Sabit ivmeli hareket hesabı, tek bir eksen boyunca başlangıç hızı bilinen bir cismin belirli süre sonunda nasıl hareket ettiğini inceler. Bu araç başlangıç hızını, bütün süre boyunca değişmeyen ivmeyi ve geçen süreyi alır. Ana sonuç işaretli son hızdır. Yer değiştirme, toplam alınan yol, son sürat ve uygun olduğunda hızın sıfır olduğu zaman ayrıca gösterilir. Sonuçlar bir fiziksel modelin karşılığıdır; gerçek harekette ivmenin sabit kaldığını doğrulamaz.
Başlangıç örneğinde hız 5 m/s, ivme 2 m/s² ve süre 3 saniyedir. Hız değişimi 2×3=6 m/s olur; son hız 5+6=11 m/s bulunur. Yer değiştirme 5×3+2×3²/2=24 metredir. Bu sürede hızın işareti değişmediği için toplam yol da 24 metredir. Her sonucu kendi birimi ve anlamıyla okuyun; 11 hız, 24 ise uzunluk bilgisidir.
Önce pozitif yönü belirleyin
Bir çizgi üzerinde sağ yönü pozitif seçebilirsiniz. Bu durumda sağa doğru 5 m/s hız +5, sola doğru aynı büyüklükteki hız −5 yazılır. Pozitif yönü sol olarak seçerseniz aynı fiziksel hareketin hız işaretleri ters döner. İşaretler tek başına iyi, kötü, ileri veya geri anlamına gelmez; seçtiğiniz eksene göre yönü belirtir. Hesap boyunca aynı yön seçimini koruyun.
İvme de aynı eksende işaretlenir. Başlangıç hızı negatif ve ivme negatifse cisim negatif yönde giderek daha büyük sürate ulaşabilir. Bu nedenle eksi ivmeye her durumda yavaşlama demek doğru değildir. Hız ile ivme zıt işaretliyken sürat sıfıra ulaşana kadar azalır. Aynı ivme daha uzun sürerse hızın işareti değişebilir ve cisim ters yönde hızlanmaya başlayabilir.
Hız ile sürati ayrı okuyun
Tek eksendeki hız yön bilgisi taşır; sürat bu hızın mutlak değeridir. Son hız −10 m/s ise cisim seçilen pozitif yönün tersinde hareket eder, son sürati 10 m/s olur. Eksi sürat sonucu verilmez. Hızın işaretini kaldırmak fiziksel yön bilgisini kaybettirdiği için ana sonuçta işaretli hız korunur; sürat ayrı satırda gösterilir.
Sürati başlangıç hızı alanına yazmadan önce yönünü belirleyin. Bir soruda yalnız 10 m/s sürat verilmişse ekseninize göre +10 veya −10 olması ek bilgi gerektirir. Form bu eksik yönü tahmin edemez. Başlangıç hızını sıfır yazmak ise yönün bilinmediğini değil, başlangıçta durgunluğu ifade eder. Belirsiz bir girdiyi kolaylık olsun diye sıfır kabul etmeyin.
Son hız formülünü adım adım uygulayın
Sabit ivmede hız değişimi a×t, son hız v=v₀+at olur. İvme 2 m/s² ve süre 3 saniye olduğunda hız 6 m/s değişir. Başlangıç 5 m/s ise sonuç 11 m/s’dir. İvmenin birimindeki saniyenin karesi, süreyle çarpıldığında bir saniye ile sadeleşir; hız değişimi m/s biriminde kalır. Son hız ile ivmenin birimleri aynı değildir.
Formülde son hızın yalnız büyüklüğünü değil işaretini de koruyun. Başlangıç 10 m/s, ivme −2 m/s² ve süre 10 saniye olduğunda sonuç −10 m/s’dir. Başlangıç ve son sürat birbirine eşit olsa da hızları eşit değildir. Arada sıfır hıza ulaşılmış ve yön değiştirilmiştir. Bu ayrım toplam yol hesabını da doğrudan etkiler.
Yer değiştirme son konum değildir
Yer değiştirme Δx=v₀t+at²/2 ile bulunur. Başlangıç konumundan son konuma doğru işaretli farkı anlatır. Araç başlangıç koordinatını istemediği için verdiği Δx sayısı kendiliğinden son koordinat olmaz. Son konum gerekiyorsa aynı eksendeki başlangıç koordinatına yer değiştirmeyi ekleyin: x=x₀+Δx. Başlangıç noktasını sıfır seçtiğiniz özel durumda bu iki sayı aynı görünür.
Başlangıç örneğinde ilk terim 5×3=15 metre, ikinci terim 2×9/2=9 metredir; toplam 24 metre olur. İvme teriminin zamanın karesine bağlı olması önemlidir. Süre iki katına çıktığında bu terim dört katına çıkar, fakat başlangıç hızı terimi yalnız iki katına çıkar. Bu nedenle başlangıç hızı sıfır değilken bütün yer değiştirmeyi her zaman dörtle çarpmak doğru değildir.
