Binom opsiyon ağacı rehberi | Hesaplamak.Net

Dönemler aynı uzunlukta soyut adımlardır. Sıfırıncı dönem başlangıcı, son dönem ise vade sonunu temsil eder. Adımların takvim günü, hafta veya yıl olarak yorumlanması için gerekli dönüşümleri bu araç yapmaz. Dönem sayısını girerken bütün çarpanların bir adımlık anlamını koruyun. Bir çarpanı aylık, diğerini yıllık varsaymak aynı ağacı tanımlamaz. Dönem sayısını artırmak da tek başına aynı vadeyi daha küçük parçalara ayırmak değildir; diğer girdiler sabit bırakılırsa modelin toplam süresi değişir.

Risksiz brüt dönem çarpanı R, bir birim paranın bir dönem sonraki model karşılığıdır. R bir olduğunda dönem faizi sıfırdır. Birden büyük olduğunda pozitif, birden küçük olduğunda negatif efektif dönem faizi temsil edilir. Bu alana yüzde sayı yazılmaz ve girilen değere yeniden bir eklenmez. Bir dönemlik iskonto, devam değerinin R değerine bölünmesiyle yapılır. R pozitif kaldığı sürece birden küçük olması hesabı geçersiz kılmaz; yalnız iskonto ilişkisinin yönünü değiştirir.

Aynı R bütün adımlarda ve bütün düğümlerde kullanılır. Bu nedenle çalışma farklı vadelerin risksiz oranlarını ayrı ayrı içeren bir eğriyi, değişen faiz ortamını veya gelecekteki faiz tahminini kapsamaz. Risksiz sözcüğü de gerçek bir kurumun ödeme gücünün doğrulandığı anlamına gelmez. Modelde ortak ve kesin bir büyüme çarpanı bulunduğu varsayılır. Gerçek piyasada borç alma, borç verme ve işlem koşulları aynı olmayabilir. Bu koşullar ayrıca araştırılmadan model varsayımını gerçekleşmiş bir piyasa bilgisi gibi aktarmayın.

Her dönemde dayanak fiyatı iki çarpandan biriyle çarpılır. d düşük, u yüksek çarpandır. Yüksek sözcüğü, yalnız u değerinin d değerinden büyük olduğunu anlatır. İki çarpan da birden küçük olabilir; bu durumda iki dalda da dayanak fiyatı azalır. İkisi de birden büyük olabilir; bu durumda iki dalda da artar. Bu yüzden dalları koşulsuz biçimde yükseliş ve düşüş diye adlandırmak yanıltıcıdır. Tablo yüksek çarpanın kaç kez uygulandığını göstererek bu karşılaştırmayı açık tutar.

Bir düğümün dayanak fiyatı, başlangıç fiyatının o ana kadar kullanılan yüksek ve düşük çarpanlarla çarpılmasıdır. Aynı dönemde yüksek çarpanın uygulanma sayısı aynıysa, çarpanların geliş sırası fiyatı değiştirmez. Ağaç bu anlamda yeniden birleşir. Tablo satırındaki dönem numarası geçen adım sayısını, yüksek çarpan sayısı ise bu adımların kaçında u kullanıldığını belirtir. Kalan adımlarda d uygulanmıştır. Başlangıçta henüz hiçbir çarpan kullanılmadığından her iki sayı da sıfırdır.

Yeniden birleşme, bütün fiyat yollarının tek bir gerçek gelecek olduğu anlamına gelmez. Farklı geçmişler aynı yerel model durumuna ulaşabilir. Bu durumdaki hak değeri, o ana kadar kullanılmamış bir hak ve kalan adımlar için hesaplanır. Düğümleri okurken dayanak fiyatının yanında kalan kullanım imkanını da düşünün. Aynı fiyatın farklı dönemlerde görünmesi, kalan vade farklı olduğundan aynı opsiyon değerini gerektirmez. Tablo bu zaman farkını dönem sütunuyla korur ve yalnız fiyat benzerliğine dayanarak satırları birleştirmez.

