İkinci Dereceden Denklem ve Diskriminant Formülü

Hesaptan önce eşitliğin bütün terimlerini bir tarafta toplayın. x² + 2 = 3x yazıyorsa önce x² − 3x + 2 = 0 elde edilir. Sağ taraftaki 3x sola geçince işareti değişir. Formda b alanına 3 yazmanız farklı bir denklem kurar. Aynı şekilde x² = 4 eşitliği için a = 1, b = 0, c = −4 girilmelidir. Sağdaki 4, sol tarafta sabit terim olarak −4 olur.

Katsayısı yazılmamış x² veya x teriminin katsayısı 1’dir. −x² için a = −1; yalnız −x için b = −1 kullanılır. Bir terim yoksa o terimin katsayısını 0 yazın. Boş alan sıfır kabul edilmez. Örneğin 3x² − 12 = 0 için üç giriş 3, 0 ve −12’dir. Alanlara x, x², eşittir işareti veya bütün denklem yazılmaz; bu form sayısal katsayılarla çalışır.

Her katsayı −1.000.000.000.000 ile 1.000.000.000.000 arasında olmalıdır. Türkçe ondalık virgül kullanılabilir: 0,5x² − 1,5x + 1 = 0 için 0,5; −1,5 ve 1 girin. Tek sayı alanı en fazla 80 karakter kabul eder. Çok küçük bir sayıyı e veya E ile yazmak yerine ondalık rakamlarla girin; örneğin 10⁻¹² için 0,000000000001 yazılır. Bu giriş biçimi sınırı, bütün küçük katsayıların matematiksel olarak sıfır olduğu anlamına gelmez.

Diskriminant Δ = b² − 4ac ifadesidir. Delta sözcüğü burada bu özel ifadeyi anlatır. a sıfır değilse işareti kök türünü belirler: pozitif delta iki farklı gerçek kök, sıfır delta tek farklı çift katlı kök, negatif delta iki karmaşık eşlenik kök verir. Delta tek başına köklerin bütün değerlerini belirlemez. Kök formülünde a ve b de bulunduğu için aynı deltaya sahip farklı denklemlerin kökleri farklı olabilir.

Başlangıç örneğinde Δ = (−3)² − 4×1×2 = 9−8 = 1’dir. b negatif olduğunda b² hesaplanırken parantez önemlidir: (−3)² = 9 olur. Buna karşılık −3² yazımı, işlemlerin standart önceliğinde −9 anlamına gelir. Katsayıyı bütünüyle karesini alacak şekilde düşünün. Özellikle elle yapılan kontrolde eksi işaretinin karesini yanlış ele almak, kök türünü bile değiştirebilir.

Δ pozitif olduğunda x = [−b ± √Δ] / (2a) formülündeki iki işaret iki kök üretir. x² − 3x + 2 = 0 için [3 ± 1]/2, yani 2 ve 1 bulunur. İki değer ayrı ayrı başlangıç eşitliğinde denenebilir: 2² − 3×2 + 2 = 0 ve 1² − 3×1 + 2 = 0. Bir kökün doğru çıkması diğerinin de doğru yazıldığını otomatik olarak göstermez.

Kökler tam sayı olmak zorunda değildir. x² − 2 = 0 eşitliğinin kökleri √2 ve −√2’dir. Bunların sonlu ondalık yazımı yoktur; ekranda görülen rakamlar yaklaşık karşılıktır. Sonuç ayrıntısındaki kesin köklü ifade, ondalık görünümden farklı bir bilgi taşır. Ondalık sayının devamını kesmekle kökün matematiksel değerini değiştirmeyin. Bir sonraki hesapta kesin ifade kullanılabiliyorsa yuvarlamayı en sona bırakın.

x² − 4x + 4 = 0 için Δ = 16−16 = 0’dır. Denklem (x−2)² = 0 biçimine gelir. x = 2 tek farklı köktür; aynı çarpan iki kez bulunduğu için kökün katı 2 olarak belirtilir. Bu nedenle “bir kök var” ve “iki kök var” ifadeleri hangi sayımın kullanıldığı açıklanmadan karışabilir. Araç farklı gerçek kök sayısı ile kökün katını ayrı satırlarda gösterir.

Birbirine çok yakın iki gerçek kök, çift katlı kökle aynı değildir. Delta pozitifse kökler matematiksel olarak farklıdır. Kısa ondalık görünüm ikisini aynı sayıya yuvarlayabilir; böyle bir durumda sonuç bunun nedenini açıklar ve pozitif diskriminant bilgisini korur. Kökleri yalnız görünen son birkaç rakamla karşılaştırıp eşit saymayın. Katsayıları erken yuvarlamak gerçekten deltayı değiştirebilir ve başka bir denklem oluşturabilir.

x² + 1 = 0 eşitliğinde a = 1, b = 0, c = 1 ve Δ = −4’tür. Hiçbir gerçek sayının karesi −1 olamaz; gerçek kök bulunmaz. Karmaşık sayılarda i² = −1 tanımıyla kökler i ve −i olarak yazılır. Araç bunu 0 ± 1i biçiminde gösterebilir. Buradaki 0 gerçek kısım, 1 ise sanal kısmın pozitif büyüklüğüdür; ± iki ayrı kökü birlikte belirtir.

