Bir rafta birbirinden farklı altı kitabınız olduğunu düşünün. Kitapların hepsini kullanarak kaç farklı diziliş yapabilirsiniz? İlk yere altı kitaptan biri, ikinci yere kalan beş kitaptan biri gelir. Seçenek sayıları azalarak devam eder. Sonuç 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 olur. Faktöriyel, bu tür uzun çarpımları tek bir işaretle anlatmanın yoludur: 6!.

Bu hesaplayıcıya yalnızca sayıyı yazmanız yeterli. Ünlem işareti eklemeniz gerekmez. Sonuçta çarpımın tamamını, kaç rakamla yazıldığını ve en sonunda kaç sıfır bulunduğunu görürsünüz. Büyük sonuçların rakamları atılmaz veya yaklaşık bir değere dönüştürülmez. Bununla birlikte aracın yaptığı işlem belirli: yazılan sayının faktöriyelini bulur. Her sıralama sorusunun özel koşullarını kendiliğinden yorumlamaz.

Faktöriyel işareti nasıl okunur?

Bir sayının sağına yazılan ünlem, o sayıdan başlayıp birer azalarak 1’e kadar çarpma yapıldığını belirtir. 5!, “beş faktöriyel” diye okunur. Açık yazımı 5 × 4 × 3 × 2 × 1 şeklindedir. İşlemi soldan başlayarak yaparsanız önce 20, sonra 60, sonra 120, en son yine 120 elde edersiniz. Birle çarpmak sonucu değiştirmez; fakat diziliş mantığında son kalan seçeneği gösterir.

Buradaki işaret, sayının çok önemli olduğunu anlatan bir noktalama işareti değildir. Matematikte ayrı bir işlem anlamı taşır. Ayrıca faktöriyel, aynı sayıyı sürekli kendisiyle çarpmak da değildir. 5² = 25, 5⁵ = 3.125, fakat 5! = 120 olur. Üslü ifadede taban tekrar eder; faktöriyelde çarpılan sayılar değişir.

Kutuyu nasıl doldurmalısınız?

“Hangi sayının faktöriyelini bulalım?” alanına örneğin 6 yazın. Hesap düğmesine bastığınızda 720 sonucunu görürsünüz. Alt satırlardaki üç rakam bilgisi, 720’nin üç basamaklı olduğunu söyler; üç farklı çözüm olduğu anlamına gelmez. Sondaki sıfır sayısı ise bir olur.

Bu sürüm 0 ile 1000 arasındaki kesirsiz sayıları hesaplar. 6!, altı, 6 adet veya bir formül yazmak yerine yalnızca 6 kullanın. 2,5 yazarsanız araç bunu 2’ye ya da 3’e çevirmeden düzeltmenizi ister. Böylece fark etmeden başka bir sorunun cevabını almazsınız. Matematikte kesirli değerlere ilişkin daha geniş fonksiyonlar vardır; bu sayfa o hesapları yapmaz.

Altı kitabı neden 720 şekilde sıralayabiliyoruz?

Örneği adım adım açalım. İlk kitap için altı seçim yapılabilir. Bu seçimlerin her birinde ikinci kitap için beş seçenek kalır. İlk iki yeri doldurmanın sayısı 6 × 5 = 30 olur. Üçüncü kitap için dört seçenek bulunduğundan sayı 30 × 4 = 120 olur. Sonraki çarpımlar 120 × 3 = 360, 360 × 2 = 720 ve 720 × 1 = 720 şeklindedir.

Bu işlem, kitapların birbirinden ayırt edilebildiğini ve hepsinin kullanılacağını varsayar. Yer değiştirince başka bir diziliş oluşmalıdır. Kitapların içinden yalnızca ikisini seçecekseniz veya bazıları mutlaka yan yana duracaksa aynı çarpımı doğrudan kullanamazsınız. Önce sorunun hangi düzenleri farklı saydığına karar vermelisiniz.