Her dönemde, o ana kadarki yüksek çarpan sayısı için ayrı bir satır vardır. Başlangıç satırıyla birlikte bütün dönemler gösterilir; son dönemdeki durumlar tek başına bütün tablo değildir. Kırk dönemlik çalışmada toplam 861 düğüm bulunur. Bu satır sayısı aynı sayıda bağımsız senaryo veya aynı sayıda ayrı sözleşme anlamına gelmez. Birleşen geçmişler ortak bir düğümde temsil edilir. Dolayısıyla tablo uzunluğunu gerçek olayların sayısı veya bir tahminin güven düzeyi olarak yorumlamayın.

Başlangıç dayanak fiyatı pozitif olmalı, kullanım fiyatı ise sıfır veya pozitif girilmelidir. Başlangıç fiyatı en az 0,000001 PB, en fazla 1000000000000 PB olabilir. Kullanım fiyatı sıfırdan aynı üst sınıra kadar kabul edilir. Parasal girdilerde en fazla altı ondalık basamak kullanılır. Bu ölçek kuruşla sınırlı değildir. Değerlerin başına işaret, sonuna para birimi, aralarına binlik ayırıcı eklemeyin. Ondalık ayracı olarak nokta veya virgül kullanılabilir; bilimsel sayı yazımı giriş biçimi değildir.

Düşük fiyat çarpanı, yüksek fiyat çarpanı ve R ayrı ayrı en az 0,000001, en fazla 10 olabilir. Bunun yanında düşük çarpan kesin olarak R değerinden küçük, R de yüksek çarpandan küçük olmalıdır. Sınırdaki eşitlikler geçerli değildir. İki fiyat çarpanının eşit olması da iki durumlu fiyatlama yapısını ortadan kaldırır. Birbirine çok yakın geçerli değerler kullanılabilir; fakat eşitliğin küçük bir görüntü farkıyla aşılmış sayılması beklenmemelidir. Karşılaştırma girilen değerlerin kendisine göre yapılır.

Çarpanlarda da en fazla altı ondalık basamak kabul edilir. Dönem sayısı ise 1 ile 40 arasında tam sayıdır; kesirli dönem kullanılmaz. Her alanın metin uzunluğu en fazla 48 karakterdir. Geçerli görünen bir sayıya gereksiz basamaklar veya dış boşluklar eklemek alan sınırını genişletmez. Desteklenmeyen hassasiyet kendiliğinden yuvarlanarak kabul edilmez. Bu koşullar çalışma alanını belirler; bir parametrenin aralık içinde olması ekonomik olarak makul, gözlenmiş veya gerçek bir sözleşmeye uygun olduğu anlamına gelmez.

Yüksek çarpan dalının fiyatlama ağırlığı q, R ile d farkının u ile d farkına bölünmesiyle bulunur. Düşük dalın ağırlığı bir eksi q değeridir. Katı sıralama koşulu iki ağırlığı da sıfır ile bir arasında tutar. Böylece ağırlıklı bir dönemlik dayanak çarpanı R olur. Bu eşitlik, aynı iki durumlu modelde hak ödemesini çoğaltan ideal bir finansal ilişkinin fiyatlamasını kurar. Kullanıcı ayrıca yüksek dal için gözlenmiş bir gerçekleşme olasılığı girmez.

Risk nötr ağırlık, dayanağın gerçekten yüksek dala gitme ihtimali değildir. Bir fiyatlama denkliğini sağlayan katsayıdır. q değerini gelecek başarı yüzdesi, tahmin güveni veya istatistiksel sıklık diye yorumlamak hesabın anlamını değiştirir. Aynı terminal hak ödemeleri korunurken R değişirse bu ağırlık ve bugünkü fiyat da değişebilir. Dolayısıyla yalnız vade sonundaki ödeme biçimini bilmek bugünkü model değerini belirlemeye yetmez. Ortak çarpanlar ile iskonto varsayımı da birlikte gereklidir.

Bu ilişki bölünebilir dayanak, maliyetsiz işlem, aynı koşullarda risksiz borç alma ve verme, gerektiğinde açığa satış gibi ideal kabullere dayanır. Araç bunların gerçek bir hesapta veya piyasada sağlandığını kontrol etmez. Girdiler arasındaki sıralama, yalnız kurulan modelin katı koşuludur. Bu kontrolün geçmesi gerçek piyasada arbitraj bulunmadığının denetimi değildir. Benzer biçimde kontrolün geçmemesi size uygulanabilir bir kazanç işlemi göstermez; yalnız seçilen iki durumlu değerleme modelinin bu girdilerle kurulamayacağını belirtir.

