Bir olayın tek denemede gerçekleşme olasılığını bildiğinizi düşünün. Aynı koşullarda on deneme yaptığınızda olayın tam üç kez gerçekleşmesiyle en az üç kez gerçekleşmesi aynı soru değildir. İlkinde yalnız üç sayısını, ikincisinde üçten ona kadar bütün sayıları kabul edersiniz. Binom olasılığı hesabı, belirli koşullar altında bu tekrar sayılarını değerlendirir.
Bu araç “tam”, “en az”, “en fazla” ve “iki sayı arasında” olmak üzere dört soru türünü destekler. Deneme sayısını, her denemedeki olay olasılığını ve ilgilendiğiniz sayıyı yazarsınız. Olasılığı yüzdeyle yazma seçeneğinde yüzde 50 için 50 kullanılır. İsterseniz sıfır ile bir arasındaki gösterime geçip aynı olasılığı 0,5 olarak yazabilirsiniz. Sonuç, gelecekte kaç olayın kesin gerçekleşeceğini değil, seçtiğiniz koşullardaki bir olasılığı gösterir.
“Deneme” ve “olay” ne anlama geliyor?
Deneme, sonucu iki sınıfa ayırdığınız her tekrardır. Olay ise bu iki sınıftan ilgilendiğiniz taraftır. Örneğin adil olduğu varsayılan bir paranın yazı gelmesini olay seçebilirsiniz. Yazı gelirse olay gerçekleşmiştir; tura gelirse gerçekleşmemiştir. Buradaki “başarı” kelimesi iyi veya istenen sonuç demek zorunda değildir; bazı kaynaklarda olayın gerçekleşmesini adlandırmak için kullanılır.
Olay tanımını hesap boyunca değiştirmeyin. İlk denemelerde yazı, sonraki denemelerde tura sayıyorsanız tek bir tekrar sayısı altında aynı olayı izlemiyorsunuz demektir. Araç yalnız sayı ve olasılık alır; gerçek denemelerin kayıtlarını okuyup sınıflandırmaz. Hangi sonucun sayıldığı kullanıcı tarafından açıkça belirlenmelidir.
Binom modelinin koşulları
Deneme sayısı önceden sabit olmalı, her denemede olay ya gerçekleşmeli ya gerçekleşmemeli, olayın olasılığı bütün denemelerde aynı kalmalı ve denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır. Bağımsızlık, bir denemenin sonucunun diğer denemenin olasılığını değiştirmemesi anlamında kullanılır. Sadece her satıra aynı yüzdeyi yazmak bağımsızlığı kanıtlamaz.
Örneğin “ilk olay gerçekleşene kadar denemeye devam et” sorusunda toplam deneme sayısı baştan sabit değildir; aranan büyüklük farklıdır. Sonlu bir kutudan nesneleri geri koymadan çekmekte ise önceki seçim sonraki olasılığı değiştirebilir. Böyle bir durumda binom yerine farklı bir model gerekebilir. Araç bu koşulların gerçek verinizde sağlandığını otomatik sınamaz.
Yüzdeyi doğru biçimde yazın
Varsayılan kullanıcı görünümünde olasılık yüzdeyle sorulur. Tek denemede yüzde 50 ihtimal için 50, yüzde 2 ihtimal için 2 yazın. Aynı bilgiyi sıfır ile bir arasında yazma seçeneği seçilirse yüzde 50 için 0,5; yüzde 2 için 0,02 kullanılır. Bir kutuya 50 yazarken diğer gösterimin seçili kalması aynı anlama gelmez.
Olasılık yüzde gösteriminde 0 ile 100, kesirli gösterimde 0 ile 1 arasındadır. Yüzde 0 olayın hiç gerçekleşmediği, yüzde 100 her denemede gerçekleştiği model sınırıdır. Gerçek hayattaki bir gözlemde hiç olay görmemiş olmak, gerçek olasılığın kesin yüzde 0 olduğunu tek başına kanıtlamaz. Bu sayfa olasılığı veriden tahmin etmez; verdiğiniz değeri kullanır.
On denemede tam üç olay örneği
On bağımsız denemede her seferinde olay olasılığı yüzde 50 olsun. Tam üç olayın olasılığı yaklaşık yüzde 11,71875’tir. Bu, on denemeyi yaptığınızda mutlaka üç olay olacağı veya denemelerin yüzde 11,7’sinin olay olacağı anlamına gelmez. On denemelik gruplarda tam üç olay sayısıyla karşılaşmanın model olasılığıdır.
Sonucu anlamak için önce belirli bir sıralamayı düşünün: ilk üçünde olay, kalan yedisinde olay yok. Yüzde 50 koşulunda bu özel sıralamanın olasılığı (1/2) üzeri 10, yani 1/1.024’tür. Ancak üç olay yalnız ilk üç yere gelmek zorunda değildir. On yerden üçü 120 farklı biçimde seçilebilir. Bu nedenle toplam 120 / 1.024 = 0,1171875 olur.