0 faktöriyel neden 1 eder?

0! = 1 ifadesi ilk bakışta şaşırtıcıdır. Çünkü insan sıfır gördüğünde çarpımın da sıfır olmasını bekleyebilir. Oysa burada çarpılan sayıların arasında sıfır yoktur. Faktöriyel çarpımı 1’de biter. 0! için boş bir çarpımın değeri 1 olarak tanımlanır.

Sıralama açısından, hiç nesne olmayan bir listeyi oluşturmanın tek bir yolu vardır: listeyi boş bırakmak. Başka bir kontrol de komşu değerlerden gelir. 1! = 1 × 0! ilişkisinin çalışması için 0! değerinin 1 olması gerekir. Bu, 0 ile bir sayıyı çarpmanın sonucunu değiştirmez; 0 × 1 yine 0 olur. İki ayrı işlemi karıştırmamak önemlidir.

Bir sonraki faktöriyel nasıl bulunur?

Önceki sonucu biliyorsanız baştan çarpmanız gerekmez. 6! = 720 bilgisinden 7! = 7 × 720 = 5.040 sonucuna geçebilirsiniz. Bir sonraki adım 8! = 8 × 5.040 = 40.320 olur. Genel ilişki n! = n × (n−1)! biçimindedir.

Ters yönde de aynı bağlantı işe yarar. 7! ÷ 7 = 6! olur. Bu özellik, özellikle iki faktöriyel birbirine bölünürken hesabı kısaltır. Ancak sayıları birer artırınca sonucun sabit miktarda artacağını düşünmeyin. Her basamakta yeni bir çarpan eklendiği için artış çok hızlı büyür; 8! ile 9! arasındaki fark, 7! ile 8! arasındaki farkla aynı değildir.

Uzun bölmeleri çarpmadan önce sadeleştirin

12! ÷ 10! hesabında her iki uzun sayıyı ayrı ayrı yazmak mümkündür, fakat gerekli değildir. Üstteki ifadeyi 12 × 11 × 10! diye açarsanız 10! çarpanları sadeleşir. Geriye 12 × 11 = 132 kalır. Sadeleşen şey, çarpımın ortak bölümüdür; yalnızca ünlem işaretlerini silmiş olmayız.

Benzer biçimde 10! ÷ 9! = 10 olur. Buna karşılık 10! ÷ 8! = 10 × 9 = 90 sonucunu verir. Paydanın nerede bittiğine dikkat edin. Hesaplayıcı tek bir faktöriyel üretir; iki sonuç arasında işlem yapacaksanız ayrı hesapları veya dört işlem aracını kullanabilirsiniz. Çok uzun sayıları elle kopyalamak yerine cebirsel sadeleştirme çoğu zaman daha anlaşılırdır.

Sonundaki sıfırların kaynağı nedir?

Bir sayının sonunda sıfır oluşması, çarpımda bir 10 bulunmasıyla ilgilidir. Her 10, 2 × 5 şeklinde ayrılır. Faktöriyel içinde 2 çarpanları 5 çarpanlarından daha çok bulunduğu için kaç tane 5 olduğunu saymak yeterlidir. Örneğin 10! içinde 5 ve 10 sayıları birer 5 çarpanı sağlar; sonuç iki sıfırla biter.

25! için yalnızca 5, 10, 15, 20 ve 25’i sayıp beş demek eksik kalır. Çünkü 25 = 5 × 5, yani iki tane 5 içerir. İlk sayım beş katkı verir; 25’in fazladan katkısıyla toplam altı sıfır bulunur. Araç bu ek katkıları da hesaba katar. Sıfır sayısı, sayının bütünündeki sıfırların sayısı değil, yalnızca en sağdaki kesintisiz sıfırların sayısıdır.

1000 faktöriyel ne kadar büyüktür?

