Korelasyon ve Doğrusal Regresyon: İlişkiyi ve Doğruyu Ayrı Okuyun

İki sayı sütunu birlikte değişiyor gibi göründüğünde, bu değişimin yönünü ve doğrusal özetini aynı hesapta inceleyebilirsiniz. Pearson korelasyonu r, doğrusal ilişkinin yönünü ve büyüklüğünü birimsiz bir katsayıyla gösterir. En küçük kareler regresyonu ise x değerinden y için bir doğru kurar. Bu hesaplayıcıya aynı gözleme ait x ve y sayılarını çiftler halinde yazın; eğimi, sabit terimi, r değerini ve R² sonucunu birlikte okuyun.

Ana sonuç seçiminde varsayılan olarak regresyon doğrusunun eğimi gösterilir. “Pearson korelasyonu r” seçeneğine geçerseniz ana sayı r olur; diğer sonuç satırları hesapta kalır. Böylece eğim ile korelasyonu birbirine karıştırmadan inceleyebilirsiniz. İsterseniz belirli bir x için doğrunun y değerini de hesaplatabilirsiniz. Bu son sayı yeni bir gözlem veya güven aralığı değildir; kurulan doğru üzerinde bulunan bir model değeridir.

Gözlemleri nasıl hazırlamalısınız?

Her satır aynı gözleme ait iki bilgiyi içerir: önce x, ardından y. Örneğin birinci gözlem 1 ve 3 ise hazır listeye 1; 3 yazılır. Bir sonraki çift yeni satıra geçer. Formda ayrı kutular kullanırken de eşleşmeyi koruyun. x sütununu tek başına küçükten büyüğe sıralamak, y sütununu yerinde bırakmak çiftleri değiştirir; elde edeceğiniz sonuç artık özgün gözlemlerinizin hesabı olmaz.

Her sütunda aynı ölçü birimini kullanın. x metre cinsindeyse bütün x değerleri metre olmalı; y saniye cinsindeyse bütün y değerleri saniye olmalıdır. Araç sütunların birimini kendiliğinden belirlemez veya dönüştürmez. Her çift eşit ağırlıkla hesaba katılır. Bir değerin tekrar yazılması ayrıca bir gözlem olarak sayılır; form tekrarları, eksik kayıtları veya aykırı görünen sayıları kendiliğinden temizlemez.

Pearson r hangi soruyu cevaplar?

Değişken sütunlarda r, −1 ile 1 arasındadır. Pozitif değer, x arttığında y'nin doğrusal özette artma yönünü; negatif değer azalma yönünü anlatır. |r| bir değerine yaklaştıkça çiftler bir doğru çevresinde daha sıkı dizilir. r'nin sıfır olması yalnızca bu doğrusal özetin sıfır olduğu anlamına gelir. Veride eğrisel bir düzen, gruplar veya başka bir ilişki bulunmadığını kanıtlamaz.

Pearson katsayısı ortalamalardan sapmaların çapraz toplamını iki sütunun sapma büyüklükleriyle ölçekler. Formülde Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), Sxx = Σ(x − x̄)² ve Syy = Σ(y − ȳ)² kullanılır; r = Sxy / √(Sxx × Syy) olur. NIST Dataplot korelasyon belgesi bu tanımı verir. Sütunlardan biri sabitse paydadaki değişim sıfır olur ve Pearson r tanımlanamaz.

Regresyon doğrusunun yönünü belirleyin

Bu form y üzerine x doğrusu kurar: ŷ = a + b × x. Burada b eğim, a sabit terimdir. Eğim, x bir birim değiştiğinde doğru üzerindeki y'nin kaç birim değiştiğini gösterir. Eğim birimi y birimi / x birimidir. Sabit terim x sıfırken doğrunun y değeridir. Veride sıfıra yakın x bulunmuyorsa sabit terime gerçek bir gözlem anlamı yüklemeyin.