Formüldeki üç parça ne anlatır?
Tam k olay için formül C(n,k) × p üzeri k × (1−p) üzeri (n−k) şeklindedir. n deneme sayısı, k sayılan olay adedi, p ise tek deneme olasılığıdır. p üzeri k olayların; diğer çarpan gerçekleşmeyenlerin belirli bir sıralamadaki ortak olasılığını verir. C(n,k), olay yerlerinin kaç farklı biçimde seçilebildiğini sayar.
Formülü ezberlemeniz gerekmez. Önemli ayrım, “belirli bir sıralama” ile “sırası önemli olmadan belirli sayıda olay” sorularının farklı olmasıdır. Bu araç sırayı değil toplam olay sayısını hesaplar. İlk üç denemede olay olmasını şart koşuyorsanız, yalnız toplamın üç olmasını seçmek daha geniş bir olayı hesaplamış olur.
En az üç ile tam üç arasındaki fark
“En az üç” seçimi üç, dört, beş, altı, yedi, sekiz, dokuz ve on olayın hepsini kapsar. Aynı on deneme ve yüzde 50 örneğinde sonuç yüzde 94,53125 olur. Tam üç için yüzde 11,71875 bulmamızla çelişki yoktur; bu kez daha çok olası sonucu kabul ettik.
Kontrol yolu, dışarıda kalanları toplamaktır. Sıfır, bir veya iki olayın toplam olasılığı yüzde 5,46875’tir. Bunun yüzde 100’den çıkarılması en az üç sonucunu verir. Ancak bilgisayar çok küçük olasılıklarda bu çıkarma sırasında basamak kaybedebilir. Motor ilgili olay ve karşıt olay toplamlarını ayrı hesaplayarak bu sorunu azaltır; kullanıcıya sıfır diye yanıltıcı küçük değer göstermemeye çalışır.
En fazla ve iki sayı arasında seçimleri
“En fazla üç”, sıfırdan üçe kadar bütün olay sayılarını kapsar. On deneme ve yüzde 50 örneğinde yüzde 17,1875 çıkar. “Üç ile beş arasında” seçimi ise üç, dört ve beşi dahil eder. Bu üç olasılığın toplamı yüzde 56,8359375’tir. Alt ve üst sınır bu araçta hesaba dahildir.
Günlük dilde “üçten fazla” deniyorsa üç dahil değildir; formda en az dört seçilmelidir. “Üçten az” ise en fazla iki olarak yazılır. Bir rapor veya sorudaki bu kelimeleri dikkatle çevirmek önemlidir. Doğru olasılık formülü yanlış sınırla çalıştırılırsa matematik doğru olsa bile sorunun cevabı yanlış olur.
Beklenen sayı kesin sonuç değildir
Beklenen olay sayısı deneme sayısıyla tek deneme olasılığının çarpımıdır. On deneme ve yüzde 50 için 10 × 0,5 = 5 bulunur. Bu, her on denemelik grupta tam beş olay olacağı anlamına gelmez. Aynı örnekte tam beş olayın olasılığı yüzde 24,609375’tir; diğer sayıların toplam olasılığı daha büyüktür.
Beklenen sayının kesirli çıkması da hata değildir. Üç deneme ve yüzde 50 için beklenen sayı 1,5’tir. Tek bir deneyde bir buçuk olay olmaz; bu değer aynı koşullu grupların uzun dönem ortalamasını anlatan model büyüklüğüdür. Araç olay sayısına 1,5 yazmanızı bu nedenle kabul etmez, ama beklenen sayı satırında 1,5 gösterebilir.
Yayılım satırı ne işe yarar?
Standart sapma satırı, olay sayısının modeldeki yayılımını özetler. Formül karekök(n × p × (1−p)) şeklindedir. On deneme ve yüzde 50 için karekök 2,5, yaklaşık 1,5811 bulunur. Bu sayı “sonuç mutlaka 5’in 1,5811 yakınında kalır” demek değildir ve otomatik bir güven aralığı olarak okunmamalıdır.
Beklenen sayı tek başına dağılımın bütününü anlatmaz. Aynı beklenen değere sahip farklı deneme sayısı ve olasılık çiftlerinin yayılımı farklı olabilir. Araç beklenen sayı ile bu yayılım ölçüsünü bilgi için gösterir; karar eşiği, hata sınırı veya kişiye özel tahmin oluşturmaz. İlgilendiğiniz olay için asıl sonuç, seçtiğiniz tam veya aralıklı olasılıktır.
En az bir olay için kısa kontrol
Beş bağımsız denemede tek deneme olasılığı yüzde 20 olsun. Hiç olay olmama olasılığı 0,8 üzeri 5 = 0,32768’dir. En az bir olay, bunun dışındaki bütün sonuçları kapsar: 1 − 0,32768 = 0,67232, yani yüzde 67,232.
