Fibonacci dizisinde kural kısa: Her yeni sayı, hemen önceki iki sayının toplamıdır. Bu sayfada başlangıç değerleri 0 ve 1’dir. Böylece dizi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… diye devam eder. Yalnızca bu kuralı bilerek sonraki sayıları üretebilirsiniz; bir formül ezberlemek zorunda değilsiniz.
Hesaplayıcı sizden aradığınız sayının sıra numarasını ister. Numaralama 0’dan başladığı için bu ayrıntı önemlidir. Kutuda 10 yazdığınızda 55 bulunur. Sonuçla birlikte bir önceki sayı, bir sonraki sayı, başlangıçtan seçtiğiniz numaraya kadar toplam ve kısa bir başlangıç tablosu gösterilir. Bunların her biri farklı bir soruya cevap verir.
Sayı ile sıra numarası aynı şey değildir
Diziyi bir adres defteri gibi düşünün. Bir sütunda adres, yanında o adreste bulunan değer vardır. 0 numaranın değeri 0, 1 numaranın değeri 1, 2 numaranın değeri yine 1’dir. 3 numaraya geçtiğinizde 2, 4 numarada 3 ve 5 numarada 5 bulunur. Bazı küçük numaralar kendi değeriyle aynı görünebilir; bu genel kural değildir.
Örneğin 8 numaralı değer 21’dir. 21 numaralı değeri sormak ise başka bir sorudur; cevap 10.946 olur. Elinizdeki bir sayının dizide bulunup bulunmadığını öğrenmek istiyorsanız bu, sıra numarasından değer bulmanın tersidir. Bu araç böyle bir arama yapmaz. Kutudaki sayıyı doğrudan istenen sıra numarası olarak okur.
İlk değerleri birlikte oluşturalım
Başlangıçta iki değerimiz var: 0 ve 1. Sonraki sayı 0 + 1 = 1 olur. Artık son iki değer 1 ve 1’dir; bunları toplarız ve 2 elde ederiz. Ardından 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 gelir. Her adımda bütün önceki sayıları değil, yalnızca son iki değeri kullanırız.
Bu nedenle 8’den sonraki sayıyı bulurken 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 toplamını yapmayız. Gereken işlem 5 + 8 = 13 olur. Bütün başlangıç değerlerinin toplamı başka bir sonuçtur ve panelde ayrı gösterilir. Diziyi üretme kuralını toplam alma işlemiyle karıştırmak, ilk birkaç değerden sonra yanlış bir liste oluşturur.
F işareti ne anlatıyor?
Matematikte F₁₀ yazımı, “10 numaralı Fibonacci sayısı” demektir. Buradaki küçük 10, bir kuvvet değildir. F₁₀ = 55 ifadesi, 10 numaranın karşısında 55 bulunduğunu söyler. F₁₁ = 89 ve F₁₂ = 144 olur. Aradaki ilişki 55 + 89 = 144 şeklinde kontrol edilebilir.
Dizinin genel kuralı Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ diye yazılır. Bu uzun görünse de anlamı sadece “aranan sayı, önceki iki sayının toplamı”dır. Araçta bu harfleri yazmanız istenmez. Örneğin 12 numaralı değeri görmek için kutuya 12 yazarsınız; sonucunda 144 ve komşu değerler görünür.
Neden bazı listeler 1, 1 ile başlıyor?
Bazı anlatımlarda baştaki 0 gösterilmez ve dizi 1, 1, 2, 3, 5… diye yazılır. Bu, mutlaka farklı bir sayı dizisi kullanıldığı anlamına gelmez. Gösterilen listenin hangi numaradan başladığını kontrol etmek gerekir. Burada 0 numara ayrıca yer alır; 1 numara ve 2 numara 1’dir.
“İlk on sayıyı göster” ile “10 numaralı sayıyı bul” bu yüzden farklıdır. Sıfırdan başlayan ilk on değer, 0’dan 9’a kadardır ve 34 ile biter. 10 numaraya kadar giderseniz toplam on bir değer görür, son değer olarak 55’e ulaşırsınız. Başka bir kaynağın sonucuyla karşılaştırırken yalnızca sayı adedini değil, başlangıç numarasını da aynı yapın.
20 numaralı değeri ve komşularını okuyalım
Kutuda 20 yazdığınızda 6.765 sonucu elde edilir. Bir önceki değer 4.181, bir sonraki değer 10.946 olur. Kontrol için 4.181 + 6.765 = 10.946 işlemini yapabilirsiniz. Sonuçta gösterilen rakam sayısı dört, yani 6.765 değerini yazmak için dört rakam gerekir; nokta bir rakam sayılmaz.
