Elinizde 2, 8 ve 32 sayıları varsa alıştığınız ortalama onları toplayıp üçe bölmektir. Sonuç 14 olur. Geometrik ortalama ise başka bir soruya cevap verir: Bu üç sayının çarpımını, üç kez aynı sayıyı çarparak korumak istesek o sayı kaç olurdu? Çarpım 512’dir. 8 × 8 × 8 = 512 olduğundan geometrik ortalama 8 olur.

Burada 14 ile 8’den biri mutlaka yanlış değildir. İki hesap farklı özellikleri korur. Aritmetik ortalama toplamı, geometrik ortalama çarpımı temsil eder. Bu araç, sıfırdan büyük değerlerin geometrik ortalamasını eşit etkilerle veya sizin belirlediğiniz ağırlıklarla hesaplar. Sonucun hangi durumda anlamlı olduğunu bilmek, doğru kutuya doğru sayıyı yazmak kadar önemlidir.

Geometrik ortalama ne demek?

İki pozitif sayı için geometrik ortalama, çarpımlarının kareköküdür. Örneğin 2 ve 18 sayılarının çarpımı 36’dır. Karesi 36 olan pozitif sayı 6’dır; dolayısıyla geometrik ortalama 6 olur. Aynı iki sayının aritmetik ortalaması ise (2 + 18) / 2 = 10 çıkar.

Üç sayı olduğunda çarpımın küpkökü, dört sayı olduğunda dördüncü kökü alınır. “Kaç değer varsa o dereceden kök” ifadesi bu yüzden kullanılır. Kutulara kök işareti veya formül yazmanız gerekmez. Değerleri ayrı satırlara yerleştirdiğinizde araç gerekli işlemi yapar. Sonuçla beraber aritmetik ve harmonik ortalama karşılıklarının gösterilmesi, yöntemlerin aynı şey olmadığını fark etmenize yardımcı olur.

Aracı nasıl kullanacaksınız?

Değerlerin her biri aynı ölçüde hesaba katılacaksa “Her değer bir kez sayılsın” seçeneğini kullanın. Her kutuya bir sayı yazın. İki virgül beş için 2,5 biçimi uygundur. Yeni değer için satır ekleyebilir, gereksiz satırı kaldırabilirsiniz. Hazır listeniz varsa toplu yapıştırma bölümünde her satıra bir değer yerleştirin.

Bir değerin birkaç kez sayılması veya daha fazla etkisi olması gerekiyorsa ağırlıklı seçeneğe geçin. Bu görünümde değer ile etkisi ayrı kutulardadır. Örneğin ilk satıra değer 2, etki 1; ikinci satıra değer 8, etki 2 yazabilirsiniz. Araç ikinci değeri iki kat etkili kabul eder. Etki alanına değerin kendisini yeniden yazmanız istenmez; o satırın hesaba ne kadar katılacağı sorulur.

İlk örnek: 2, 8 ve 32

Sayıları açıkça çarpalım: 2 × 8 = 16, ardından 16 × 32 = 512. Üç sayı bulunduğu için 512’yi verecek üç eşit çarpan ararız. 8 × 8 × 8 = 512 olduğu için cevap 8’dir. Sonucu kontrol etmenin en basit yolu bu eşitliği yeniden kurmaktır.

Listede küçük değer 2, büyük değer 32’dir. Geometrik ortalamanın bu aralığın dışında olmaması gerekir. 80 gibi bir sonuç gördüyseniz sayı yazımını veya işlemi kontrol edin. Ancak aralık içinde bulunmak tek başına doğruluğu kanıtlamaz; örneğin 14 de aralık içindedir ama bu listenin geometrik değil, aritmetik ortalamasıdır. Kontrolde hangi özelliğin korunduğunu da inceleyin.

Ağırlıklar tekrarlanan değerleri nasıl temsil eder?