Alım hakkı olan call için anlık içsel değer, dayanak fiyatı kullanım fiyatını aştığında aradaki farktır; diğer durumlarda sıfırdır. Satım hakkı olan put için fark ters yöndedir: kullanım fiyatının dayanak fiyatını aşan kısmı alınır. Bu sıfır alt sınırı, hak sahibinin negatif içsel değerle kullanmaya zorlanmadığını ifade eder. Bir satıcının pozisyon zararını veya ödenen primi içermez. Çıkan rakamı geçmiş nakit akışları düşülmüş toplam kazanç gibi okumayın.

Vade sonunda iki kullanım stilinin değeri bu içsel ödemeye eşittir. Sonrasında beklenebilecek başka bir model adımı kalmadığı için terminal satırda devam değeri bulunmaz. Bu alanın boş olması sıfır devam hesabı yapıldığı veya veri eksikliği bulunduğu anlamına gelmez. Son dönem için kavramın uygulanmadığını anlatır. Vade öncesinde ise anlık değer ile hak fiyatı ayrı sütunlardır. Hemen kullanımın sağlayacağı tutar, bekleme imkanının değerini her zaman temsil etmez.

Avrupa kullanım stilinde hak yalnız son dönemde kullanılabilir. Son dönem ödemelerinden başlanarak her önceki düğümde iki sonraki değerin q ve bir eksi q ile ağırlıklı ortalaması alınır, ardından R değerine bölünür. Bulunan tutar o düğümün devam değeridir ve Avrupa değerine eşittir. Bu işlem başlangıca kadar sürer. Başlangıç satırı, seçilen modelin bugünkü fiyatını verir. Süreç gerçek bir gelecek yolunu seçmez; iki dala ait hak değerlerini fiyatlama ağırlıklarıyla birlikte değerlendirir.

Avrupa stilinde vade öncesi anlık içsel değer daha yüksek görünse bile hemen kullanım hakkı eklenmez. Bu nedenle bazı satırlarda Avrupa değeri anlık içsel değerin altında kalabilir. Özellikle birden küçük R ile oluşan sonuçları incelerken bu kullanım kısıtını hatırlayın. Tablo iki tutarı göstererek aralarındaki farkı saklamaz. Stili değiştirmek dayanak ağacını veya terminal ödeme tanımını değiştirmez; yalnız vade öncesi kullanım imkanının değerlemeye dahil edilip edilmediğini değiştirir.

Avrupa değerini bütün terminal ödemelerinin iskonto edilmiş ağırlıklı toplamı olarak düşünmek de mümkündür. Aynı son düğüme farklı çarpan sıralarıyla ulaşılabildiği için bu geçmişlerin fiyatlama ağırlıkları birlikte hesaba katılır. Bir terminal satırına yalnız tek yolun ağırlığını vermek aynı model değerini üretmez. Bu bakış, son ödeme ile bugünkü fiyat arasındaki farkı açıklar. Kullanılan ağırlıklar yine risk nötr katsayılardır; gerçek dünyadaki fiyat yolunun hangi sıklıkla gerçekleşeceğine ilişkin ek bir veri veya tahmin eklenmiş olmaz.

Amerikan stilinde başlangıç dahil her model düğümünde kullanım imkanı vardır. Devam değeri yine sonraki iki Amerikan değerinden hesaplanır. Ardından bu tutarla aynı düğümün anlık içsel değeri karşılaştırılır ve büyük olan alınır. Böylece daha sonraki kullanım imkanları önceki değere taşınır. Buradaki Amerikan tanımı yalnız ayrık model adımlarını kapsar. Adımlar arasındaki her gerçek anda kullanım veya piyasa işlemi değerlendirildiği iddia edilmez. Tablo karşılaştırması da kullanıcıya verilen bir kullanım emri değildir.

Karşılaştırmalar gösterimde yuvarlanmış sayılarla yapılmaz. Anlık değer devam değerinden kesin olarak büyükse modelde erken kullanım değeri üstün bulunur. Kesin olarak küçükse devam üstün bulunur. İki tutar tam eşitse seçilen karşılaştırma eşitlik ve devam olarak belirtilir; bu seçim fiyatı değiştirmez. Ekranda aynı görünen iki yaklaşık sayı gerçekte farklı olabilir. Böyle bir durumda model karşılaştırmasını yalnız görünür basamakları yeniden karşılaştırarak değiştirmek doğru değildir; hesap daha hassas değerleri korur.