Aynı panelde görülen 17.710 ise 0 numaradan 20 numaraya kadar bütün değerlerin toplamıdır. 6.765 ile aynı şeyi anlatmaz. Bir çalışma kâğıdında istenen tek terimse 6.765 kullanılmalıdır. “Başlangıçtan bu numaraya kadar toplam” soruluyorsa 17.710 gerekir. Sonuç başlıklarını okumak, doğru sayıyı yanlış yere taşımayı önler.
Başlangıçtan belli bir numaraya kadar toplam
Fibonacci değerlerini toplamak için tek tek ekleyebilirsiniz. Örneğin 0’dan 5’e kadar 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 olur. Aynı toplamı daha kısa bir bağlantıyla da buluruz: Aranan numaradan iki sonraki değeri alıp 1 çıkarırız. 5 için iki sonraki numara 7’dir; F₇ = 13, dolayısıyla 13 − 1 = 12.
Bu ilişkinin nedeni, her Fibonacci sayısının iki sonraki sayı ile bir sonraki sayının farkı olmasıdır. Fₙ₊₂ − Fₙ₊₁ = Fₙ yazımını başlangıçtan itibaren topladığınızda ara değerler birbirini götürür. Sonuç F₀ + … + Fₙ = Fₙ₊₂ − 1 olur. Araç toplamı bu ilişkiyle hesaplar; yuvarlanmış bir yaklaşık formül kullanmaz.
Büyük numaralar neden çok uzun sonuçlar verir?
Her adımda son iki pozitif değer toplandığından sayılar büyür. Artış sabit değildir; önceki birikim de sonraki adıma taşınır. Örneğin F₁₀ = 55, F₂₀ = 6.765, F₅₀ = 12.586.269.025 olur. Sıra numarasını beş katına çıkarmak değeri yalnızca beş katına çıkarmaz.
F₁₀₀ = 354224848179261915075 değerinin 21 rakamı vardır. Bu kadar uzun sayıları standart yaklaşık sayı biçimleriyle saklarken son rakamlar kaybolabilir. Bu araç terimleri tam sayı aritmetiğiyle hesaplar; gösterilen rakamların tamamını korur. Ancak desteklenen en büyük numara 5000’dir. Daha büyük numaralarda tahmin üretmek yerine giriş sınırı açıklanır.
Kısa tablo bütün hesabın yapılmadığını mı gösteriyor?
Hayır. Sonuç tablosu 0 numaradan başlayarak en fazla 30 numaraya kadar gösterilir. Dolayısıyla tabloda en fazla 31 satır bulunur. Bu sınır, bir sayfada binlerce satır okumak zorunda kalmamanız içindir. Seçtiğiniz numaranın değeri, komşuları ve toplamı yine tam olarak hesaplanır.
100 numarayı seçtiğinizde tablo 30’da bitti diye 100 numaralı sayının yaklaşık alındığını düşünmeyin. Kısa tablo başlangıç kuralını gösteren bir yardımcıdır. Üstteki uzun sonuç ise sorduğunuz numaraya aittir. Herhangi bir örnek düğmesini kullanırken alanın hangi numaraya değiştiğini de görebilirsiniz; önceki sonucun yeni girişe aitmiş gibi ekranda kalmaması gerekir.
Merdiven sorusuyla bağlantı kurabilir miyiz?
Her hamlede bir veya iki basamak çıktığınız bir merdiven düşünün. Beş basamağa ulaşan yolların son hamlesi ya bir basamak ya da iki basamaktır. Son hamle bir basamaksa öncesinde dördüncü basamakta, iki basamaksa üçüncü basamakta bulunmanız gerekir. Bu nedenle yol sayıları da önceki iki sonucun toplamıyla ilerler.
Ancak başlangıçları doğru seçmeliyiz. Sıfır basamağı çıkmanın bir boş yolu, bir basamağı çıkmanın bir yolu vardır. Bu problemde beş basamak için cevap 8, yani F₆ olur; doğrudan F₅ = 5 kullanılmaz. Benzer toplama kuralı, her soruda aynı sıra eşlemesini verecek demek değildir. Nesnelerin ve başlangıç koşullarının ne olduğunu ayrıca tanımlayın.
Tek ve çift değerlerdeki düzen
İlk değerleri işaretleyelim: 0 çift, 1 tek, 1 tek, 2 çift, 3 tek, 5 tek, 8 çift. Bu düzen üç numarada bir tekrarlanır. Bunun nedeni toplamadaki kurallardır: tek ile tek çift; çift ile tek tek; tek ile çift yine tek olur. Böylece çift, tek, tek döngüsü sürer.
Bu gözlem küçük kontrol soruları için kullanışlıdır. Örneğin 12 numara 3’ün katı olduğundan F₁₂ çifttir; 144 sonucu bunu doğrular. F₁₀ ise 55 ve tektir. Ancak tek olmak, asal olmak demek değildir. 55’in 5 ve 11 çarpanları vardır. Dizideki sayıları başka bir özelliğe göre değerlendirirken o özelliğin ayrıca incelenmesi gerekir.