En küçük kareler yöntemi, gözlenen y ile doğru üzerindeki ŷ arasındaki farkların kareleri toplamını en küçük yapan a ve b değerlerini seçer. b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b × x̄ bağıntıları kullanılır. NIST İstatistik El Kitabı'nın en küçük kareler bölümünde bu doğru ve katsayılar açıklanır. Araç kesişim içeren basit modeli kullanır; doğrunun başlangıç noktasından geçmesi şartı ayrıca uygulanmaz.

Örnek 1: Artan ve tam doğrusal üç çift

Gözlemler 1; 3, 2; 5 ve 3; 7 olsun. x ortalaması 2, y ortalaması 5'tir. x sapmaları −1, 0, 1; y sapmaları −2, 0, 2 olur. Sxx = 2, Syy = 8 ve Sxy = 4 bulunur. Eğim 4 / 2 = 2, sabit terim 5 − 2 × 2 = 1 olur. Kurulan doğru ŷ = 1 + 2x şeklindedir.

Pearson r = 4 / √16 = 1 ve R² = 1 çıkar. Üç çift bu doğru üzerinde olduğu için sonuç bu örnekte tamdır. “Yazdığım x için modelin y değerini bul” seçeneğini açıp 2,5 yazarsanız ŷ = 1 + 2 × 2,5 = 6 bulunur. 2,5, gözlenen 1–3 aralığındadır. Bu işlem yalnızca doğru üzerinde bir noktayı hesaplar; 2,5 için yeni bir ölçüm yapıldığını söylemez.

Örnek 2: Azalan ilişki

Bu kez 1; 6, 2; 4, 3; 2 çiftlerini kullanın. x ortalaması 2, y ortalaması 4'tür. Eğim −2, sabit terim 8 bulunur; doğru ŷ = 8 − 2x olur. Pearson ana sonuç seçildiğinde r = −1 görünür. R² yine 1'dir, çünkü r'nin karesi negatif işareti içermez. Yönü okumak için r veya eğim satırına bakmanız gerekir.

Bu örnekte x 1,5 için model y değeri 5 olur. x 10 yazarsanız aynı doğru matematiksel olarak −12 verir; fakat 10, gözlenen 1–3 aralığının dışındadır. Form bu durumu ayrıca belirtir. Sonucun bir formülle hesaplanabiliyor olması, doğruyu verinin dışına uzatmanın gerçek bağlamda uygun olduğunu göstermez. Birim, gözlem koşulları ve değişkenlerin anlamı ayrıca değerlendirilmelidir.

Örnek 3: y sütunu sabit

Çiftler 1; 5, 2; 5 ve 3; 5 olsun. x değişir, y değişmez. En küçük kareler doğrusu yataydır: ŷ = 5, eğim 0 ve sabit terim 5'tir. Aynı veride Pearson r ile R² tanımsız gösterilir. Bunun nedeni y sapmalarının tamamının sıfır olmasıdır. Bu sonuçları r = 0 olan değişken bir veriyle aynı kabul etmeyin; iki durumun anlamı farklıdır.

Pearson ana seçiminde bu örnek için bir sayı yerine açıklama görünür. Regresyon ana seçiminde ise yatay doğrunun geçerli eğimi olan 0 gösterilir. Seçilen x için modelin y değeri 5'tir. SciPy Pearson işlev belgesi de sabit girdide korelasyon katsayısının tanımlanmadığını açıklar. Form bu ayrımı koruyarak sayısal bir sıfırla tanımsız hesabı birbirine karıştırmanızı önler.

Sabit x neden farklı ele alınır?

Bütün x değerleri aynıysa Sxx sıfırdır. Bu durumda x değişiminin y değişimiyle ilişkisini gösteren tek bir eğim bulunamaz. Örneğin 1; 2 ve 1; 4 için iki nokta aynı x üzerindedir; y farklıdır. Pearson r de sabit x nedeniyle tanımsızdır. Araç bu girdi için sonuç üretmez, gözlem alanını işaretler ve en az iki farklı x gerektiğini açıklar.

