On kişi arasından üç kişilik bir ekip kuracaksınız. Ekipte başkan, yardımcı veya başka bir görev yok; yalnızca kimlerin seçildiği önemli. Ayşe, Bora ve Cem’in oluşturduğu ekip ile Cem, Ayşe ve Bora’nın oluşturduğu ekip aynı ekip sayılır. Bu sorunun cevabı 120 farklı ekip olur. Kombinasyon hesabı, böyle sırası önem taşımayan seçimleri sayar.

Hesaplayıcı iki modeli ayrı sunar. Tekrar olmadan seçimde her farklı öğe en fazla bir kez alınır. Tekrar ile seçimde ise aynı türden birden fazla öğe seçilebilir. Örneğin dört kurabiye çeşidinden altı kurabiye seçerken bir çeşitten iki veya üç tane alabilirsiniz. Kutulara rakamları yazmadan önce bu ayrımı yapmak gerekir; aynı sayılarla farklı kurallar farklı sonuç üretir.

Önce seçimin ne olduğunu belirleyin

Bir grubun üyeleri yer değiştirdiğinde cevap değişmiyorsa sıra önemsizdir. Üç kişilik bir çalışma ekibi çoğunlukla böyle bir örnektir. Fakat bu kişilere başkan, sekreter ve sözcü görevleri veriliyorsa aynı üç kişi farklı görevlere yerleşebilir. Bu ikinci soru yalnızca grup seçmekten daha fazla düzen içerir. Kombinasyon aracına yazılan iki sayı, görevlerin varlığını anlatmaz.

Benzer biçimde bir menüde iki farklı yemek seçmek ile başlangıç ve ana yemek seçmek aynı model olmayabilir. İkinci durumda yerler ayrı anlam taşır. “A ile B” ve “B ile A” kayıtlarının gerçekten aynı olup olmadığını düşünün. Bu küçük kontrol, doğru formülü seçmek için çoğu zaman uzun bir hesap yapmaktan daha yararlıdır.

Alanları nasıl doldurmalısınız?

İlk seçenekte aynı öğenin veya türün yeniden seçilmesine izin verilip verilmediğini belirtin. Ardından toplam farklı seçenek sayısını n, seçilecek toplam adedi r alanına yazın. On farklı kişi içinden üç kişi için n = 10 ve r = 3 kullanılır. Tekrar olmadan model seçiliyse sonuç 120’dir; aynı kişinin ekipte iki kez bulunması mümkün kabul edilmez.

Her iki kutu 0 ile 1000 arasındaki tam sayıları kabul eder. Birim, harf veya formül yazmanız gerekmez. “10 kişi” yerine 10, “üç” yerine 3 yazın. Ondalıklı adetler bu sayma modeline uymaz. Tekrar olmadan r, n’den büyük olamaz. Tekrar ile modelde ise örneğin üç türden yedi adet seçmek mümkündür; bu kez n farklı türleri, r toplam miktarı temsil eder.

Tekrarsız kombinasyonun formülü

Farklı n öğeden r tanesini sıra önemsemeden seçmenin sayısı C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!) olur. Buradaki ünlem faktöriyeli belirtir: 4! = 4 × 3 × 2 × 1. Binom katsayısının bu tanımı ve C(n,r) = C(n,n−r) simetrisi NIST DLMF’nin binom katsayısı bölümünde yer alır.

Formülü ezberlemeden de neden r! ile bölündüğünü anlayabilirsiniz. Seçilmiş üç farklı kişi, kendi arasında altı sıraya konabilir. Sıraları tek tek saydıysanız aynı ekip altı kez yazılmıştır. Her ekibin tam altı kez sayıldığı durumda bu tekrarları altıya bölerek kaldırırsınız. Paydadaki r! tam olarak bu düzeltmeyi yapar; rastgele bir küçültme işlemi değildir.