2, 8, 8 listesini düşünün. Geometrik ortalama (2 × 8 × 8)^(1/3) olur ve yaklaşık 5,039684 bulunur. Aynı listeyi iki satırda da gösterebilirsiniz: 2’nin ağırlığı 1, 8’in ağırlığı 2. Sonuç değişmez. İkinci satırın iki kez sayılması, toplamda üç eşit etkili değer bulunmasıyla aynı hesaptır.

Buna karşılık 2 ve 8’i yalnızca birer kez yazarsanız geometrik ortalama 4 olur. Tekrar sayısını kaybetmek sonucu değiştirir. Özellikle grupları özetleyen bir tabloyla çalışırken “Her satır bir grup” ile “Her satır bir gözlem” ayrımını koruyun. Gruplar farklı büyüklükteyse onları eşit etkili saymak, bütün gözlemleri aynı ölçüde değerlendiren hesapla eşdeğer olmayabilir.

Ağırlıkların toplamı 100 olmak zorunda mı?

Hayır. Bu araçtaki ağırlıklar göreli etkiyi gösterir. 1 ve 2 ile 10 ve 20 aynı etki oranını taşır. Her iki durumda ikinci değer birincinin iki katı ağırlıktadır. 25 ve 50 yazmanız da aynı karşılığı verir; toplamın 100’e ulaşmaması hata değildir.

Bunun nedeni bütün ağırlıkların toplamlarına bölünerek kullanılmasıdır. İki satırın ağırlıkları 1 ve 2 olduğunda paylar 1/3 ve 2/3 olur. 10 ve 20’de de 10/30 ve 20/30 aynı payları verir. Bu kutuların bir sınav notu sistemindeki zorunlu yüzde toplamını denetlemediğini unutmayın. Burada bir kurum kuralı değil, sizin kurduğunuz matematiksel ağırlık modeli uygulanır.

Yüzde değişimlerini doğrudan yazmayın

Bir sayının önce %25 arttığını, sonra %20 azaldığını düşünün. Başlangıç 100 ise ilk adımda 100 × 1,25 = 125, ikinci adımda 125 × 0,80 = 100 olur. Değer başlangıca dönmüştür. Bu değişimleri geometrik ortalamayla incelemek için kutulara 25 ve −20 yazmayız; 1,25 ve 0,80 çarpanlarını yazarız.

Çarpanların çarpımı 1, geometrik ortalaması da 1’dir. Bu, iki eşit uzunluktaki adımı aynı çarpanla temsil ettiğimizde her adımda değişim olmamasına karşılık gelir. Yüzde karşılığını bulmak için (1 − 1) × 100 = %0 işlemi yapılır. Ham yüzdelerin aritmetik ortalaması %2,5 çıkar, fakat bu iki ardışık adımın bileşik sonucunu korumaz.

Birden küçük sonuç eksi değer midir?

Hayır. 0,8, sıfırdan büyük fakat 1’den küçük bir sayıdır. Çarpan olarak kullanıldığında önceki değerin %80’inin kaldığını, yani %20 azalma olduğunu anlatabilir. Sayının kendisi negatif değildir. Geometrik ortalama pozitif çarpanlarla çalışırken 1’den küçük sonuç vermesi doğaldır.

Örneğin 0,25 ve 1,44 çarpanlarının çarpımı 0,36’dır. Geometrik ortalama 0,6 olur. İki adımı eşit çarpanla temsil ederseniz 0,6 × 0,6 = 0,36 elde edersiniz. Çarpan yorumunda 0,6, adım başına %40 azalma demektir. Araç ana sonuç olarak 0,6’yı gösterir; bunu kendiliğinden gelir, kayıp veya yüzde değeri diye etiketlemez.

Dönem uzunluklarının eşitliği neden önemli?

