Bu hesap hangi soruyu cevaplar?
İki farklı süratle yol aldınız. Yolculuğun ortalama süratini bulmak için bu iki sayıyı toplayıp ikiye bölmek her zaman doğru değildir. Her süratte ne kadar yol aldığınız veya ne kadar zaman geçirdiğiniz de önemlidir. Harmonik ortalama, bazı oranları birleştirirken bu farkı hesaba katmanın bir yoludur. Özellikle aynı uzunluktaki yolların farklı süratlerle geçilmesi, anlaşılır bir başlangıç örneğidir.
Bu araç pozitif sayıların harmonik ortalamasını hesaplar. Her sayının eşit etkili olmasını seçebilir veya ağırlıkları ayrı yazabilirsiniz. Sonuç ekranında harmonik ortalamayla birlikte aynı verilerin aritmetik ve geometrik ortalamaları da gösterilir. Bunlar birbirinin yerine geçebilen üç ayrı isim değildir. Hangi sonucun sorunuza uygun olduğunu, verilerin neyi temsil ettiğine bakarak seçmelisiniz.
Kutulara ne yazacaksınız?
Önce “Her değer bir kez sayılsın” veya “Her değerin etkisini ayrıca yazacağım” seçeneğini kullanın. İlkinde her kutuya bir sayı yazılır. İkincisinde bir satırda değer, yanındaki kutuda o değerin ağırlığı bulunur. Değerler sıfırdan büyük olmalıdır. Ağırlık sıfır olabilir; bu satır ortalamadan çıkarılır. En az bir satırın ağırlığı sıfırdan büyük kalmalıdır.
Örneğin 30 ve 60 km/sa süratlerle aynı uzunlukta iki yol gittiyseniz, eşit etkili görünümde 30 ve 60 yazın. Mesafeler farklıysa ağırlıklı görünümü seçin. Değer kutularına süratleri, etki kutularına ilgili mesafeleri yazın. Süratlerin yanında kullanılan yol ağırlığına süre yazmak, aynı formülle başka ve genellikle yanlış bir model kurar.
Eşit mesafelerde ortalama neden 40 olur?
İlk 120 kilometreyi 30 km/sa, sonraki 120 kilometreyi 60 km/sa ile gittiğinizi düşünün. İlk bölümün süresi 120 ÷ 30 = 4 saattir. İkinci bölüm 120 ÷ 60 = 2 saat sürer. Toplam yol 240 kilometre, toplam süre 6 saattir. Yolculuğun ortalama sürati 240 ÷ 6 = 40 km/sa olur.
İki sürati toplayıp ikiye bölseydiniz 45 bulurdunuz. Fakat yavaş süratte dört saat, hızlı süratte iki saat geçirdiniz. Süreler eşit olmadığı için bu iki sürat yolculuğun zamanını eşit temsil etmiyor. Harmonik ortalama bu örnekte doğru sonucu verir: 2 ÷ (1/30 + 1/60) = 40. Kesirli ifadeyi ezberlemek yerine toplam yol ve toplam süreyle kontrol etmek daha açıklayıcıdır.
Kısa formülün içindeki işlemler
Eşit etkili değerlerde önce her sayının tersini bulun: 30 için 1/30, 60 için 1/60. Bu tersleri toplayın ve kaç sayı kullandıysanız o adedi bu toplama bölün. İki değer için pay 2, üç değer için 3 olur. Formülün genel gösterimi değer sayısı ÷ terslerin toplamı şeklindedir.
“Tersini almak”, sayının işaretini değiştirmek demek değildir. 4’ün tersi 1/4, yani 0,25’tir; −4 değildir. Ayrıca başlangıçtaki değerlerin aritmetik ortalamasını bulup onun tersini almak da farklı bir işlemdir. İşlem sırası önemlidir: önce her değerin tersi, sonra toplam, en son bölme. Araç bunları otomatik yapar; kullanıcıdan ters değerleri hazırlayıp yazması beklenmez.
Mesafeler farklıysa ağırlık kullanın
Bu kez 120 kilometreyi 30 km/sa, 240 kilometreyi 60 km/sa ile gidelim. Süreler sırasıyla dört ve dört saattir. Toplam 360 kilometre sekiz saatte tamamlanır; ortalama 45 km/sa olur. Ağırlıklı girişte “30 ve 120”, ardından “60 ve 240” satırlarını yazın.
Hesap (120 + 240) ÷ (120/30 + 240/60) biçimindedir. Pay toplam mesafeyi, payda toplam süreyi verir. Burada 120 ve 240’ın ikisini de ikiye bölerek 60 ve 120 yazmak sonucu değiştirmez. Ağırlıkların birbirine oranı korunur. Ancak yalnızca bir ağırlığı değiştirmek, yolculuğun hangi bölümünün ne kadar etkili olduğunu değiştirir; yeni sonuç eski yolculuğun ortalaması değildir.
Eşit süreli yolculukta neden başka ortalama gerekir?