On kişiden üç kişilik ekip: 120

İlk kişiyi seçmek için 10, ikinci için 9, üçüncü için 8 seçenek vardır. Sıralı seçimleri sayarsanız 10 × 9 × 8 = 720 bulursunuz. Ancak ekip üyelerinin seçilme sırası önemli değildir. Aynı üç kişi 3! = 6 farklı sırada yazılabilir. Böylece 720 ÷ 6 = 120 farklı ekip kalır.

Bu örnekte herkes farklı bir kişi olarak sayılır ve ekip tam üç kişidir. Üye sayısı iki, üç veya dört olabilecekse tek bir C(10,3) bütün olasılıkları kapsamaz. Ayrıca iki belirli kişinin aynı ekipte bulunmaması veya en az bir kişinin belirli bir bölümden gelmesi gibi koşullar eklenirse bazı ekipler elenir. Araç böyle koşulları kendiliğinden uygulamaz; elde edilen 120 kısıtsız temel sayımdır.

Küçük bir örneği bütün seçimleriyle kontrol edin

A, B, C ve D adını verdiğiniz dört farklı karttan iki kart seçin. Bütün gruplar AB, AC, AD, BC, BD ve CD olur. Altı farklı seçim vardır. BA’yı listeye ayrıca yazmayız; A ve B kartları yine aynı grubu oluşturur. Hesap da C(4,2) = 4! / (2! × 2!) = 6 sonucunu verir.

Kartların sırası önemli olsaydı bu altı grubun her biri iki düzene ayrılırdı: AB ve BA gibi. Toplam 12 sıralı düzen elde edilirdi. Bu örneği bir kâğıda yazarak saymak, kombinasyon ve sıralama arasındaki farkı görünür kılar. Büyük sayılarda bütün grupları listelemek zorlaşır, fakat aynı ayırt etme kuralı geçerliliğini korur.

Tekrarlı kombinasyon neyi değiştirir?

Dört farklı kurabiye çeşidinden altı adet alacağınızı düşünün. Her çeşitten yeterli kurabiye var ve paketteki yerleşim önemli değil. İki sade, üç kakaolu ve bir tarçınlı kurabiye, hangi sırada seçtiğinizden bağımsız olarak aynı pakettir. Bu modelde sonuç C(4+6−1,6) = C(9,6) = 84 olur.

Tekrarlı seçim, aynı kişinin ekipte birkaç farklı kişi gibi görünmesi anlamına gelmez. Modelin nesneler yerine türler üzerinden anlaşılması daha uygundur. Kırmızı kalemden iki tane ve mavi kalemden bir tane alınan paket, miktarlarla tanımlanır. Her kırmızı kalemin ayrı seri numarası önemliyse artık aynı türün ayırt edilemeyen kopyalarını saymıyor olabilirsiniz. Hangi farkların yeni bir seçim oluşturduğunu başta belirleyin.

Yıldız ve ayırıcı yöntemi

Altı kurabiyeyi altı yıldız, dört çeşidi ayıran sınırları üç çubuk olarak düşünün. Örneğin ★★|★★★|★| gösterimi ilk çeşitten iki, ikinci çeşitten üç, üçüncü çeşitten bir ve son çeşitten sıfır adet anlatır. Altı yıldız ve üç ayırıcı toplam dokuz konum kullanır. Yıldızların yerlerini seçmek, paketin miktarlarını belirlemekle aynı sayımdır.

Bu nedenle n farklı türden r adet için toplam r+n−1 konumdan r tanesi seçilir: C(n+r−1,r). Yıldız–çubuk yöntemi ve tekrarlı kombinasyon bağlantısı MIT’nin sayma ders notlarında açıklanır. Ayırıcıların yan yana bulunması, aradaki türden hiç alınmadığını gösterir; bütün türlerin kullanılma zorunluluğu eklenmez.