Bir aylık değişimle bir yıllık değişimi iki eşit dönem gibi ortalamak yanıltıcı olabilir. Geometrik ortalama çarpımsal ilişkiyi kurar; fakat süreleri siz belirtmeden eşitlemez. Önce karşılaştırılabilir dönemler veya açıkça tanımlanmış ağırlıklar gerekir. Sadece satırların yanına “ay” ve “yıl” yazmak araca otomatik dönüşüm yaptırmaz.

Ağırlık kullanmak da her zaman süre sorununu çözmez. Bir oran toplam üç yıllık değişimi temsil ediyorsa onu üç kez tekrar edilmiş bir yıllık çarpan gibi ağırlıklandırmak aynı anlama gelmez. Önce o toplam çarpanın hangi süreye ait olduğunu ve hangi eşdeğer dönem çarpanının arandığını belirleyin. Yanlış tanımlanmış değerleri düzgün ağırlıklandırmak matematik hesabını tamamlar, fakat yorum sorununu ortadan kaldırmaz.

Sıfır ve negatif girişler neden durduruluyor?

Bu sürüm, logaritmaya dayanan yöntem kullandığı için bütün değerlerin sıfırdan büyük olmasını ister. Sıfır içeren bazı çarpımlar için daha geniş geometrik ortalama tanımları kurulabilir; ancak burada o ayrı durum otomatik uygulanmıyor. Örneğin %100 azalmayı temsil eden 0 çarpanı yazdığınızda araç açıklamayla durur. Bu, sıfır sonucun matematikte hiçbir anlamı olmadığı iddiası değildir; uygulamanın kapsam sınırıdır.

Negatif sayılarda ise kökün derecesine ve seçilen tanıma göre farklı sorunlar ortaya çıkar. Bu sayfada negatif değerlerin mutlak değerleri alınmaz; eksi işaretleri sessizce silinmez. −2 ve −8 yazıp 4 beklemek bu aracın kabul ettiği pozitif veri modeli değildir. Farklı bir tanım gerekiyorsa sonuç, o tanım açıkça belirlenmeden üretilmemelidir.

Sıfır ağırlık ile sıfır değer farklıdır

Bir satırın değeri 5, ağırlığı 0 ise o satır ortalamayı değiştirmez. Panelde etkisi sıfır olduğu için dışarıda kalan satır sayısı gösterilir. Fakat aynı satırın değerini 0 yapmak başka bir durumdur; bu araç bütün yazılan değerlerde pozitiflik koşulunu arar. Kullanmadığınız satırı kaldırmak, geçersiz bir değeri görünmezce devre dışı bırakmaya çalışmaktan daha açıktır.

Bütün ağırlıkları 0 yaparsanız hesapta etkili hiçbir veri kalmaz. Bu durumda sonuç 0 olarak verilmez; en az bir satıra sıfırdan büyük etki yazmanız istenir. “Hesap yapılamıyor” ile “ortalama sıfır” farklı sonuçlardır. Böyle bir ayrım, özellikle otomatik tablo üretirken eksik verinin gerçek ölçüm gibi görünmesini önler.

Birimleri ve ölçekleri aynı tutun

2 metre ile 8 metreyi birlikte değerlendirirseniz geometrik ortalama 4 metre olur. Aynı ölçüleri 200 ve 800 santimetre olarak yazarsanız cevap 400 santimetredir; fiziksel büyüklük aynıdır. Ancak bir satıra 2 metreyi, diğerine 800 santimetreyi birim dönüşümü yapmadan 2 ve 800 diye yazarsanız başka bir hesap kurmuş olursunuz.

Bir sıcaklık ile bir uzunluğu sırf ikisi de pozitif diye ortalamak da anlamlı bir ortak büyüklük oluşturmaz. Araç değerlerin nereden geldiğini okuyamaz. Yüzde çarpanları, uzunluklar veya başka ölçüler kendi yorumları içinde kullanılmalıdır. Değerlerin ortak bir ölçüye ve anlamlı bir çarpımsal karşılaştırmaya sahip olduğunu kontrol etmek kullanıcıya aittir.