30 km/sa ile iki saat, 60 km/sa ile iki saat yol aldığınızı düşünün. İlk bölüm 60, ikinci bölüm 120 kilometredir. Toplam 180 kilometre dört saatte gidilir. Ortalama sürat 45 km/sa çıkar. Eşit süreler söz konusu olduğundan iki süratin aritmetik ortalaması bu kez uygundur.
Harmonik araca yalnızca 30 ve 60 yazarsanız 40 bulursunuz; bu yanlış hesap değil, farklı koşulun hesabıdır. Eşit mesafeleri temsil eder. Aynı yolculuğu harmonik biçimde modellemek için ağırlıklara gerçek mesafeler olan 60 ve 120 yazmalısınız. Hangi ortalamayı kullanacağınızdan emin değilseniz temel soruya dönün: Toplam yol ne kadar, toplam süre ne kadar? Bu iki bilgi çoğu karışıklığı çözer.
Eşit para harcanan alışlarda birim fiyat
Bir ürünün birim fiyatı ilk alışta 10 TL, ikinci alışta 20 TL olsun. Her seferinde 120 TL harcarsanız ilk alışta 12, ikinci alışta 6 ürün alırsınız. Toplam 240 TL ödeyip 18 ürün aldığınız için ortalama birim maliyet 240 ÷ 18 = yaklaşık 13,33 TL olur. Bu, 10 ile 20’nin harmonik ortalamasıdır.
Ama her fiyattan eşit sayıda ürün alırsanız ortalama 15 TL çıkar. Burada eşit olan para değil, ürün adedidir. Komisyon, kargo veya başka masraflar varsa bu basit fiyat örneğine dahil değildir. Gerçek alış kaydını ayrıntılı incelemek için miktar ve toplam maliyet üzerinden ilerlemek gerekir. Harmonik ortalamayı, her fiyat listesinde otomatik kullanılacak bir alış maliyeti yöntemi gibi düşünmeyin.
Bir değerin ağırlığı neyi temsil ediyor?
Ağırlık, bu satırın modelde ne kadar yer tuttuğunu belirtir. Tekrarlanma sayısı olabilir; oran hesabına göre mesafe veya harcanan para olabilir. Ancak bunların hepsi aynı anda aynı anlamı taşımaz. Süratlerin harmonik ortalamasında mesafeyi ağırlık olarak kullandık. Eşit harcama örneğinde ağırlıklar para tutarlarıydı. Her durumda pay ile paydanın birimlerini kontrol ettik.
Ağırlığa 3 yazmak “değeri üç artır” anlamına gelmez. Eşit tekrarlı bir listede o değerin üç kez yer almasıyla aynı etkiyi verir. 30’a ağırlık 2, 60’a ağırlık 1 verilmesi; 30, 30, 60 listesinin harmonik ortalamasına eşdeğerdir. Ağırlıkların yüzdeler hâlinde toplamının 100 olması şart değildir. 2 ve 1 ile 20 ve 10 aynı oranı anlatır.
Sıfır ve eksi değerler neden hesaplanmıyor?
Bu sürümün modeli yalnızca sıfırdan büyük değerler için tanımlanmıştır. Sıfırın tersi olan 1/0 normal sayı aritmetiğinde hesaplanamaz. Eksi değerleri karıştırmak ise burada kullanılan pozitif büyüklük ve oran yorumunu değiştirir. Araç bu durumlarda anlamı belirsiz bir ortalama üretmek yerine sorunlu satırı gösterir.
Bu sınır, her matematiksel bağlamda negatif değerlerle hiçbir ifade kurulamayacağı anlamına gelmez. Yalnızca bu aracın desteklediği kapsamı belirtir. Yolculuktaki bir bekleme süresini temsil etmek için sürate sıfır yazmak da uygun değildir. Bekleme, toplam süreye ayrıca eklenmelidir. Bu araçta duraklama süresi alanı yoktur; duruş içeren yolculuğun genel ortalamasını toplam yol ve toplam geçen süreyle hesaplayın.
Sonuç diğer ortalamalardan neden küçük?
Aynı pozitif değerler ve aynı negatif olmayan ağırlıklar kullanıldığında harmonik ortalama, geometrik ortalamadan büyük olmaz; geometrik ortalama da aritmetik ortalamadan büyük olmaz. Örneğin 30 ve 60 için bu sonuçlar sırasıyla 40, yaklaşık 42,43 ve 45 olur. Bütün değerler eşitse üçü de aynı sayıyı verir.
Bu sıralama, küçük çıkan sonucun daha doğru veya daha ihtiyatlı olduğunu göstermez. Doğru ortalama, sorunun yapısına bağlıdır. Birim fiyat, sınav notu ve sürat gibi farklı ölçüleri tek listede birleştirmemelisiniz. Harmonik ortalama özellikle küçük pozitif değerlere duyarlıdır; çünkü onların tersleri büyüktür. Böyle bir etki istenmiyorsa sırf sonuç düşük olsun diye bu yöntemi seçmek veriyi yanıltıcı özetler.
Sonuç ekranını nasıl okuyacaksınız?