1000!, 2.568 rakamdan oluşur ve 249 sıfırla biter. Sondaki sıfırları kontrol etmek için sırasıyla 5, 25, 125 ve 625’in katlarını sayabilirsiniz: 200 + 40 + 8 + 1 = 249. Bu dört parçanın her biri farklı bir 5 çarpanı katkısını yakalar.

Böyle uzun bir sonucu normal bir hesap makinesinde yaklaşık bilimsel gösterimle görmek mümkündür. Buradaki araç ise bütün rakamları korur. Uzun sonucu göstermek, gerçek dünyadaki her olasılığın uygulanabilir olduğunu kanıtlamaz. Örneğin bin farklı nesnenin kısıtsız sıralama sayısını yazabiliriz; fakat bu düzenlerin tamamını tek tek listelemek veya denemek bambaşka bir iştir. Hesaplanan sayı ile bütün seçeneklerin listesi aynı şey değildir.

Birbirinin aynısı olan nesneler varsa ne değişir?

Dört farklı kartın sıralaması 4! = 24 olur. Ancak kartların üzerinde M, A, M, A yazıyorsa iki M’nin yer değiştirmesi görünür yeni bir kelime üretmez. Aynı şekilde iki A da ayırt edilemez. Bu durumda görünen farklı diziliş sayısı 4! ÷ (2! × 2!) = 6 olur.

Faktöriyel hesaplayıcısı tekrar eden nesneleri sorup bu bölmeyi otomatik yapmıyor. Kullanıcı yalnızca 4 yazarsa 24 sonucunu alır; bunun tekrarları düzeltilmiş kelime sayısı olduğunu varsaymamalıdır. “Nesneler farklı mı?”, “Hepsi kullanılacak mı?” ve “Sıra önemli mi?” sorularını başta sormak, formül ezberlemekten daha faydalıdır. Yanlış modeli doğru hesaplamak, doğru cevap elde etmek değildir.

Yuvarlak masa ve özel kısıtlar

Beş farklı kişinin numaralı beş sandalyeye oturması 5! = 120 düzen verir. Sandalyeler ayırt edilmeyen yuvarlak bir masada yalnızca komşuluk düzenlerini sayıyor ve tüm düzeni döndürmeyi aynı kabul ediyorsanız bir kişiyi sabitleyip 4! = 24 bulursunuz. Aynadaki sıralamanın da aynı kabul edilip edilmediği ayrıca sonucu etkileyebilir.

İki kişinin yan yana bulunması, belirli birinin başta durması veya iki nesnenin asla komşu olmaması gibi koşullar da ek işlem gerektirir. Bu sayfa, bu koşulları metinden okuyup çözmez. Temel faktöriyel, daha büyük bir çözümün parçası olabilir; tek başına her kombinasyon veya yerleşim problemine uygulanacak evrensel düğme değildir.

Sonucunuzu nasıl kontrol edebilirsiniz?

Küçük sayılarda açık çarpımı adım adım inceleyin. 4! = 24, 5! = 120 ve 6! = 720 sonuçları birbirine doğru çarpanlarla bağlanmalıdır. Büyük sayılarda bir önceki faktöriyele oran, son sıfırların sayısı ve rakam sayısı ayrı kontroller sağlar. Bunlar farklı hataları yakalamaya yardımcı olur; aynı kontrolü üç kez tekrarlamak değildir.

Sonuç panelindeki çarpım tablosu en fazla ilk 12 adımı gösterir. 1000 yazdığınızda bu tablo 12’de bitti diye hesabın 12! olduğu düşünülmemelidir. Üstteki sonuç tüm çarpımı içerir; kısa tablo yalnızca yöntemi anlaşılır tutar. Sonucu başka yere aktarırken bir bilimsel gösterim kısaltması değil, tam rakam dizisini aldığınızı kontrol edin.

Bu araç hangi durumlarda kullanılmamalı?

