Standart Sapma Hesaplama: Verilerin Ne Kadar Dağıldığını Anlayın

Ortalama aynıyken dağılım farklı olabilir

İki veri grubu düşünün: 9, 10, 11 ve 0, 10, 20. İkisinin de ortalaması 10'dur. Fakat ilk gruptaki değerler ortalamanın yakınında, ikinci gruptakiler daha uzaktadır. Sadece ortalamaya bakarsanız bu önemli farkı göremezsiniz. Standart sapma, değerlerin ortalama çevresindeki yayılımını özetleyen bir ölçüdür. Sonuç, verilerle aynı birimde ifade edildiği için yorumlaması varyansa göre daha kolaydır.

Bu araç bir sayı listesi alır; ortalama, varyans, standart sapma ve gözlem sayısını birlikte verir. Hesaplamadan önce anakütle mi örneklem mi seçileceğini sorar. Bu seçim yalnızca bir yazım farkı değildir: aynı veri listesinde farklı payda kullanılır ve sonuç değişir. Hangi seçeneğin uygun olduğu, veriyi nasıl topladığınıza ve hangi grubu anlatmak istediğinize bağlıdır.

Verileri forma nasıl girmelisiniz?

Her gözlemi ayrı satıra yazabilirsiniz. Noktalı virgülle ayrılmış bir liste de kullanılabilir. Ondalık sayılarda virgül, farklı gözlemler arasında noktalı virgül kullanmak anlamı netleştirir: 2,5; 3,5; 4,5 üç ayrı gözlemdir. Birimleri sayının yanına yazmayın; 12 kg yerine yalnızca 12 girin ve bütün listenin aynı birimde olduğundan emin olun.

Tekrarlanan değerler gerçek ayrı gözlemlerse listede tekrarlanmalıdır. Dört kişinin ölçümü 4 ise dört tane 4 bulunur; bunları tek değere indirmek frekans bilgisini kaybettirir. Eksik ölçümü sıfırla doldurmak da farklı bir işlem yapar. Sıfır gerçek bir gözlem olabilir, fakat “ölçüm yok” ile aynı anlama gelmez. Veri temizliği, hesap düğmesine basmadan önce yapılmalıdır.

Anakütle ile örneklem seçimini ayırın

İncelemek istediğiniz grubun bütün üyeleri elinizdeyse, o grubun tanımlayıcı yayılımı için anakütle seçeneği kullanılabilir. Örneğin yalnızca belirli bir kutudaki beş parçayı anlatıyor ve beşini de ölçüyorsanız bu beş değer sizin tanımladığınız grubun tamamıdır. Varyans hesabında kareli sapmalar toplamı gözlem sayısı n ile bölünür.

Daha büyük bir gruptan alınmış örnek üzerinden o grubun varyansını tahmin etmek istiyorsanız standart örneklem hesabında payda n − 1 olur. Buradaki düzeltme, ortalamanın aynı örnekten tahmin edilmesiyle ilgilidir. Örneklem varyansına ilişkin bu özellik, standart sapmanın kendisinin her koşulda yanlılıksız olduğu anlamına gelmez. Ayrıca rastgele olmayan veya bağımlı verinin bütün sorunlarını yalnızca n − 1 seçmek çözmez.

Örnek listenin ortalamasını bulun

Bu rehberde 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 listesini kullanalım. Sekiz gözlemin toplamı 40'tır. Aritmetik ortalama 40/8 = 5 olur. Araçta bu liste başlangıç örneği olarak bulunur. Gözlem sayısını 8 ve ortalamayı 5 görmeniz, listenin doğru aktarıldığına ilişkin ilk kontrolü sağlar.

Ortalama veride bulunmak zorunda değildir. Başka bir listede 2 ve 3 değerlerinin ortalaması 2,5 olabilir. Bizim örneğimizde 5'in listede iki kez bulunması, ortalamanın tanımı için gerekli bir şart değildir. Ortalama bütün değerlerin toplamından hesaplanır; en sık görülen sayı olan modla veya sıralı listenin ortasındaki medyanla aynı olmak zorunda değildir.

Ortalamadan sapmaları hesaplayın

Her gözlemden ortalama olan 5'i çıkaralım. Sırasıyla −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 ve 4 elde ederiz. Negatif sapma ortalamanın altında, pozitif sapma üzerinde kalındığını anlatır. Bu sapmaları doğrudan topladığınızda sonuç sıfır olur. Bu, değerlerin hiç dağılmadığı anlamına gelmez; pozitif ve negatif farkların birbirini götürmesidir.

Yayılımı ölçebilmek için farkların işaretini koruyarak basitçe toplamak yeterli değildir. Standart sapma hesabı farkların karelerini kullanır. Böylece bütün katkılar sıfır veya pozitif olur. Büyük uzaklıklar kare alındığı için daha fazla ağırlık kazanır. Bu özellik, uç değerlerin standart sapmayı neden güçlü biçimde etkileyebildiğini de açıklar.