Tekrarlanan x değerleri tümden yasak değildir. Örneğin 1; 2, 1; 3, 2; 5 çalışır, çünkü x sütununda en az iki farklı değer bulunur. Aynı x'e ait birden fazla y gözlemi verinizin parçası olabilir. Bunları ortalamaya indirip tek satır yapmak, ağırlıkları değiştirir. Böyle bir düzenlemeyi ancak verinin amacı ve kayıt yöntemi bunu gerektiriyorsa yapın; form her yazılan çifti eşit sayar.

R² sonucunu kapsamıyla okuyun

Bu araçta iki sütun da değişiyorsa, kesişim içeren basit en küçük kareler modeli için R² = r² gösterilir. İşaret ortadan kalktığı için pozitif ve negatif tam doğrusal örneklerin ikisinde de 1 çıkar. R²'nin büyük olması nedensellik, doğru örneklem seçimi, geçerli gelecek öngörüsü veya küçük ölçüm hatası hakkında ayrı bir doğrulama değildir. Sonucu hangi gözlemlerle elde ettiğinizi yanında tutun.

Örneğin x değerleri −2, −1, 0, 1, 2; y değerleri 4, 1, 0, 1, 4 olsun. Açık bir eğrisel düzen vardır, fakat simetri nedeniyle Pearson r = 0 ve bu doğrunun R² değeri 0 çıkar. Eğim 0, sabit terim 2 olur. Dolayısıyla bu iki katsayıyla bütün ilişkileri aramaya çalışmayın. Sonuç, seçilen doğrusal özetin ne gösterdiğini anlatır; farklı bir modelin uygunluğunu kendiliğinden değerlendirmez.

Sütunları değiştirirseniz ne olur?

x ile y'nin yerini değiştirmek Pearson r'yi değiştirmez. Buna karşılık regresyon artık x üzerine y yönünde kurulmuş olur ve katsayılar değişebilir. Genellikle yeni eğimi eski eğimin tersi alarak bulamazsınız. İlk örnekte tam doğrusal veri nedeniyle eğimler 2 ve 0,5 olur; fakat çiftler tam doğru üzerinde olmadığında bu karşılıklılık korunmaz. Her hesapta hangi değişkenin açıklayıcı olduğunu açıkça belirleyin.

Sütunlardan birinin birimini pozitif bir çarpanla değiştirmek r'yi korur; eğimin birimi ve sayısı değişir. Örneğin x'i metre yerine santimetre yazmak aynı x değerlerini yüzle çarpar. y aynı kalırsa eğim yüzde bire iner. Tek sütunun işaretini tersine çevirmek r ve eğimin işaretini değiştirir. Bu kontroller, birimsiz korelasyon ile birime bağlı doğrunun katsayılarını ayırmanıza yardımcı olur.

Tam doğru üzerinde olmayan örneği kontrol edin

Formun başlangıç listesindeki 1; 2, 2; 4, 3; 5, 4; 8 çiftleri tek bir doğruya tam oturmaz. Eğim 1,9 ve sabit terim 0'dır. Doğrunun bu dört x için verdiği y değerleri sırasıyla 1,9; 3,8; 5,7 ve 7,6 olur. Gözlenen y'den model değerini çıkarınca artıklar 0,1; 0,2; −0,7; 0,4 bulunur. Bu farklar aynı birimde okunur; Pearson katsayısının kendisi ise birimsizdir.

Artıkların kareleri toplamı 0,01 + 0,04 + 0,49 + 0,16 = 0,7'dir. y değerlerinin kendi ortalamaları olan 4,75 çevresindeki kare sapmalar toplamı 18,75 olur. Bu örnekte 1 − 0,7 / 18,75 = 0,962666… sonucu, gösterilen R² ile uyuşur. Pearson r yaklaşık 0,981156'dır. Artıkların sıfır olmaması hesap hatası değildir; en küçük kareler doğrusu her çifti zorunlu olarak kesmez.