Altın oranla bağlantı sonucu nasıl etkiler?
Ardışık pozitif Fibonacci sayılarının büyük olanını küçüğe bölerseniz oran giderek yaklaşık 1,618 değerine yaklaşır. Örneğin 34/21 ≈ 1,61905, 55/34 ≈ 1,61765 olur. Bu iki değer aynı değildir; biri yaklaşımın bir tarafında, diğeri öbür tarafındadır. Sonlu sıradaki oranı tam altın oran diye yazmak doğru olmaz.
Hesaplayıcı uzun terimleri üretmek için bu yaklaşık oranı tekrar tekrar çarpmaz. Öyle bir yöntem, yuvarlama farklarını büyütüp son rakamları değiştirebilir. Araç tam toplama ilişkilerini kullanır. Altın oran bağlantısı diziyi anlamak için yararlıdır; bir fiyatın gelecekte ne olacağına veya bir tasarımın otomatik olarak daha iyi olacağına karar vermez.
Kendi başlangıçlarınız varsa ne yapmalısınız?
Başlangıç değerlerini 2 ve 3 seçip aynı toplama kuralını uygularsanız 2, 3, 5, 8, 13… elde edersiniz. Görünen sayılar tanıdık olsa da sıra numaralarının karşılıkları bu sayfadaki 0 ve 1 başlangıcından farklıdır. Bu araç başlangıçları değiştirmenize izin vermez; tanımını sabit tutar.
Bir çalışma sorusunda iki başlangıç farklı verilmişse önce o başlangıçlara göre ilerleyin. Aynı şekilde her adımda üç önceki değerin toplamı isteniyorsa artık burada kullanılan iki terimli kural değildir. Adında “dizi” geçmesi, her sayı listesinin aynı hesaplayıcıyla çözülebileceği anlamına gelmez. Sorunun yinelemesini ve başlangıç değerlerini birlikte okumak gerekir.
Sonucu kendi çalışmanızda kullanırken
Sonucun yanına “F₀=0 ve F₁=1 kabulüyle F₂₀=6765” gibi bir not eklemek, başlangıç belirsizliğini ortadan kaldırır. Toplam soruluyorsa numara aralığını da yazın: “0’dan 20’ye kadar, uçlar dahil toplam 17710.” Böylece okuyucu tek değeri toplamla veya ilk yirmi öğeyi 20 numarayla karıştırmaz.
Uzun rakam dizilerini başka bir uygulamaya yapıştırdığınızda o uygulamanın veriyi değiştirmediğini kontrol edin. Çok uzun sonuçlar metin olarak korunabilir; daha kısa bilimsel gösterim bütün rakamları göstermez. Bu sayfa tam terimi hesaplamak için uygundur, bütün olası dizi problemlerini veya bir metinde anlatılmış uygulamanın koşullarını otomatik çözmek için değil.
Kendi kontrol tablonuzu kurun
Bir kâğıtta üç sütun açabilirsiniz: numara, değer ve kontrol. İlk satıra 0, 0, başlangıç, ikinci satıra 1, 1, başlangıç yazın. Üçüncü satırdaki numara 2 olur; değer kısmına önceki iki değerin toplamı olan 1’i yerleştirin. Her satırda numara yalnızca bir artarken değerler toplama kuralıyla değişir. İki sütunun aynı hızda ilerlemesini beklemeyin.
7 numaraya geldiğinizde 13; 8 numarada 21; 9 numarada 34 bulunmalıdır. Eğer 7 numarada 21 görüyorsanız toplama hesabınız doğru olsa bile numaralama bir satır kaymış olabilir. Önce başlangıç satırına dönüp sıfırın hangi numaraya yazıldığına bakın. Bir hata bulduğunuzda yalnızca son değeri düzeltmek yetmez; yanlış satırdan sonraki değerler de ona bağlıdır.
Toplama kuralı ile sabit artış farklıdır
Bir aritmetik dizide her adımda aynı miktar eklenir. Örneğin 3, 6, 9, 12 listesinde fark hep 3’tür. Fibonacci dizisinin 3, 5, 8, 13 bölümünde ise farklar 2, 3 ve 5 olur. Tek bir sabit fark arayıp bütün sırayı onunla üretmek mümkün değildir. Yeni artış, dizinin önceki değerlerinden geldiği için değişir.
Aynı şekilde her adımda sabit bir sayıyla çarpma da yapılmaz. 8/5 ve 13/8 oranları farklıdır. Büyük numaralarda oranların birbirine yaklaşması, başlangıçtan sona aynı çarpanın kullanıldığı anlamına gelmez. “Önceki iki sayıyı topla” kuralını koruduğunuzda hem küçük hem büyük terimler aynı tanımla elde edilir. Başka bir dizinin formülünü yalnızca benzer göründüğü için kullanmak bu tutarlılığı bozar.