Kareli sapmalar tablosu

Aynı değere sahip gözlemleri açıklama tablosunda gruplayabiliriz. Ancak frekansları korumalıyız; üç tane 4'ü tek gözlem gibi saymamalıyız.

Toplam kareli sapma 9 + 3 + 0 + 4 + 16 = 32 olur. Frekansların toplamı da 1 + 3 + 2 + 1 + 1 = 8'dir. Bu iki toplam hesaplamanın farklı parçalarıdır: 32, ortalama çevresindeki kareli uzaklıkların toplamı; 8 ise kaç gözlem bulunduğudur. Birini diğerinin yerine kullanmayın.

Anakütle standart sapmasını hesaplayın

Sekiz gözlemi tanımladığınız grubun tamamı kabul ederseniz varyans 32/8 = 4 olur. Standart sapma varyansın kareköküdür: √4 = 2. Bu yüzden araçta anakütle seçili örneğin ana sonucu 2, varyans satırı 4 ve ortalama satırı 5 çıkar. Üçü aynı listenin farklı özelliklerini gösterir.

Standart sapmanın 2 olması her değerin ortalamadan tam 2 uzakta olduğu anlamına gelmez. Listede ortalamaya eşit olan 5'ler, bir birim uzakta olan 4'ler ve dört birim uzakta olan 9 vardır. Sonuç, kareli sapmalardan türetilen tek bir özet ölçüdür. “Bütün değerler ortalama artı eksi 2 içindedir” şeklinde yorumlanamaz.

Aynı listeyi örneklem olarak değerlendirin

Örneklem seçeneğinde kareli sapmalar toplamı değişmez; yine 32'dir. Bu kez payda 8 − 1 = 7 olur. Örneklem varyansı 32/7 ≈ 4,571429, standart sapması √(32/7) ≈ 2,138090 çıkar. Ortalama ise 5 kalır. Yöntem seçimi gözlemleri veya ortalamayı değiştirmez; yayılımın hangi tanımla hesaplandığını değiştirir.

Payda küçüldüğü için aynı, sabit olmayan listede örneklem standart sapması daha büyüktür. n arttıkça n ile n − 1 arasındaki göreli fark azalır, fakat hangi ölçünün istendiğine göre doğru tanımı seçmek yine önemlidir. Bir raporda yalnızca “standart sapma” yazmak yerine n veya n − 1 kullanıldığını belirtmek karşılaştırma hatalarını azaltır.

Neden n − 1 kullanılır?

Örnek ortalaması hesaplandıktan sonra gözlemlerin bu ortalamadan sapmaları birbirinden tamamen bağımsız seçilemez; sapmalar toplamı sıfır olmak zorundadır. Örneğin üç gözlemin ortalaması biliniyorsa iki sapma verildiğinde üçüncü sapma onların toplamını dengeleyecek biçimde belirlenir. Bu durum, örnek varyansındaki serbestlik derecesinin n − 1 olmasını anlamaya yardımcı olur.

Düzeltme, uygun bağımsız ve aynı dağılımdan örnekleme varsayımları altında anakütle varyansını tahmin etme amacıyla kullanılır. Her veri analizinde otomatik üstün bir seçim olduğu söylenemez. Elinizdeki grubun tamamını tanımlıyorsanız n ile bölünen ölçü doğru soru olabilir. Önce neyi ölçmek istediğinizi belirleyin; ardından formülün paydasını o amaçla eşleştirin.

Birimleri doğru okuyun

Veriler metre cinsindeyse ortalama ve standart sapma metre, varyans metrekare cinsindedir. Çünkü farkların karesi alındığında birim de karesine çıkar. Son adımda karekök almak standart sapmayı başlangıç birimine döndürür. Bu nedenle 2 metre standart sapma ile 4 metrekare varyansı aynı sayısal ölçekle karşılaştırmayın.

Bütün değerleri metre yerine santimetreye çevirirseniz sayılar yüz kat büyür. Ortalama ve standart sapma da yüz kat; varyans on bin kat büyür. Dağılımın fiziksel niteliği değişmemiştir, yalnızca birim değişmiştir. Farklı veri gruplarının standart sapmalarını karşılaştırırken birimlerin ve ölçüm ölçeklerinin aynı olduğundan emin olun.

Her değere aynı sayıyı eklemek ne yapar?

Örnek listemizde her gözleme 100 ekleyelim. Yeni ortalama 105 olur, ancak her gözlemin kendi ortalamasından uzaklığı aynı kalır. İlk değer 102'nin 105'ten farkı yine −3'tür. Bu nedenle standart sapma ve varyans değişmez. Standart sapma, verinin sıfırdan uzaklığını değil kendi ortalaması çevresindeki yayılımını ölçer.

Bütün gözlemleri −2 ile çarpmak ise sapmaların işaretini değiştirip büyüklüğünü iki katına çıkarır. Standart sapma iki katına, varyans dört katına çıkar. Ölçek katsayısı negatif olsa bile standart sapma negatif olamaz; etkide katsayının mutlak değeri kullanılır. Bu dönüşümler hem sonuç yorumunda hem de bağımsız yazılım testlerinde yararlı kontrol örnekleridir.