Üç türden iki adet: altı seçim

A, B ve C türleri için tekrar olmadan iki adet seçerseniz yalnızca AB, AC ve BC vardır; sonuç 3’tür. Tekrara izin verirseniz AA, AB, AC, BB, BC ve CC oluşur; sonuç 6’dır. BA, AB’nin farklı yazımı olduğu için yine ayrıca sayılmaz. Tekrar seçeneğiyle sıra seçeneği aynı şey değildir.

Bu karşılaştırmada n = 3 ve r = 2 hiç değişmedi. Değişen, AA veya BB gibi grupların geçerli olup olmadığıdır. Sonuçları karşılaştırırken yalnızca kutulardaki iki sayıyı kaydetmek bu nedenle yeterli olmaz. Seçim modelini de kaydedin. Hesaplayıcı sonuç panelinde kullanılan modeli gösterir; başka birine aktarmadan önce bu satırı kontrol edebilirsiniz.

Hiç öğe seçilmediğinde sonuç neden 1?

r = 0, hiçbir öğe seçmemeniz demektir. Kurala uyan tek grup boş gruptur; bu nedenle sonuç 1’dir. n = 10 olsa da n = 0 olsa da bu boş seçim bir kez sayılır. Sonuçtaki 1, bir kişinin veya bir kurabiyenin seçildiğini söylemez; geçerli grupların sayısını belirtir.

Boş bir kutunun içinde sıfır nesne bulunmasıyla, boş kutuyu oluşturmanın bir yolu bulunması farklı ifadelerdir. Sayılan nesneyi doğru adlandırmak çelişkiyi giderir. Tekrarlı formüle n = 0 yazıp negatif faktöriyel kullanmaya çalışmak yerine boş durum ayrı değerlendirilir. Araç sıfır seçimi açık bir açıklamayla gösterir; sıradan bir pozitif seçimmiş gibi yorumlamaz.

Boş havuzdan pozitif seçim

Tekrarlı modelde n = 0 ve r pozitifse seçilecek hiçbir tür yoktur. İstenen adette bir paket oluşturmanın yolu bulunmaz; geçerli seçim sayısı 0 olur. Bu durum hesaplayıcıda sıfır sonucuyla ve boş havuz açıklamasıyla gösterilir. r = 0 olsaydı boş paket geçerli olacağı için sonuç 1 olurdu.

Tekrar olmadan modelde ise r > n girişi seçim adedi alanında düzeltilmenizi ister. Örneğin üç farklı kişiden beş farklı kişi seçemezsiniz. Bu ayrım, tekrarsız araçta desteklenen r ≤ n aralığının korunmasıdır. Gerçek soruda yeniden seçim mümkünse modelinizi değiştirin; eksik kişileri sessizce tekrar saymak doğru bir çözüm olmaz.

Simetri ile hesabı kısa yoldan kontrol edin

On kişiden üç kişi seçmek, dışarıda kalacak yedi kişiyi belirlemekle bire bir bağlantılıdır. Her üç kişilik ekibin bir yedi kişilik tamamlayıcı grubu vardır. Bu yüzden C(10,3) = C(10,7) = 120 olur. Benzer biçimde 12 öğeden birini seçmenin sayısı ile birini dışarıda bırakmanın sayısı aynı, yani 12’dir.

Bu simetri tekrarsız modelin n öğeli sabit havuzuna aittir. Tekrarlı seçimde n ve r’nin yerlerini gelişigüzel değiştirmek aynı anlamı taşımaz. Örneğin C(3+2−1,2) = 6 iken C(2+3−1,3) = 4 olur. İlk soruda üç türden iki adet, ikinci soruda iki türden üç adet seçilir. Sayılar yer değiştirse de sorunun koşulları aynı kalmaz.

Stok sınırı varsa temel formül yetmez

Üç kurabiye çeşidinden iki adet için tekrarlı sonuç 6’dır. Fakat A çeşidinden yalnızca bir kurabiye varsa AA paketi yapılamaz. Böylece diğer koşullar aynıyken geçerli paket sayısı 5’e düşer. Sınırsız tür stoğunu varsayan temel sonuç, rafınızdaki her stok kısıtını temsil etmez.