Ağaçtaki bütün düğümler, o noktaya kullanılmamış bir hakla gelinmesi halinde kalan problemin değerini gösterir. Başlangıçtan izlenen bir kullanım düzeni daha önce sonlanmışsa sonraki bazı düğümlere o hakla artık ulaşılmaz. Bu satırlar yine de yerel karşılaştırmayı açıklamak için tabloda bulunur. Erken kullanım işaretli bütün satırların aynı sözleşmede art arda uygulanacağı düşünülmemelidir. Bir kez kullanım gerçekleştiğinde aynı hakkın daha sonra yeniden kullanılması bu modelin parçası değildir.

Temettü olmaması, Amerikan call için bütün geçerli R değerlerinde erken kullanımın üstün olamayacağını söylemeye yetmez. R bir veya daha büyük olduğunda bu ideal modelde devam imkanı call için korunabilir. R birden küçük olduğunda ise bazı düğümlerde anlık içsel değer devam değerini aşabilir. Bu yüzden negatif efektif dönem faizini desteklerken pozitif faiz için kullanılan genel bir yorum otomatik taşınmaz. Sonucu her düğümün kendi karşılaştırması ve başlangıçtaki stil farkıyla birlikte okuyun.

Bütün vade sonu ödemeleri sıfırsa Avrupa değerinin sıfır olması gerekir. Amerikan değeri için aynı sonuç zorunlu değildir. İki fiyat çarpanı da birden küçükken dayanak her dalda azalabilir; başlangıçta veya ara düğümde pozitif olan call içsel değeri son döneme kadar kaybolabilir. Erken kullanım imkanı o önceki değeri koruyabilir. Terminal tablonun tamamını sıfır görmek, vade öncesi kullanım hakkını da sıfırlamak için yeterli bir gerekçe değildir. Seçilen stilin etkisi burada belirginleşir.

Kullanım fiyatı sıfır olduğunda put ödemesi bütün düğümlerde sıfırdır. Call ise her düğümde dayanak değerine eşittir. Bu call için iki stilin değeri aynıdır ve vade öncesi anlık değerle devam değeri tam eşittir; R birden küçük olsa da bu eşitlik korunur. Diğer yandan put değerini her koşulda kullanım fiyatıyla sınırlamak yanlıştır. Negatif efektif dönem faizinde gelecek ödemesinin bugünkü değeri büyüyebilir. Bu nedenle geçerli bir modelde put değeri kullanım fiyatını aşabilir.

Seçilen stilin başlangıç fiyatı ana sonuçtur. Aynı girdilerle Avrupa ve Amerikan başlangıç değerlerinin birlikte gösterilmesi, kullanım imkanının model içindeki etkisini ayırır. Amerikan değeri Avrupa değerinden ve başlangıçtaki içsel değerden küçük olmaz. Erken kullanım imkanı primi, Amerikan fiyatı eksi Avrupa fiyatıdır. Bu fark geçmişte ödenmiş bir opsiyon primi, işlem maliyeti veya kullanıcı kârı değildir. Ek kullanım imkanının aynı varsayımlar altındaki fiyat farkını anlatır; sıfır olabilir.

Prim pozitifse iki kullanım stilinin model değeri farklıdır. Fakat bu bilgi tek başına başlangıçta kullanımın üstün olduğunu söylemez; fark sonraki bir düğümdeki imkandan gelebilir. Prim sıfırsa da bütün anlık değerlerin sıfır olduğu sonucu çıkmaz. Pozitif içsel değerle devamın eşit olduğu durumlar vardır. Özet fiyatları, başlangıç karşılaştırmasını ve ayrıntı tablosunu bu yüzden birlikte inceleyin. Farklı parametrelerle yapılmış iki çalışmanın stil fiyatlarını birbirinden çıkarıp aynı prim diye adlandırmayın.

