Hipergeometrik Olasılık Hesaplama: Yerine Koymadan Seçimde Tam ve Aralıklı Sonuçlar

Bir kutuda beş numaralı kart bulunsun ve bunların ikisi mavi olsun. Kartları geri koymadan iki kart seçtiğinizde tam bir mavi kart gelme olasılığı nedir? Soruda toplam kart sayısı, mavi kart sayısı ve seçilecek kart sayısı baştan bellidir. İlk seçimden sonra kutunun içeriği değişir. Bu nedenle iki seçimi, aynı olasılığın değişmeden tekrarlandığı bağımsız denemeler gibi ele alamayız.

Hipergeometrik hesap, sonlu bir topluluktan yerine koymadan seçilen sabit büyüklükteki örnekte, ilgilenilen türden kaç nesne bulunacağını değerlendirir. Bu formda tam bir sayı, en az bir sayı, en fazla bir sayı veya iki sınır dahil bir aralık seçebilirsiniz. Sonuç, girilen topluluk ve rastgele seçim varsayımına bağlı bir olasılıktır; gerçek bir seçimin sonucu hakkında garanti vermez.

Toplam, ilgili tür ve çekiş sayısını ayırın

Toplam nesne sayısı N, seçim yapacağınız bütün topluluğun büyüklüğüdür. Başarılı türde nesne sayısı K, bu toplam içinde saymak istediğiniz gruptur. Çekiş sayısı n, topluluktan alacağınız nesne sayısıdır. Sorulan başarı sayısı k, seçilen n nesnenin içinde ilgili türden bulunmasını istediğiniz adettir. Buradaki başarı sözcüğü olumlu bir sonuç anlamına gelmez; yalnız sayılan sınıfın adıdır.

Örneğin yirmi etiketin yedisi çizgiliyse N = 20 ve K = 7 olur. Beş etiket alacaksanız n = 5 yazılır. Tam iki çizgili etiket sorusu için k = 2 seçilir. K kutusuna yedi yerine yüzde 35 yazmayın: yedi bir adettir, yüzde 35 ise topluluktaki oranıdır. Araç oranı K/N üzerinden kendisi belirler; dört temel sayı da nesne adedi olarak girilir.

Model hangi seçimleri anlatır?

Seçilen nesneler geri konmamalı ve aynı nesne aynı örnekte tekrar seçilmemelidir. Topluluk, ilgilenilen tür ve kalan bütün nesneler olmak üzere birbirini dışlayan iki sınıfa ayrılmalıdır. Her n nesnelik alt kümenin seçilme olasılığı aynı kabul edilir. Sadece işlemin adına rastgele seçim demek bu koşulu sağlamaz; belirli nesneleri önce seçmek veya bazılarına daha yüksek şans vermek farklı bir süreçtir.

N ve K değerleri seçimden önce biliniyor olmalıdır. K bilinmiyorsa, elinizde yalnız önceki örneklerin sayımları varsa veya seçimin sürerken durdurulması planlanıyorsa burada başka bir soru sorulmaktadır. Form gerçek seçim düzenini incelemez, topluluğun türlerini doğrulamaz ve bilinmeyen K değerini veriden tahmin etmez. Sayıları uygularken aynı topluluk tanımını hesap boyunca korumak gerekir.

Tam sayı için kombinasyon formülü

X, seçilen örnekte ilgili türden çıkan nesne sayısı olsun. Tam k için formül P(X = k) = C(K,k) × C(N−K,n−k) / C(N,n) şeklindedir. C(a,b), a farklı nesneden sıralamayı önemsemeden b nesne seçmenin kaç farklı yolu olduğunu gösterir. Paydaki ilk bölüm ilgili türün, ikinci bölüm diğer türün seçimini sayar. Payda mümkün bütün n nesnelik seçimlerin sayısıdır.

Formül nesnelerin geliş sırasını sormaz. İlk kartın mavi ve ikinci kartın farklı renkte olması, iki kart arasında tam bir mavi bulunmasıyla aynı olay değildir. İkinci soruda mavi kartın ilk veya ikinci gelmesi kabul edilir. Sayılan olayın kapsamı büyüdüğünden bu olasılıkların farklı olması beklenir. Araç yalnız örnekteki toplam tür adedini hesaplar; belirli bir çekiş sırasının olasılığını ayrı olarak vermez.

Beş karttan iki kartta tam bir mavi

N = 5, K = 2, n = 2 ve k = 1 yazın. İki mavi karttan birini seçmenin iki yolu vardır. Üç diğer karttan birini seçmenin üç yolu vardır. Uygun çift sayısı 2 × 3 = 6 olur. Beş kartın bütün iki kartlık alt kümeleri C(5,2) = 10 tanedir. Dolayısıyla 6/10 = 0,6, yani yüzde 60 bulunur.