“En az bir A”, “B’den en fazla iki”, “A ile C aynı pakette bulunmasın” veya “her tür mutlaka yer alsın” gibi koşulların her biri ayrıca ele alınmalıdır. Küçük örneklerde geçerli grupları listeleyip ayıklayabilirsiniz. Büyük örneklerde başka sayma yöntemleri gerekir. Hesaplayıcının model açıklamasındaki sınırsız stok ifadesi, her türden seçim adedi kadar öğenin bulunabileceği anlamındadır; gerçek stok verisi okunmaz.

Bir sayma sonucu olasılık değildir

120 ekip bulunması, belirli bir ekibin kendiliğinden yüzde olarak hesaplandığını göstermez. Bütün ekiplerin gerçekten eşit olasılıkla seçildiği bir süreç tanımlanırsa tek bir ekibin olasılığı 1/120 olur. Olumlu sayılacak birden fazla ekip varsa onların toplam sayısı da ayrıca belirlenmelidir. Eşitlik varsayımı yalnızca sonuçtan çıkarılamaz.

Tekrarlı seçimde bu ayrım daha belirgindir. A, B, C arasından iki bağımsız ve eşit şanslı çekiliş yaparsanız sıralı sonuçlar dokuz tanedir. AB grubu iki sıralı sonuçla, AA ise bir sıralı sonuçla oluşur. Altı sırasız grubun her biri eşit şanslı değildir. Kombinasyon 6 sonucunu doğru verebilir; bu altı grubun her birine 1/6 olasılık vermek aynı deney için yanlış olur.

Uzun sonuçları nasıl okumalı ve saklamalısınız?

Çok sayıda seçenek olduğunda sonuç yüzlerce rakamdan oluşabilir. Hesaplayıcı tam rakam dizisini korur; yalnızca birkaç anlamlı rakama yuvarlamaz. Sonuçtaki rakam sayısı ayrıca gösterilir. Bu satır, kaç farklı öğe seçildiğini veya kaç adım yapıldığını değil, cevabın ondalık yazım uzunluğunu belirtir.

Uzun bir değeri başka bir programa aktarırken metin olarak saklamak gerekebilir. Bazı tablolar uzun tam sayıları otomatik olarak yaklaşık sayıya dönüştürür. Kaydedilen değerin başını, sonunu ve rakam sayısını karşılaştırın. Ekran görüntüsü sonucu görünür biçimde paylaşmaya, paylaş bağlantısı ise hesaplayıcıyı açmaya yarar. Bağlantı girilmiş n, r ve model değerlerini taşımaz; aynı hesabın kurulabilmesi için bu bilgileri ayrıca belirtin.

Sonucu anlaşılır bir cümleyle kaydedin

“84” yerine “Dört farklı türden toplam altı adet, sıra önemsiz ve türlerin tekrarına izin verildiğinde 84 paket vardır” yazmak, sayının anlamını korur. Tekrarsız ekip örneğinde ise “On farklı kişi arasından tam üç kişilik, görev ayrımı olmayan 120 ekip kurulabilir” ifadesi yeterince açıktır. Özel şartlar varsa cümleye ekleyin ve temel sonucu bu şartlara uyarlayın.

Hesap yapmadan önce sıra, tekrar, farklılık ve miktar sorularını cevaplayın. Sonuçtan sonra model satırıyla kullanılan sayımı kontrol edin. Küçük bir örneğin bütün gruplarını yazmak veya tekrarsız simetriyi denemek ek bir kontrol sağlayabilir. Bu yöntem, hesabın doğru yapılması kadar doğru soruya uygulanmasını da sağlar; aracın sunduğu kesin sayı, tanımladığınız modelin sonucudur.