Genel negatif delta durumunda gerçek kısım −b/(2a), sanal kısmın büyüklüğü √(−Δ)/(2|a|) olur. Mutlak değer, büyüklüğün negatif yazılmasını önler; iki işaret zaten eşlenik çifti verir. Örneğin x² − 2x + 5 = 0 için delta −16, kökler 1 ± 2i’dir. “Gerçek kök yok” ifadesi bu eşitliğin karmaşık sayılar içinde de çözümsüz olduğu anlamına gelmez. Sonuç başlığındaki kök türünü okuyun.

a = 0 girildiğinde ax² terimi kaybolur. b sıfır değilse bx + c = 0 doğrusal eşitliği kalır ve tek kök x = −c/b olur. Örneğin a = 0, b = 2, c = −6 için sonuç 3’tür. Bu durumda ikinci derece kök formülünde 2a ile bölme yapılmaz. Araç doğrusal duruma geçtiğini açıkça belirtir; a’nın sıfır olması tek başına geçersiz giriş değildir.

b de sıfırsa yalnız c = 0 koşulu kalır. c = 0 olduğunda 0 = 0 her gerçek sayıyla sağlanır; çözüm kümesi bütün gerçek sayılardır. c sıfırdan farklıysa sabit bir çelişki vardır ve çözüm yoktur. Örneğin 0x² + 0x + 5 = 0 hiçbir x ile doğru olamaz. Bu ayrım için küçük bir katsayıyı kendiliğinden sıfıra çevirmek doğru değildir; girilen değer hangi dereceyi oluşturuyorsa o durum çözülür.

c = 0 olduğunda ax² + bx = x(ax+b) olur. a sıfır değilse köklerden biri 0, diğeri −b/a’dır. Örneğin 2x² − 8x = 0 için kökler 0 ve 4 çıkar. b de sıfırsa ax² = 0 eşitliğinde 0 çift katlı köktür. Bir çarpanın x olması durumunda iki tarafı doğrudan x’e bölmek, x = 0 çözümünü kaybettirir; önce sıfır çarpım olasılığını ayırın.

b = 0 durumunda ax² + c = 0 eşitliği x² = −c/a biçimine iner. −c/a pozitifse eşit büyüklükte zıt işaretli gerçek kökler, negatifse saf sanal eşlenikler oluşur. Örneğin 4x² − 9 = 0 için kökler ±1,5; 4x² + 9 = 0 için ±1,5i olur. Aynı katsayı büyüklükleriyle yalnız sabitin işaretini değiştirmek çözüm türünü değiştirebilir. Eksik terimlere doğru sıfırları girmek bu nedenle önemlidir.

x² − 10.000.000.000x + 1 = 0 gibi bir eşitlikte köklerden biri yaklaşık 10 milyar, öteki yaklaşık 0,0000000001’dir. Kök formülünün küçük kökü veren dalında birbirine çok yakın iki büyük sayı çıkarılır. Sınırlı basamakla yapılan bu çıkarma, küçük farkın anlamlı basamaklarını kaybettirebilir. Büyük kökün makul görünmesi küçük kökün de doğru hesaplandığını göstermeye yetmez.

Araç önce çıkarma kaybını önleyen işaret dalıyla q değerini oluşturur; bir kökü q/a, diğerini c/q ile bulur. Bu, köklerin çarpımının c/a olması bağıntısından yararlanır. Diskriminantın işareti ayrıca kabul edilen ondalık katsayıların tam kesirleriyle belirlenir. Böylece yalnız ara çarpımların sayısal yuvarlanması nedeniyle küçük pozitif veya negatif delta, sıfır sınıfına geçirilmez. İrrasyonel karekökün ondalık hesabı yine yaklaşık bir işlemdir; kesinlik iddiası bu sınırı aşmaz.

Kabul edilen katsayılar, sayıya dönüştürüldükten sonraki normalize ondalık yazımlarıyla işlenir. Bu kabul edilmiş sayılar için delta tam kesir olarak korunur. Çok uzun bir ondalık giriş sayıya çevrilirken son basamaklarını kaybetmişse araç onları sonradan geri getiremez. Sonuçtaki “kesin” ifadesi bu katsayılara göre değerlendirilmelidir; ölçümün kusursuz olduğunu veya yazılan bütün basamakların saklandığını söylemez.