En üstte harmonik ortalama bulunur. Alt bölümde hesaba katılan satır sayısı, en küçük ve en büyük değer, diğer iki ortalama ve satırların etkileri gösterilir. Ağırlığı sıfır olan satırlar sonuçtan çıkarılmış olarak belirtilir. Girdiği hâlde kullanılmayan bir satırın neden dışarıda kaldığını buradan görebilirsiniz.
Tek bir pozitif değer yazarsanız ortalama o değerin kendisidir. Aynı değeri birkaç kez yazmak da onu değiştirmez. Sonuç normal koşullarda kullanılan en küçük ve en büyük değer arasında kalmalıdır. Ekrandaki ondalık basamaklar gösterim için yuvarlanır; ara hesaplar yalnızca görünen basamaklarla yürütülmez. Son basamakta farklılık gördüğünüzde önce aynı girdileri, ağırlıkları ve yuvarlama biçimini kullanıp kullanmadığınızı kontrol edin.
Çok farklı büyüklükte sayılarda kontrol
Büyük ve küçük değerler aynı listede bulunabilir. Hesaplama, doğrudan bütün tersleri kaba biçimde toplamaktan kaynaklanabilecek sayısal kayıpları azaltmak için ölçeklenir. Bu, ölçümünüzü daha hassas yapmaz; sadece verilen sayılarla yapılan bilgisayar hesabının davranışını iyileştirir. Ölçümlerin doğru birimi ve güvenilirliği yine veriyi hazırlayana bağlıdır.
Sonucu bir başka yöntemle kontrol etmek yararlıdır. Sürat örneğinde her mesafeyi o bölümün süratine bölün, süreleri toplayın ve toplam mesafeyi bu süreye bölün. Alış örneğinde her harcamanın kaç ürün aldığını bulun, ürünleri ve ödemeleri ayrı toplayın. Her iki yoldan aynı sonuca ulaşmak, ağırlıkların yanlış sütuna yazılmadığını da denetler. Karmaşık bir işlemi önce iki satırlık küçük örnek üzerinde denemek hatayı bulmayı kolaylaştırır.
Birden fazla günün ortalamasını birleştirirken
Her gün için bulunmuş ortalama süratleri yeniden eşit ağırlıklı toplamak, çok günlü yolculuğun sonucunu her zaman vermez. Bir gün 20 kilometre, diğer gün 400 kilometre gidilmiş olabilir. Günlük ortalamalar süre bilgisiyle birlikte saklanmadıysa önemli bilgi kaybolur. Toplam mesafeler biliniyor ve günlük ortalamalar bütün ilgili süreleri aynı biçimde kapsıyorsa mesafeyle ağırlıklı harmonik ortalama kurulabilir.
Yalnızca birkaç ortalama sayıyı görmek, bu koşulların sağlandığını kanıtlamaz. Bir kayıtta duraklamalar dahil, diğerinde hariçse önce tanımları eşitleyin. “Ortalama” başlığı aynı olsa bile farklı kapsamlı ölçüler birbirine karıştırılmamalıdır. Bu araç kayıtların anlamını otomatik okuyamaz. Sonucu kullanmadan önce satırların hangi dönem, hangi birim ve hangi toplamı temsil ettiğini not etmek, formülü doğru seçmek kadar önemlidir.
Üretim hızında peş peşe iş ile aynı anda iş farklıdır
Bir atölyede önce saatte 20 ürün, daha sonra saatte 30 ürün çıkarılan iki çalışma bölümü olsun. Her bölümde 60 ürün üretilmişse ilk bölüm üç, ikinci bölüm iki saat sürer. Toplam 120 ürün beş saatte hazırlanır. Bu sürecin ortalama üretim hızı saatte 24 üründür; 20 ve 30’un harmonik ortalaması da 24 çıkar. Eşit olan yine süre değil, tamamlanan iş miktarıdır.
Aynı sayıları iki makinenin aynı anda çalışması için kullanırken durun. Biri saatte 20, diğeri saatte 30 ürün üreten iki makine birbirini engellemeden eşzamanlı çalışıyorsa toplam kapasite saatte 50 üründür. Burada harmonik ortalama almak kapasiteyi vermez. Darboğaz, ortak personel veya bekleme gibi koşullar varsa 50 sayısı da tek başına gerçek üretimi kanıtlamaz.
Bu ayrım yalnızca üretim için değildir. Bir işi sırasıyla farklı hızlarda tamamlamak, iki kişinin işi birlikte yapması ve farklı günlerde eşit süre çalışmak ayrı modellerdir. Birimlerin aynı olması, her durumda aynı ortalamanın kullanılabileceği anlamına gelmez. Önce işlem akışını bir cümleyle yazın: “Her bölümde aynı miktarda iş tamamlandı” mı, “aynı süre çalışıldı” mı, yoksa “aynı anda çalışıldı” mı? Ardından toplam miktarın hangi toplam süreye bölüneceğini belirleyin. Böylece formülden önce hesabın mantığı netleşir ve doğru bir sayıyı yanlış sorunun cevabı diye kullanma riski azalır.