Diğer sonuçlar sıfır mavi veya iki mavidir. Bunların olasılıkları sırasıyla C(3,2)/10 = yüzde 30 ve C(2,2)/10 = yüzde 10 olur. Üç olasılığın toplamı yüzde 100’dür. Ana sonuç yüzde 60 iken diğer sonuçların toplamı satırında yüzde 40 görmeniz bu sayımla uyumludur. Bu kontrol, tek bir grupta tam bir ile tam iki sonucun birlikte gerçekleşemeyeceğini de gösterir.

Mümkün en küçük ve en büyük sayı

İlgili türden en fazla U = min(n,K) nesne çıkabilir. Beş nesne seçerken yedi ilgili nesne olsa bile beşten fazlası çıkamaz. En az sayı ise L = max(0,n−(N−K)) olur. Bunun nedeni, diğer türden yalnız N−K nesne bulunmasıdır. Seçimin geri kalanını zorunlu olarak ilgili tür tamamlar. L ile U arasındaki tam sayılar dağılımın destek aralığını oluşturur.

Örneğin on nesnenin sekizi işaretliyse ve beş nesne seçiliyorsa yalnız iki işaretsiz nesne vardır. Seçimde en az üç, en fazla beş işaretli bulunabilir. Tam iki işaretli sorusu bu toplulukta imkânsızdır ve sonucu yüzde 0’dır. Böyle bir hedef sayı girmek topluluğun kendisini geçersiz yapmaz. Buna karşılık on nesnelik toplulukta K = 12 veya n = 12 yazmak tanımla çelişir; ilgili alan düzeltilmelidir.

En az ve en fazla seçimleri eşik dahil çalışır

En az iki, iki başarıyı ve daha büyük mümkün sayıları kapsar. En fazla iki ise iki başarıyı ve daha küçük mümkün sayıları kapsar. N = 20, K = 7, n = 5 örneğinde en az iki olasılığı 2303/3876, yaklaşık yüzde 59,4169246646 olur. Aynı toplulukta en fazla bir olasılığı 1573/3876, yaklaşık yüzde 40,5830753354’tür. Bu iki olay bütün sonuçları paylaşır ve toplamları yüzde 100’dür.

Günlük dilde “ikiden fazla” dendiğinde iki dahil değildir; formda en az üç seçmelisiniz. “İkiden az” ise en fazla bir demektir. Bir raporda yalnız yüzde yazmak yerine hangi eşiklerin dahil olduğunu da belirtin. En az iki ile en fazla iki birbirinin tamamlayıcısı değildir; ikisi de tam iki sonucunu içerir. Bunları doğrudan toplayıp yüzde 100 beklemek aynı sonucu iki kez sayar.

İki sayı arasında hangi sonuçlar toplanır?

Aralık seçimi alt k ve üst k2 sınırlarını birlikte dahil eder. Yirmi nesnenin yedisi ilgili türdeyken beş seçimde bir ile üç arasında başarı; bir, iki veya üç başarı demektir. Bu üç ayrık sonucun toplamı 13741/15504, yaklaşık yüzde 88,6287409701 olur. Diğer sonuçlar sıfır, dört ve beş başarıdır; toplamları yaklaşık yüzde 11,3712590299’dur.

Üst sınır alt sınırdan küçük olamaz. Alt ve üst aynıysa aralık sorusu tam o sayı sorusuyla aynı sonucu verir. İstenen aralık mümkün destekten genişse yalnız mümkün sayılar olasılığa katkı yapar. Örneğin üç ile beş destekli bir dağılımda sıfır ile on aralığı bütün mümkün sonuçları kapsar; yüzde 100 verir. Araç sınırları destekle birlikte okur, olmayan sonuçlara olasılık eklemez.

Beklenen başarı sayısını nasıl yorumlamalı?

Beklenen başarı sayısı n × K/N olur. N = 20, K = 7, n = 5 için 5 × 7/20 = 1,75 bulunur. Tek bir örnekte 1,75 nesne çıkmaz; gerçekleşen sayı bir tam sayıdır. Beklenti, aynı koşullu seçimlerin olasılık dağılımındaki ortalamayı anlatır. Tam iki sayısının olasılığı ile beklenen 1,75 adedi farklı büyüklüklerdir ve birbirinin yerine kullanılamaz.

Beklenen adedin k’den büyük olması, en az k sonucunun kesin olduğu anlamına gelmez. Benzer şekilde beklentinin sıfıra yakınlığı, ilgili türün hiç seçilemeyeceğini tek başına göstermez. Olayın olasılığı için seçtiğiniz soru türünün sonucuna bakın. Beklenti satırı topluluğun bileşimiyle örnek büyüklüğünü ilişkilendiren bir özet verir; tek seçimin tam sonucunu, bir kabul kararını veya hata payını belirlemez.

Varyans ve sonlu topluluk düzeltmesi

N > 1 için varyans n × (K/N) × (1−K/N) × (N−n)/(N−1) şeklindedir. Standart sapma bu sayının kareköküdür. Son çarpan sonlu topluluk düzeltmesidir. Topluluğun daha büyük bölümü seçildiğinde elde kalan belirsizlik azalır. N = 20, K = 7, n = 5 örneğinde varyans yaklaşık 0,8980263158, standart sapma yaklaşık 0,9476425042 olur.