Tam kare bir kesrin karekökü kesin rasyonel değerle ele alınabilir. Diğer karekökler içeride daha fazla basamakla yaklaştırılır; ekranda en fazla 12 anlamlı basamak gösterilir. Büyük veya küçük sonuçlarda E yazımı kullanılabilir: 1E-10, 0,0000000001 demektir. Bu, sonuç gösterimidir; forma e veya E yazma desteği anlamına gelmez. Desteklenen sayısal karşılığa sığmayan sıfırdan farklı bir kök de bilimsel metinle korunur; sessizce 0 yapılmaz.

a sıfır değilken kökler toplamı −b/a, çarpımı c/a’dır. Bu iki bağıntı işaret veya aktarım hatalarını fark etmeye yardımcı olur. Başlangıç örneğinde 2+1 = 3 = −(−3)/1 ve 2×1 = 2/1 olur. Yine de yalnız toplamı kontrol etmek yeterli değildir; yanlış iki sayı aynı toplamı verebilir. Mümkünse hem toplamı hem çarpımı, ardından her kökü başlangıç eşitliğinde kontrol edin.

Araç iki farklı gerçek kökte ölçekli artık oranlarını da verir. Bu oran, içeride kullanılan kök yaklaşımının ax² + bx + c ifadesini hangi ölçekte sıfıra yaklaştırdığını gösterir. Ekrandaki kısaltılmış kökü kopyalayıp tekrar hesaplarsanız farklı bir küçük artık bulabilirsiniz; aynı basamaklar kullanılmamıştır. Küçük artık, katsayıların doğru ölçüldüğünü veya gerçek sorunun doğru kurulduğunu kanıtlamaz. Önce eşitliği ve birimleri, sonra sayısal hesabı kontrol edin.

Bir zaman veya uzunluk sorusundan gelen denklemin iki gerçek kökü bulunabilir; ancak sorunun fiziksel anlamı bunlardan yalnız birini kabul edebilir. Örneğin geçmiş zamana karşılık gelen negatif bir kök cebirsel olarak doğru olduğu hâlde başlangıçtan sonraki süreyi soran bir bağlamda seçilmez. Araç negatif kökü silmez, çünkü aynı cebirsel denklem başka bir soruda farklı anlam taşıyabilir. Hangi koşulun gerektiğini sorunun tanımı belirler.

Katsayıların ortak sıfır olmayan bir sayıyla çarpılması çözüm kümesini değiştirmez. Bununla birlikte ölçümden gelen katsayıları ayrı ayrı yuvarlamak aynı işlem değildir. Yakın köklerde küçük katsayı değişiklikleri belirgin kök değişiklikleri oluşturabilir. Sonucu paylaşırken üç katsayıyı, denklemin standart biçimini ve gerekiyorsa yalnız pozitif ya da belirli aralıktaki x değerlerinin kabul edildiğini birlikte belirtin. Böylece aynı sayıların hangi soruyu çözdüğü anlaşılır.

Önce standart biçimi kontrol edin. Başlangıçta eşitliğin sağ tarafında bulunan bir terimi sola geçirirken işaretini değiştirdiniz mi? Sonra eksik terimleri kontrol edin: x² − 9 = 0 için b alanı 0 olmalıdır; 1 yazmak x terimi ekler. Son olarak katsayı ile kökü birbirinden ayırın. c sabit terimdir; denklemin sağ tarafında duran bir sayı veya önceden bulduğunuz kök otomatik olarak c alanına aktarılmaz.

Örnek yükleme düğmeleri bu kontrolü denemek için kullanılabilir. Pozitif delta örneğinde iki farklı gerçek kökü, sıfır delta örneğinde kat bilgisini, negatif delta örneğinde gerçek ve sanal bileşenleri karşılaştırın. Kendi katsayınızı değiştirdiğinizde önceki sonuç artık aynı denkleme ait değildir; yeniden hesaplayın. Hesabı başka biriyle karşılaştırırken yalnız son görünen sayıyı göndermek yerine üç katsayıyı da belirtin. Bir taraf farklı işaret veya yuvarlanmış katsayı kullanmışsa iki hesap aynı soruyu çözmüyor olabilir.

Mutlak farkın küçük olması her büyüklükte aynı anlama gelmez. Yaklaşık 10 milyarlık kökte bir birimlik fark ile yaklaşık 10⁻¹⁰ olan kökte bir birimlik fark çok farklıdır. Bu nedenle küçük kökü değerlendirirken yalnız büyük kökün ölçeğine göre karar vermeyin. Her kökün büyüklüğünü, kesin ifadesini ve eşitlikteki karşılığını ayrı okuyun. Sonuç ayrıntılarındaki ölçekli artık da bu kontrolün bir parçasıdır; tek başına bütün doğrulamanın yerine geçmez.