Aritmetik ve harmonik sonuçları nasıl karşılaştırmalı?

Aynı pozitif değerler ve aynı ağırlıklarla harmonik ortalama ≤ geometrik ortalama ≤ aritmetik ortalama ilişkisi bulunur. Bütün değerler eşitse üçü de aynı değeri verir. Örneğin 7, 7 ve 7 için sonuç her yöntemde 7’dir. Değerler birbirinden uzaklaştıkça aradaki fark büyüyebilir.

Bu ilişki, en küçük çıkan yöntemin daha iyi olduğu anlamına gelmez. 2 ve 18 için aritmetik ortalama 10, geometrik ortalama 6, harmonik ortalama 3,6 olur. Her biri başka bir yapıyı korur. Sayıların toplamıyla ilgileniyorsanız aritmetik; çarpımsal eşdeğerlikle ilgileniyorsanız geometrik; belirli ters oran ilişkilerinde harmonik ortalama uygundur. Önce soruyu seçin, sonra yöntemi.

Büyük listelerde hesap nasıl korunuyor?

Çok sayıda büyük değeri doğrudan çarpmak bilgisayarın yaklaşık sayı aralığını aşabilir. Bu yüzden araç önce logaritmaları kullanarak çarpımı toplam biçiminde ele alır, sonunda tekrar geri dönüştürür. Böylece ara çarpım gereksiz yere devasa bir sayıya dönüşmez. Ağırlıklar da ölçeklenerek toplamların güvenilirliği artırılır.

Sonuçlar yine yaklaşık gerçek sayı aritmetiğine dayanır; ekrandaki son rakamlar kesin sembolik ifade olarak sunulmaz. 8 gibi bir matematiksel değerin içeride 7,999999999999998 biçiminde temsil edilmesi küçük sayısal yuvarlamadan kaynaklanabilir. Kullanıcıya okunabilir sonuç gösterilir. Ölçüm veriniz birkaç rakam hassasiyetindeyse hesapta daha fazla rakam görmek ölçümün doğruluğunu artırmaz.

Sayının ölçüyle ilişkisini bir şekil üzerinden görün

Geometrik ortalama yalnızca büyüme oranlarında kullanılmaz. İki pozitif uzunlukla kurulan dikdörtgenin alanını koruyan kareyi düşünmek, hesabın neyi eşitlediğini görmeyi kolaylaştırır. Kenarları 2 metre ve 8 metre olan bir dikdörtgenin alanı 16 metrekaredir. Aynı alana sahip karenin bir kenarı 4 metredir; çünkü 4 × 4 yine 16 eder. İki kenarın geometrik ortalaması da 4 metredir. Aritmetik ortalama olan 5 metreyle bir kare çizseydik alan 25 metrekareye çıkardı. Yani o işlem farklı bir özelliği korurdu.

Üç sayıda benzer bir düşünce kurulabilir. Kenarları 2, 8 ve 32 birim olan dikdörtgenler prizmasının hacmi 512 birimküptür. Her kenarı 8 birim olan küpün hacmi de 512 birimküptür. Bu yüzden üç uzunluğun geometrik ortalaması 8 olur. Burada alanı değil hacmi koruduk; kaç ölçünün çarpıldığını takip etmek önemlidir.

Bu örnekler, elinizdeki malzemenin gerçekten kesilip yeniden birleştirilebileceğini söylemez. Duvar kalınlığı, kesim kaybı veya biçim kısıtı hesaplanmadı. Ama ortalamanın anlamını kontrol etmek için yararlıdır: Bulduğunuz ortak değeri aynı sayıda kendisiyle çarptığınızda, başlangıçtaki çarpıma geri dönmelisiniz. Ölçüler farklı birimlerdeyse önce hepsini aynı birime çevirin. Santimetre ile metreyi aynı listedeki çıplak sayılar gibi çarpmak, sonucu fiziksel olarak anlamsız hâle getirebilir.