Toplam yol neden ayrı bir sonuçtur?
Toplam alınan yol, hareket boyunca kat edilen uzunlukların toplamıdır ve negatif olmaz. Yer değiştirme yalnız ilk ve son konum arasındaki işaretli farktır. Cisim arada yön değiştirmezse toplam yol |Δx| olur. Yön değişirse bir yönde gidilen ve ters yönde dönülen yolların uzunlukları toplanır; yer değiştirmede ise yönlerine göre birbirini azaltabilirler.
Örneğin başlangıç 10 m/s, ivme −2 m/s² ve süre 10 saniye olsun. Beşinci saniyede hız sıfır olur; ilk parçada 25 metre ilerlenir. Sonraki beş saniyede ters yönde 25 metre gidilerek başlangıç konumuna dönülür. Yer değiştirme 0, toplam yol 25+25=50 metredir. Sıfır yer değiştirme burada hiç hareket edilmediğini söylemez; başlangıç ve bitiş konumlarının aynı olduğunu söyler.
Hızın sıfır olduğu zamanı inceleyin
İvme sıfır değilse v₀+aτ=0 denkleminden τ=−v₀/a bulunur. Bu zamanın seçtiğiniz sürenin içinde olup olmadığını kontrol etmek gerekir. τ negatifse sıfır hız anı başlangıcın öncesinde kalır; τ son süreden büyükse henüz ulaşılmamıştır. Araç yalnız seçilen 0 ile t aralığına ait sıfır hız bilgisini gösterir; gelecekteki bir anı gerçekleşmiş olay gibi sunmaz.
İç yön değişimi için 0<τ<t koşulu gerekir. Başlangıçta hızın sıfır olması veya yalnız bitiş anında sıfıra ulaşılması, sürenin içinde yön değiştirme sayılmaz. Sabit ve sıfır olmayan ivmede hız doğrusal değiştiği için tek bir iç sıfır hız anı olabilir. Birden fazla kez durup dönülen gerçek hareket, bütün sürede tek sabit ivme varsayımına uymaz.
Yalnız bitişte durmak ile geri dönmek farklıdır
Başlangıç 10 m/s ve ivme −2 m/s² için süreyi 5 saniye seçerseniz son hız 0, yer değiştirme 25 metre ve toplam yol 25 metre olur. Cisim seçilen sürenin sonunda sıfır hıza ulaşır. Bu aralıkta ters yönde alınmış bir yol yoktur. Aynı girdilerde süreyi 10 saniye yapmak ise modelin sonraki hareketini de kapsar ve yön değişimi oluşur.
Hız sıfıra geldiğinde araç ivmeyi kendiliğinden sıfırlamaz. Gerçek bir sistem durup bekliyorsa duruştan sonra hareketin koşulu değişmiş demektir; o bölüm ayrı ele alınmalıdır. Bu form, fren kontrolü, tepki süresi, yol koşulu veya durduktan sonra bekleme kuralı içermez. Sonucun hangi süreyi ve hangi sabit ivme bölümünü anlattığını açıkça belirtin.
Sıfır ivme ve sıfır süre sınırları
İvme 0 ise hız değişmez; v=v₀ ve Δx=v₀t olur. Başlangıç hızı da 0 ise cisim modelde bütün aralık boyunca durgundur. Böyle bir durumda tek bir durma zamanı aramak yerine hızın aralık boyunca sıfır olduğu belirtilir. Başlangıç hızı sıfırdan farklıysa sıfır ivme altında seçilen sürede bir sıfır hız anı bulunmaz.
Süre 0 olduğunda geçen bir zaman aralığı yoktur. Son hız başlangıç hızına eşit kalır; yer değiştirme ve toplam yol 0 olur. Δx/t biçimindeki ortalama hız bu durumda 0/0 olacağından süreye bölerek tanımlanmaz. Ekranda bu ayrım açıkça gösterilir. Negatif süre ise bu formda geçmişe uzatma olarak yorumlanmaz; girdi hatası olarak durdurulur.
Birimleri hesap öncesinde uyumlu hale getirin
Başlangıç hızını m/s, ivmeyi m/s² ve süreyi saniye olarak girin. Hızınız km/sa cinsindeyse 3,6’ya bölerek m/s’ye çevirin. Örneğin 36 km/sa, 10 m/s’dir. Beş dakika ise 300 saniyedir. Sayının yanında doğru birimi korumak, yalnız rakamları forma taşımaktan daha önemlidir; aynı sayıyı farklı birimle kullanmak farklı fiziksel büyüklük verir.