Negatif veya kesirli faktöriyel, çift faktöriyel, gamma fonksiyonu, dairesel düzenlerin bütün türleri ve karmaşık kısıtlı sayma problemleri bu sürümün dışında. 8!! gibi bir ifade de 8! ile aynı işlem değildir. Böyle bir soruda önce hangi tanımın istendiğini belirlemek gerekir.

Buradaki 1000 sınırı matematiksel bir son nokta değildir; uygulamanın desteklediği hesap aralığıdır. Daha büyük sayıların faktöriyeli de vardır. Sınırı aşan bir girişte önceki değeri sessizce kullanmak veya yaklaşık sonucu kesinmiş gibi göstermek yerine işlem durdurulur. Kullanıcının yazdığı sayı korunur; yeni bir hesap yapmak için yalnızca ilgili alanın düzeltilmesi yeterlidir.

Üç kartı gerçekten tek tek sıralayalım

Üzerinde A, B ve C bulunan üç farklı kart için bütün düzenler ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ve CBA olur. Altı düzen vardır. İlk harfi A olan iki düzen, B olan iki düzen ve C olan iki düzen bulunur. Böylece 3 × 2 × 1 = 6 işlemini yalnızca formülle değil, bütün seçenekleri görerek de doğrulamış oluruz. Liste küçük olduğu için kontrol edilebilir; kitap sayısı büyüyünce aynı yöntemi elle sürdürmek zorlaşır.

Şimdi A kartının mutlaka başta durmasını isteyelim. Yalnızca ABC ve ACB kalır; sonuç 2! = 2 olur. Başta B bulunamayacağını söylersek bu kez A veya C ile başlayan dört düzen vardır. İki koşulun cevabı aynı değildir. Üstteki kutuya yalnızca 3 yazmak bu ayrımı taşımaz; koşulun mantığı ayrıca çözülmelidir. Aracın verdiği 6, kısıtsız temel duruma aittir.

Sonuç bir olasılık mı, düzen sayısı mı?

6! = 720, bir sayma sonucudur. Bunu doğrudan yüzde diye okumayın. Altı farklı nesnenin bütün 720 düzeninin gerçekten eşit olasılıkla seçildiği bir deney tanımlarsanız belirli tek bir düzenin olasılığı 1/720 olur. Ancak rastgele seçim sürecinin eşitlik koşulu ayrıca sağlanmalıdır. Bazı düzenler daha sık oluşuyorsa yalnızca faktöriyel sayısı olasılığı belirlemeye yetmez.

Örneğin kitapları sevdiğiniz sıraya yakın yerleştirme eğiliminiz varsa bütün dizilişler eşit olasılıklı değildir. Buna karşılık matematik sorusu açıkça tüm sıralamaların eşit olasılıklı olduğunu söylüyorsa payda olarak 720 kullanılabilir. Olumlu durum sayısı bir değil birkaç ise onların sayısı da ayrıca bulunur. Sayma ile olasılık arasında bağlantı vardır, fakat araç siz söylemeden rastgelelik varsayımı eklemez.

Sonucu rapora aktarırken hangi açıklama yazılmalı?

Yalnızca 720 yazmak yerine “Birbirinden farklı altı kitabın tümü, sıra önemli olacak şekilde dizildiğinde 720 düzen bulunur” demek modelin koşullarını korur. Aynı sayı başka sorularda başka şeyleri sayabilir. Sonucun yanına kullanılan sayı, hepsinin seçilip seçilmediği ve tekrarların ayırt edilip edilmediği eklenmelidir.

Uzun faktöriyel değerlerini bir tabloda tutacaksanız hücrenin rakamları değiştirmediğini kontrol edin. Bazı elektronik tablo programları uzun rakam dizilerini yaklaşık sayı olarak saklar. Tam sonucu korumak için metin olarak saklamak uygun olabilir. Hesaplayıcının tam sonuç vermesi, aktarılan başka programın aynı hassasiyeti koruduğu anlamına gelmez. Kopyalanan ilk ve son rakamları karşılaştırmak aktarım hatalarını fark etmeye yardımcı olur.