Sonuçlarda en fazla on iki anlamlı basamak gösterilir. Yuvarlanan değer yaklaşık işaretiyle ayrılır. Bu, her sayıda on iki ondalık basamak bulunduğu anlamına gelmez. Sıfır olmayan mutlak değer milyonda birden küçükse veya on üzeri yirmi dört ve üzerindeyse bilimsel gösterim kullanılır. Bu tercih yuvarlama öncesindeki büyüklüğe göre yapılır. Çok küçük pozitif bir fiyat yalnız gösterimi sadeleştirmek için sıfıra çevrilmez. Tam sıfır ile yaklaşık küçük değer ayrı anlam taşır.

Dayanak fiyatları adımlar boyunca büyüyebilir veya küçülebilir; girişteki fiyat üst sınırı bütün düğümlerin fiyatını aynı sınırda tutmaz. Tabloyu okurken bu ayrımı ve ortak PB birimini koruyun. Çok sayıda adım seçmek gerçek piyasa doğruluğunu kendiliğinden artırmaz. Çarpanların veriye nasıl uyarlandığı bu hesabın dışında kaldığından daha ayrıntılı bir ağaç aynı varsayımları daha fazla adım boyunca uygular. Bilimsel gösterimdeki çok büyük bir değer de bir piyasa fiyatının doğrulandığı anlamına gelmez.

Bu çalışma temettü, değişen volatilite, gerçek işlem fiyatları, komisyon, vergi, teminat, borçlanma farkı ve kullanım prosedürlerini kapsamaz. Dayanak veya risksiz çarpan için canlı veri alınmaz. Sonuçlar kişisel risk tercihini, sözleşmenin hukuki koşullarını veya bir işlemin uygulanabilirliğini değerlendirmez. Çalışmayı paylaşırken başlangıç ve kullanım fiyatlarını, çarpanları, dönem sayısını, hak türünü ve kullanım stilini birlikte belirtin. Böylece kuramsal model fiyatı ile gerçek yatırım kararı arasındaki sınır korunur ve farklı varsayımlar aynı sonuçmuş gibi sunulmaz.

1. Bütün fiyatları aynı soyut para biriminde yazın; ortak dönem sayısını 1–40 arasında seçin. 2. Düşük çarpan d, yüksek çarpan u ve risksiz brüt dönem çarpanı R için kesin d<R<u sırasını sağlayın; R değerini yüzde olarak yazmayın. 3. Call veya put ile Avrupa stilini seçin; son dönem içsel değerlerinin risk nötr fiyatlama ağırlıkları ve R ile geriye taşınmasını inceleyin. 4. Başlangıç model fiyatını ve bütün düğüm tablosunu birlikte okuyun; q değerini gerçek dünya olasılığına veya yıllık sonuca dönüştürmeyin.

1. Aynı sekiz alanı kullanarak Amerikan stilini seçin; bugün dahil yalnız modelin ayrık düğümlerinde kullanım karşılaştırması yapılacağını kabul edin. 2. Her düğümde anlık içsel değerle devam değerini karşılaştırın; tam eşitlikte devam kararını okuyun. 3. Amerikan ve Avrupa başlangıç fiyatlarını ve erken kullanım model primini karşılaştırın; negatif dönem faizinde call erken kullanımını da olası model sonucu sayın. 4. Katı erken kullanım ve eşitlik sayılarını bütün yerel alt problemlerin sayıları olarak yorumlayın; önceki kullanım sonrasında erişim olasılığı veya gerçek işlem talimatı çıkarmayın.

Üç ortak dönemde call değeri yalnız vade ödemelerinden geriye taşınır. Aynı girdilerde Amerikan fiyatıyla farkın tam sıfır olduğu karşılaştırılır.

Bütün parasal büyüklükler aynı PB cinsindedir. Örneğin sekiz giriş alanı şöyledir:

Ana sonuç — Seçilen stil fiyatı: ≈ 21,1235287766 PB.

Seçilen kullanım stilinin bütün düğümleri:

Başlangıçtaki içsel değer sıfır olsa da sonraki dönemlerin ödeme imkanı pozitif bir model fiyatı oluşturur. Bu girdilerde Avrupa ve Amerikan başlangıç fiyatları aynıdır; erken kullanım model primi tam sıfırdır. Özetin son üç sayımı, seçilen Avrupa tablosundan ayrı olarak aynı girdilerle bulunan Amerikan ağacının yerel karşılaştırmalarını anlatır. Sıfır eşitliği bir katı erken kullanım üstünlüğü değildir.