Standart sapma nesne adedi ölçeğinde bir yayılım özetidir. Sonucun kesinlikle beklentinin bir standart sapma yakınında kalacağını söylemez ve güven aralığı olarak okunmamalıdır. Bütün topluluğu seçtiğinizde n = N olur; X kesin K’dır ve varyans sıfırdır. N = 1 veya n = 0 durumlarında da mümkün sayı tektir, bu nedenle varyans ve standart sapma sıfır gösterilir.

Sıfır ve yüzde yüz hangi durumlarda kesindir?

Hiç nesne seçmiyorsanız n = 0 ve X = 0 olur. Tam sıfır ya da sıfırı içeren bir olay yüzde 100’dür; pozitif bir sayı isteyen olay yüzde 0’dır. Toplulukta ilgili tür hiç yoksa K = 0 için aynı sayım geçerlidir. Bütün nesneler ilgili türdeyse K = N ve seçilen n nesnenin tamamı başarı sayılır. Bu durumlarda sonuç veriden öğrenilen bir tahmin değil, girilen tanımın sonucudur.

Destek dışındaki tam bir sayı matematiksel olarak imkânsızdır. Çok küçük, fakat destek içindeki bir olasılık ise bundan farklıdır. Ekranda yüzde 100’e yuvarlanmış yüksek bir sonuçta diğer sonuçlar satırını da okuyun. Karşıt olay sıfırdan farklıysa sonuç kesin değildir. Yüzde gösteriminin basamakları ile olayın matematiksel yapısı farklı şeylerdir; yuvarlamayı kesinlik kararı olarak kullanmayın.

Çok küçük olasılıklar neden bilimsel yazılır?

On bin nesnenin beş bini ilgili türde olsun ve beş bin nesne seçilsin. Tam sıfır başarı mümkündür: bütün diğer beş bin nesneyi seçmeniz gerekir. Olasılığı 1/C(10000,5000)’dir. Çok küçük olduğu için sıradan ondalık sayı gösteriminin alt sınırına düşebilir. Böyle bir sonucu imkânsız diye sıfıra eşitlemek seçim sayımıyla çelişir.

Gerekli durumda sonuç bilimsel biçimde, örneğin bir katsayı ile 10’un negatif kuvvetinin çarpımı olarak gösterilir. Sonucun yanında yüzde birimi bulunduğundan bu ifade yüzde değerini anlatır. Bir olasılığı 0–1 ölçeğinden yüzdeye geçirirken 100 ile çarparsınız; kuvvet iki artar. Araç mümkün sayıları logaritmik ağırlıklarla değerlendirir ve olayla diğer sonuçları ayrı toplar. Bu yöntem gösterim sınırındaki küçük değerlerin büyüklük bilgisini korumaya yardımcı olur.

İlgili türü ters çevirerek kontrol edin

Beş kartın ikisi mavi, üçü diğer renk olsun. İki kartta tam bir mavi çıkması, aynı iki kartta tam bir diğer renk bulunmasıyla aynı olaydır. İlgili sınıfı değiştirdiğinizde N ve n sabit kalır; K yerine N−K, tam hedef k yerine n−k kullanılır. Her iki tanım da yüzde 60 sonucunu verir. Yalnız K’yi değiştirmek, hedefi de uygun biçimde değiştirmeden aynı olayı korumaz.

Bu dönüşüm aralıkta da yönü değiştirir: k ile k2 arasında ilgili tür, diğer tür için n−k2 ile n−k arasına karşılık gelir. Alt sınırın önceki üst sınırdan türemesi, örneğin büyüklüğünün sabit olmasının sonucudur. İki hesabın uyuşması sayıların doğru aktarıldığını kontrol etmeye yardımcı olur; topluluğun eşit olasılıkla örneklendiğini kanıtlamaz.

Hesabı kullanmadan önce son kontrol

Önce hangi nesnelerin topluluğa dahil olduğunu, hangi türün sayıldığını ve çekilenlerin geri konmadığını yazın. Ardından N, K ve n adetlerini ayrı kontrol edin. Toplam 1 ile 10.000 arasında, diğer sayılar 0 ile 10.000 arasında tam sayı olmalıdır. K ve n ayrıca N’yi aşamaz. Hedef k veya aralık üst sınırı için topluluktan büyük bir sayı, bu giriş sınırları içindeyse, olanaksız veya kapsamı geniş bir olay olarak değerlendirilebilir.

Sonucu paylaşırken “N = 20, K = 7, n = 5, en az iki” gibi yeniden anlaşılabilir bir tanım kullanın. Topluluğun rastgele seçime uygunluğu hakkında yalnız olasılık sonucundan karar çıkarmayın. İşaretli ve işaretsiz sınıfları ters çevirdiğinizde başarı sayısını da n−k olarak değiştirmek, tam olay için yararlı bir sayım kontrolüdür. Sınıfların adını değiştirmek gerçek bir örnekleme düzeninin kusurlarını ortadan kaldırmaz.