Bu kontrol, tek bir yüksek katsayıyla veri listesinin bütün özelliklerini anlatmaya çalışmamanızı sağlar. Hangi gözlemde farkın daha büyük olduğuna bakabilirsiniz, ancak bu farkın nedenini yalnızca katsayılardan çıkaramazsınız. Örneğin −0,7 artığı kayıt hatası, özel bir koşul veya olağan değişim olarak sınıflandırmak için gözlemin bağlamı gerekir. Form bu sınıflandırmayı yapmaz; sayıların hesabını ve kullanılan modelin kapsamını görünür tutar.

Büyük sayılarda küçük farkları koruyun

Bir sütundaki sayılar birbirine çok yakın ama ortak başlangıçları büyük olabilir. Örneğin 999999999999997, 999999999999998 ve 999999999999999 değerlerinin her birine 1 eklenmiş y gözlemleri, eğim 1 ve sabit terim 1 verir. Yalnızca büyük sayıların toplamlarını birbirinden çıkaran bir hesap, küçük farkları kaybedebilir. Bu araç normalize edilmiş ondalık sayılarda ortalamaları ve merkezlenmiş toplamları kesir aritmetiğiyle kurar; katsayıları sonunda yaklaşık sayıya çevirir.

Bu yöntem, girdinin başta nasıl okunduğunu değiştirmez. Form sonlu sayıları tarayıcının sayı aralığında okur; bir sayı kutusuna çok sayıda ondalık basamak yazmak bu basamakların tümünün ölçüm hassasiyetiyle korunacağını garanti etmez. Her sayının mutlak büyüklüğü en fazla bir katrilyondur ve hücre başına en fazla 80 karakter kabul edilir. Küçük ondalıklar için virgül kullanın; 1e3 gibi üslü yazımlar girdi alanında kabul edilmez.

Model değeri ve sınır bilgisi

Tahmin seçeneğinde x yazıldığında ŷ = ȳ + b × (x − x̄) eşdeğer bağıntısı kullanılır. Bu, aynı doğrunun daha uygun biçimde hesaplanmasını sağlar. Seçilen x'in verideki en küçük ve en büyük x arasında olup olmadığı sonuçta gösterilir; iki uç da aralığa dahildir. Aralık dışındaki değer ayrıca bir açıklamayla sunulur. Aralık içinde kalmak da model uygunluğu veya güven aralığı hakkında tek başına karar vermez.

Çok küçük sonuçlar bilimsel gösterimle okunabilir; örneğin 2E−8, 0,00000002 anlamına gelir. Sıfırdan farklı R² sayısal gösterim alt sınırına düşerse açıklama verilir, matematiksel bir sıfır olarak sunulmaz. Gerçek sabit y durumu ise ayrı bir tanımsızlık açıklamasıdır. Belirli x için sıfır olmayan model değeri gösterilemeyecek kadar küçükse x alanı işaretlenir. Bu davranış, hesaplanamayan bir gösterimi geçerli sıfırla karıştırmayı önler.

Sonucu kaydederken hangi bilgiler gerekli?

Veri listesini, x ile y'nin anlamını ve birimlerini, çift sayısını ve hangi ana sonucu seçtiğinizi birlikte kaydedin. Bir aykırı kaydı çıkardıysanız önceki ve sonraki hesapları ayrı tutun; araç bunun doğru bir karar olduğunu onaylamaz. Burada p değeri, güven aralığı, örneklem seçimi denetimi veya model uygunluk testi bulunmaz. Katsayılar girilen listenin doğrusal özetidir; evrensel bir ilişki olarak sunulmaz.

Ekran görüntüsü alma seçeneği form ve sonucu birlikte saklamanızı kolaylaştırır. Paylaş seçeneği sayfa bağlantısını, sitenize ekleme seçeneği araç için ekleme kodunu verir. Sayfa bağlantısının veri çiftlerini ve seçilen x'i otomatik taşıdığını varsaymayın. Hesabı başkasına anlatırken örneğin “üç çift, x birimi metre, y birimi saniye” şeklinde kısa bir bağlam ekleyin; böylece görünen eğim ile birimsiz r'nin anlamı anlaşılır kalır.