110 PB kullanım fiyatlı put için birinci dönemin düşük düğümünde anlık içsel değer devam değerini aşar. Model primi Avrupa başlangıç fiyatıyla karşılaştırılır.

Bütün parasal büyüklükler aynı PB cinsindedir. Örneğin sekiz giriş alanı şöyledir:

Ana sonuç — Seçilen stil fiyatı: ≈ 13,6904761905 PB.

Seçilen kullanım stilinin bütün düğümleri:

Birinci dönemde yüksek çarpan hiç uygulanmadığında dayanak 80 PB, içsel değer 30 PB olur. Devam değeri bunun altında kaldığı için yerel model karşılaştırması erken kullanım yönündedir. Başlangıçta ise devam değeri 10 PB içsel değeri aşar. Özetteki üç katı erken kullanım düğümü üç ardışık işlem anlamına gelmez; ilk düşük düğümde kullanım gerçekleşmişse o hakkın daha sonraki düşük alt düğüme kullanılmamış olarak ulaşması söz konusu değildir.

R=0,95 brüt çarpanıyla negatif efektif dönem faizi kullanılır. İkinci dönemin yüksek düğümünde call için erken kullanımın model içinde çıkabildiği gösterilir.

Bütün parasal büyüklükler aynı PB cinsindedir. Örneğin sekiz giriş alanı şöyledir:

Ana sonuç — Seçilen stil fiyatı: ≈ 9,97229916898 PB.

Seçilen kullanım stilinin bütün düğümleri:

Brüt çarpan 0.95 olduğundan efektif dönem faizi negatiftir. İkinci dönemde yüksek çarpanın iki kez uygulandığı düğümde dayanak 144 PB ve içsel değer 44 PB olur. Bu içsel değer devam değerini kesin olarak aşar. Amerikan başlangıç fiyatının Avrupa fiyatından büyük çıkması, temettüsüz call için de bu modelin negatif dönem faizinde bir erken kullanım üstünlüğü üretebildiğini gösterir. Bu bir gerçek işlem talimatı değildir.

Yöntem kaynakları MIT OpenCourseWare tarafından sunulan üç ders belgesidir: Leonid Kogan, [15.450 · Arbitrage-Free Pricing Models, Fall 2010](https://ocw.mit.edu/courses/15-450-analytics-of-finance-fall-2010/219406be97b96bc540e0be6aa778c0b7_MIT15_450F10_lec01.pdf); Andrew W. Lo, [15.401 Finance Theory I · Lectures 10–11: Options, Fall 2008](https://ocw.mit.edu/courses/15-401-finance-theory-i-fall-2008/c40ecc0cc0dce0fbf2d229bc4027c43b_MIT15_401F08_lec10.pdf); Leonid Kogan, [15.450 · Dynamic Portfolio Choice II · Dynamic Programming, Fall 2010](https://ocw.mit.edu/courses/15-450-analytics-of-finance-fall-2010/434ff3cbe0f9753416e4979d9ef1e34a_MIT15_450F10_lec05.pdf). Ders dönemi bilgileri kesin yayın günü olarak yorumlanmamıştır. Kogan belgelerindeki telif bildirimi Leonid Kogan adına yer alır; ayrıca bir telif yılı varsayılmamıştır. Lo belgesinde 2007–2008 telif bildirimi bulunur.

MIT OpenCourseWare [kullanım koşulları](https://ocw.mit.edu/pages/privacy-and-terms-of-use/) ve [CC BY-NC-SA 4.0 lisansı](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/legalcode) atıf, ticari olmayan kullanım ve uyarlanan ifade için ilgili paylaşım şartlarını içerir. Bu kayıt ticari ifade aktarım izni veya üçüncü taraf içerikleri için yeniden kullanım hakkı verildiği anlamına gelmez. Kaynak anlatısı, çevirisi, kodu, örnekleri, tabloları, grafikleri ve görselleri bu rehbere taşınmamıştır. Matematiksel ilişkiler özgün Türkçe anlatımla açıklanmış, örnekler bağımsız olarak kurulmuştur. MIT veya yazarların bu aracı onayladığı ya da desteklediği iddia edilmez.