Uç değerlerin etkisini görün

9, 10, 11 listesinde anakütle standart sapması yaklaşık 0,816497'dir. Son değeri 31 yaptığınızda ortalama da yayılım da değişir. Bu yeni değerin ortalamaya uzaklığı kareye girdiği için etkisi büyür. Standart sapmanın artması, kaydın yanlış olduğunu tek başına kanıtlamaz; gerçekten farklı bir gözlem, değişen süreç veya veri giriş hatası söz konusu olabilir.

Uç görünen değeri yalnızca sonucu küçültmek için silmeyin. Önce ölçüm kaydı, birim, tarih ve toplama yöntemi kontrol edilmelidir. Gerekirse medyan ve çeyrekler arası aralık gibi başka özetlerle birlikte değerlendirme yapılabilir. Bu araç aykırı gözlem kararı vermez veya listeyi otomatik temizlemez; verilen bütün geçerli sayıları hesaba dahil eder.

Standart hata ile standart sapma aynı değildir

Standart sapma bireysel gözlemlerin yayılımını anlatır. Ortalamanın standart hatası ise uygun bağımsız örnekleme varsayımlarında örnek ortalamasının belirsizliğiyle ilgilidir ve genellikle s/√n ile tahmin edilir. Aynı s korunurken gözlem sayısı arttığında ortalamanın standart hatası azalabilir. Bu, bireysel verilerin mutlaka birbirine yaklaştığı anlamına gelmez.

Örneğin örnek standart sapma 10 ve n = 25 ise standart hata 10/5 = 2 olur. Bu iki sayıyı raporda aynı etiketle kullanmayın. Bu sayfa standart sapmayı hesaplar; standart hata için ayrı araç bulunur. Güven aralığı oluşturmak ise dağılım, örnekleme ve uygun kritik değer seçimi gibi ek koşullar gerektirir; sadece standart sapmanın bilinmesi yeterli değildir.

Tek gözlem ve sabit liste

Anakütle seçeneğinde tek bir gözlem tanımlı grubun tamamı sayılırsa ortalamadan sapması sıfırdır; standart sapma sıfır çıkar. Örneklem seçeneğinde ise n − 1 sıfır olacağından tek gözlemle bu tahmin yapılamaz. Araç en az iki gözlem ister ve sıfıra bölmeyi sonuç gibi göstermez. Bu fark, iki yöntemin neden ayrı seçildiğini somutlaştırır.

Bütün değerler eşitse, en az iki gözlemli örneklem dahil her iki yöntemde de standart sapma sıfır olur. Örneğin 7, 7, 7 listesinin kareli sapmaları sıfırdır. Bu, gözlenen listede değişkenlik bulunmadığını söyler. Daha geniş veya gelecekteki bir grubun hiç değişkenlik göstermeyeceğini tek başına garanti etmez; gözlem kapsamını aşan yorum yapılmamalıdır.

Dağılım biçimi ve iyi-kötü değerlendirmesi

Küçük standart sapma, kendi ölçeğinde değerlerin birbirine daha yakın olduğunu gösterir; her kullanımda otomatik olarak iyi olduğu anlamına gelmez. Bir üretim ölçümünde hedefe yakınlık da önemli olabilir. Bütün değerler yanlış hedefin çevresinde dar biçimde toplanmışsa standart sapma küçükken ortalama hatalı olabilir. Yayılım ve hedefe uzaklık iki ayrı sorudur.

Standart sapmadan belirli bir aralıkta gözlemlerin yüzde kaçının bulunduğu, dağılım hakkında ek varsayım olmadan çıkarılamaz. Normal dağılıma ait oranları her listeye uygulamayın. Sıra bağımlılığı, birden fazla grubun karışması ve güçlü asimetri de yorumu etkileyebilir. Tek ölçü yerine gözlem sayısı, ortalama ve verinin nasıl toplandığıyla birlikte sonuç vermek daha açıklayıcıdır.

Hesaplama ve giriş sınırları

Araç en fazla beş yüz sayıyı değerlendirir. Her sayının mutlak değeri desteklenen genel giriş sınırı içinde olmalıdır; çok büyük değerlerle çok küçük farkların birlikte bulunması hassasiyet kaybı yaratabilir. Hesap çekirdeği ortalama ve kareli sapmaları kademeli güncelleyen Welford yöntemini kullanır. Bu yaklaşım bazı yaygın yuvarlama sorunlarını azaltır, fakat bilgisayar aritmetiğini sınırsız hassasiyetli yapmaz.

Sonuçları başka yazılımla karşılaştırırken aynı listeyi, aynı ondalık değerleri ve aynı anakütle-örneklem seçimini kullandığınızdan emin olun. Bir uygulamanın son basamakta farklı yuvarlamasıyla n yerine n − 1 kullanması aynı tür fark değildir. Önce gözlem sayısını ve ortalamayı, sonra varyansı ve karekökünü karşılaştırın. Böylece farkın veriden mi, tanımdan mı yoksa gösterimden mi kaynaklandığını ayırabilirsiniz.