayırdığınızı düşünün. İlk ay 500 TL ayırıyorsanız aylık katkılar 500, 600, 700 şeklinde ilerler. Bu, katkı tutarlarının aritmetik dizisidir. On ikinci ayın katkısı 1.600 TL, on iki katkının toplamı 12 × (500 + 1.600)/2 = 12.600 TL olur. Burada faiz veya yatırım getirisi hesaplanmaz.

Buna karşılık bir miktar her dönemde yüzde 10 büyüyorsa dönemler arasındaki çarpan 1,10'dur. 1.000 TL başlangıcın ardından 1.100 ve 1.210 TL gelir. Bu, ayrı para yatırmalarının toplamı değil, aynı tutarın dönem sonu değerleridir. Bu değerleri toplamak toplam serveti vermez; aynı parayı farklı tarihlerde tekrar saymış olursunuz. Gerçek bir katkılı büyüme senaryosu için düzenli birikim aracını kullanın.

Yüzde oranını çarpana dönüştürün

Yüzde 20 artış, geometrik çarpan alanına 20 veya 0,20 yazmak değildir. Önce başlangıçtaki yüzde 100'ü koruyup artışı ekleyin: çarpan 1 + 20/100 = 1,20 olur. Yüzde 20 azalışta ise çarpan 1 − 20/100 = 0,80'dir. Artışla azalışı aynı pozitif sayı şeklinde yazmak, dizinin yönünü değiştirebilir.

Örneğin 100 değerine art arda yüzde 20 artış ve yüzde 20 azalış uygulanırsa 100 × 1,20 × 0,80 = 96 elde edilir. Başlangıca dönülmez. Ayrıca bu örnekte iki adımın çarpanı farklı olduğu için tek ortak çarpanlı geometrik dizi seçimi bütün süreci modellemez. Araç sabit bir çarpan kullanır; her dönemin oranını ayrı ayrı belirleme alanı yoktur.

Terim sırası ile geçen süreyi ayırın

Birinci terimi bugünkü tutar olarak seçtiyseniz ikinci terim bir dönem sonrası, on üçüncü terim on iki dönem sonrası olur. Birinci terimi ilk ayın sonu olarak tanımladıysanız zaman çizelgesi farklılaşır. Matematiksel indisler aynı görünse de ekonomik yorum değişebilir. Sorununuzdaki “başlangıç”, “ilk dönem sonu” ve “kaç dönem sonra” ifadelerini formu doldurmadan önce açıklığa kavuşturun.

Aynı dikkat toplamda da gerekir. İlk on iki dönem sonu değerini istemekle bugünkü değerden başlayarak on iki terim istemek aynı aralık değildir. Araç her zaman girdiğiniz ilk terimi toplama dahil eder. Başlangıç değerinin hariç tutulduğu bir soru için uygun ilk dönem değerini hesaplayıp ilk terim olarak onu kullanmalısınız.

Girdi sınırları ve sayısal hassasiyet

Bu sürüm 1 ile 1.000 arasında terim üretir. İlk terimin mutlak değeri en fazla bir trilyon, fark veya çarpanın mutlak değeri en fazla bindir. Geometrik diziler bu sınırlar içinde bile çok hızlı büyüyebilir. Sonuç sayısal temsil sınırını aşarsa araç sonsuz bir değeri gerçek sonuç gibi göstermeden işlemi reddeder. Terim sayısını azaltmak hesabın kapsamını da değiştirir; eksik tabloyu tam sonuç diye kullanmayın.

Hesaplar bu araçta kayan noktalı sayılarla yapılır. Ondalık girişlerde çok küçük yuvarlama farkları bulunabilir; ekrandaki gösterim de ayrıca yuvarlanır. Çok büyük tamsayılar için son basamağa kadar kesinlik sözü verilmez. Tam kesir veya sembolik dizi işlemi gerekiyorsa bu sınırlı sayısal aracın ötesinde bir yöntem seçilmelidir. Sonuç panelindeki son terim, toplam ve ilk birkaç tablo satırını birlikte kontrol etmek iyi bir başlangıçtır.

Başlangıç değeri verilmemişse nasıl hazırlanırsınız?

Soruda aritmetik dizinin onuncu teriminin 38 ve ortak farkının 4 olduğu söylensin. Birinci terimden onuncuya dokuz geçiş vardır. Bu nedenle başlangıç değerini 38 − 9 × 4 = 2 olarak bulursunuz. Forma ilk terim 2, fark 4 ve terim sayısı 10 yazdığınızda sonucun yeniden 38 çıkması gerekir. Böylece tersine yaptığınız hazırlık hesabını ileri yönde doğrulamış olursunuz.

Geometrik örnekte dördüncü terim 54 ve ortak çarpan 3 olsun. İlk terime dönmek için üç kez üçe bölünür: 54/3³ = 2. İlk terim 2, çarpan 3 ve dört terim seçildiğinde 2, 6, 18, 54 dizisi oluşur. Ancak çarpan sıfırsa sıfır çıkan sonraki terimden başlangıç değeri tek başına bulunamaz; çok sayıda başlangıç aynı devamı verir.

Bu arayüz bilinmeyen ilk terimi otomatik çözen ayrı bir mod içermez. Ön hazırlığı doğru yapıp bulunan değeri girmeniz gerekir. Bilgilerin yeterli olmadığı bir soruda eksik alanı tahmin ederek doldurmak, hesap makinesinin eksik bilgiyi tamamladığı anlamına gelmez. Varsayım yaptıysanız onu sonucun yanında açıkça belirtin.