NIST’in SI tablosu hız için metre/saniye, ivme için metre/saniye² birimlerini ayrı gösterir. Bu formda sonuçların bu birimlere bağlı olması hesap sözleşmesinin parçasıdır. Başlangıç hızı ve ivme için mutlak değer üst sınırı 10⁹, süre için üst sınır 10⁹’dur. Bu aralıklar fiziksel olarak her sonucun gerçekçi olduğunu söylemez; aracın kabul ettiği matematiksel girdi sınırlarını belirtir.
Ortalama hız ile ortalama sürati karıştırmayın
Pozitif süre ve sabit ivmede ortalama hız (v₀+v)/2’ye eşittir; aynı değer Δx/t ile de bulunur. Yön değişimi varsa ortalama hızın mutlak değeri ortalama sürate eşit olmak zorunda değildir. Başlangıç noktasına dönülen 10 saniyelik örnekte ortalama hız 0 m/s iken toplam yol 50 metre olduğundan ortalama sürat 5 m/s’dir.
Bu araç ortalama hızı ayrı satırda gösterir; ana sonuç yine son hızdır. Ortalama hız ile son hızı birbirinin yerine yazmayın. Başlangıç örneğinde ortalama hız (5+11)/2=8 m/s, son hız 11 m/s’dir. Süre boyunca ivme değişiyorsa başlangıç ve son hızın basit ortalaması genel durumda aynı ortalama hızı vermez; bu kısa yol sabit ivme koşuluna bağlıdır.
Küçük farklar ve büyük terimler
Yer değiştirme hesabındaki iki terim zıt işaretli ve büyük olabilir; toplamları çok küçük veya tam sıfır olabilir. Araç kabul edilen sonlu sayısal girdilerin ondalık karşılıklarıyla kesir hesabı yaparak bu terimleri birleştirir. Böylece büyük terimleri ayrı ayrı erkenden yuvarlayıp küçük farkı kaybetmekten kaçınır. Bununla birlikte yazdığınız sınırsız ondalık basamağın aynen saklandığı iddia edilmez; giriş önce tarayıcının sayısal hassasiyeti içinde değerlendirilir.
Ekrandaki yaklaşık değerler on iki anlamlı basamağa yuvarlanır; küçük değerler bilimsel yazımla korunur. Ana son hız sıfır olmadığı halde sayısal alt sınırda sıfıra dönüşecekse açıklayıcı hata verilir. Çok küçük ikincil uzunluk veya zaman ise sıfır diye sunulmadan bilimsel yazımla gösterilebilir. Matematiksel tam sıfır ile bu gösterim sınırını ayırın; ek basamaklar ölçüm belirsizliğini kendiliğinden azaltmaz.
Ekseni ters çevirdiğinizde hangi sonuçlar değişir?
Aynı fiziksel hareketi ters yönü pozitif seçerek yeniden yazarsanız başlangıç hızının ve ivmenin işaretini birlikte değiştirmelisiniz. Süre aynı kalır. Son hız ve yer değiştirme de işaret değiştirir; sürat, toplam yol ve sıfır hızın gerçekleştiği zaman değişmez. Örneğin 10 ve −2 yerine −10 ve +2 yazılan dönüş örneğinde son hız +10 m/s olur; toplam yol yine 50 metredir.
Yalnız başlangıç hızının işaretini değiştirmek aynı eksen dönüşümünü anlatmaz; ivmeyle ilişkisi de değiştiğinden farklı bir hareket hesaplanır. Sonucu başka bir çizim veya çözümle karşılaştırırken sayıların yanında hangi yönün pozitif seçildiğini kontrol edin. İki doğru çözümün işaretleri farklı olsa bile eksen tercihleri farklıysa aynı fiziksel durumu anlatmaları mümkündür.
Sonucu hareket koşuluyla birlikte saklayın
Hesabı kaydederken pozitif yön seçiminizi, üç girdiyi, birimleri ve ivmenin sabit kabul edildiği süreyi ekleyin. Son hızın eksi olması, toplam yolun işaretli olması gerektiği anlamına gelmez. Yer değiştirme 0 olduğunda toplam yol satırına da bakın. Sıfır hız anının başlangıçta, bitişte veya aralığın içinde olması yorumu değiştirir; yalnız son sayıyı kopyalamak bu ayrımları kaybettirebilir.
OpenStax sabit ivme bağıntılarını ve yer değiştirme ile yol ayrımını ayrı konular olarak ele alır. Buradaki üç örnek aynı ayrımı kendi sayılarıyla uygular. Araç kuvvet, kütle, sürtünme, enerji veya çok eksenli hareket çözmez. Sayısal olarak sonlu bir sonuç alınması bu dış koşulların sağlandığını göstermediğinden, modeli sorunuzdaki fiziksel koşullarla eşleştirmeniz gerekir.