Beş ile yüzde 20’yi çarpıp yüzde 100 demek yanlış olur. 5 × 0,20 = 1, beklenen olay sayısını verir; en az bir olayın olasılığını değil. Aynı çarpımı daha çok denemede yapmak yüzde 100’ü aşan sayı da üretebilir. Beklenen adet ile olasılık, farklı büyüklükler olduğu için ayrı satırlarda gösterilir.
Sıfır ve yüzde yüz sınırları
Olasılık yüzde 0 ise olay sayısı her denemede sıfırdır. “Tam sıfır” sonucu yüzde 100, “en az bir” sonucu yüzde 0 olur. Olasılık yüzde 100 ise bütün denemelerde olay gerçekleşir; on denemede “tam on” yüzde 100’dür. Motor bu sınırları özel olarak ele alır.
Deneme sayısı sıfır seçilirse hiç deneme yoktur ve olay sayısı sıfırdır. Bu nedenle sıfırı içeren aralıkların olasılığı yüzde 100 olur. Bu matematiksel sınır, gerçek verinizde hiç gözlem bulunmamasından bir olay ihtimali öğrendiğiniz anlamına gelmez. Aracın girdi sözleşmesini tanımlar; veriye dayalı tahmin yerine geçmez.
Çok küçük ihtimal imkânsızlık değildir
Bin bağımsız yüzde 50 denemenin hepsinde olay gerçekleşmesinin olasılığı 0,5 üzeri 1.000’dir. Çok küçüktür, fakat sıfır değildir. Deneme sayısı daha da büyüdüğünde sıradan ondalık hesaplama gösterim sınırının altına düşebilir. Motor logaritmik hesapla büyüklük bilgisini koruyup gerekli durumda bilimsel yazım gösterir.
Bilimsel yazımdaki “10 üzeri eksi …”, sayının çok küçük olduğunu belirtir. Sonuçta bu ifade görülmesi güvenilir olmayan bir olayın olası hale getirildiği anlamına gelmez; mümkün küçük olasılığın sıfırla karıştırılmamasını sağlar. Benzer şekilde ekranda yüzde 100’e yuvarlanmış sonuç, karşıt olay satırı sıfır değilse matematiksel kesinlik anlamına gelmez.
Geri koymadan seçim neden farklı olabilir?
Bir kutuda sınırlı sayıda iki tür nesne bulunduğunu ve çekilenin geri konmadığını düşünün. İlk çekimde bir türün sayısı azalınca sonraki çekimin olasılığı değişebilir. Bu nedenle bütün çekimlere aynı p değerini yazmak, gerçek süreci tam olarak temsil etmeyebilir. Böyle bir durumda hipergeometrik model gibi farklı yöntemler değerlendirilir.
Öte yandan aynı olasılığı koruduğunuzu varsaymanız da bağımsızlığı kendiliğinden sağlamaz. Ortak bir neden denemeleri birlikte etkiliyorsa sonuçlar birbirine bağlı olabilir. Bu sayfa bağımsızlık testi, örnekleme tasarımı veya olasılık tahmini içermez. Gerçek veriyi uygulamadan önce model koşullarını ayrıca değerlendirmek gerekir.
Hesabı adım adım kontrol edin
Önce deneme sayısını ve tek deneme olasılığını sabitleyin. Soru türünü tam, en az veya en fazla olarak değiştirip kapsanan olay sayılarını okuyun. Aynı alt sınırla en az seçimi, tam seçimin en azından kendisini içerdiği için daha küçük olasılık vermemelidir. Aralığın genişlemesi de olasılığı azaltmamalıdır.
Sonucu paylaşırken yalnız yüzdeyi değil olay tanımını da yazın: “on bağımsız deneme, her birinde yüzde 50, en az üç olay” ifadesi yeniden hesaplanabilir. Kullanılan olasılığın ölçümden mi varsayımdan mı geldiğini belirtin. Örnek düğmeleri modelin davranışını öğrenmek içindir; gerçek süreç hakkında doğrulanmamış olasılık üretmez.
Olayı tersinden tanımlayarak kontrol edin
On denemede olayın tek deneme olasılığı yüzde 30 ise tam üç olayın olasılığı yaklaşık yüzde 26,6827932’dir. Aynı süreci “olayın gerçekleşmemesi” üzerinden anlatırsanız tek deneme olasılığı yüzde 70 ve aranan adet yedi olur. Tam yedi gerçekleşmeme, tam üç gerçekleşme ile aynı sonucu tanımlar; olasılık değişmemelidir.
Bu kontrol olay adedini ve olasılığını birlikte ters çevirmeyi gerektirir. Yalnız yüzde 30’u yüzde 70 yapıp hedefi üç bırakmak aynı soru değildir. İlgilendiğiniz tarafın adını, toplam deneme sayısını ve kalan tarafın adedini not etmek bu hatayı önler. Motor olay etiketinizi anlamlandırmaz; iki sayısal senaryonun gerçekten aynı durumu anlatıp anlatmadığı kullanıcı tarafından belirlenir. Bu örneği kendi hesap çıktınızda denemek, tek deneme olasılığıyla toplam adet arasındaki ayrımı pekiştirir.