İki Bilinmeyenli Denklem Nasıl Çözülür?

Her satırda x ve y terimlerini sol tarafa, sabiti sağ tarafa toplayın. Örneğin 2x = 5 − y eşitliği 2x + y = 5 olarak yazılmalıdır. Bu satırın alanları sırasıyla 2, 1 ve 5’tir. −y terimini eşitliğin diğer tarafına taşırken işaretinin değiştiğine dikkat edin. Form yazdığınız eşitliği kendisi okumaz; sayıların hangi terimden geldiğini sizin hazırlamanız gerekir.

Bir bilinmeyenin katsayısı görünmüyorsa 1 veya −1 olabilir. x − y = 1 satırında x katsayısı 1, y katsayısı −1’dir. Bir terim gerçekten yoksa katsayısı 0 yazılır. Örneğin 3x = 9 için x katsayısı 3, y katsayısı 0, sağ taraf 9 olur. Alanı boş bırakmakla sıfır yazmak aynı şey değildir; altı alanın da bir sayı taşıması istenir.

Birinci satırdaki x ile ikinci satırdaki x aynı bilinmeyendir. Bir satırda ürün adedi, diğerinde fiyat olarak kullanırsanız cebirsel bir sayı bulunsa bile kurduğunuz gerçek soru doğru temsil edilmez. Değişkenlerin anlamını önce açıkça belirleyin. Birimler söz konusuysa her terimin ve sağ tarafın kendi eşitliği içinde uyumlu olması gerekir; form hangi terimin metre, lira veya adet olduğunu bilmez.

Örneğin iki ürünün fiyatını ararken x ve y’yi aynı para biriminde tanımlayabilirsiniz. Bir eşitliğe kuruş, ötekine lira cinsinden sağ taraf yazmak farklı bir sistem kurar. Önce birimleri eşitleyin, sonra katsayıları girin. Sonucun pozitif olması da bu veri hazırlığının doğru yapıldığını tek başına kanıtlamaz. Hesap yalnız girdiğiniz eşitlikler arasındaki matematiksel ilişkiyi değerlendirir.

İki gerçek doğrusal eşitlik için üç temel sonuç vardır: tek bir ortak ikili, sonsuz sayıda ortak ikili veya hiç ortak ikili bulunmaması. Normal iki doğru kesiştiğinde tek nokta, aynı doğruyu verdiğinde sonsuz çözüm, farklı paralel doğrular olduğunda çözüm yoktur. Ancak bütün katsayıların sıfır olabildiği bu formda her satırı mutlaka bir doğru gibi düşünmek doğru olmaz.

Örneğin 0x + 0y = 0, yani 0 = 0, hiçbir x veya y’yi elemez. Buna karşılık 0x + 0y = 1 hiçbir ikili tarafından sağlanamaz. Bu iki satırın x ve y katsayıları aynıdır, ama sistem üzerindeki etkileri tamamen farklıdır. Araç sıfır satırlarını ayrıca değerlendirir; yalnız grafik benzetmesine veya determinantın sıfır çıkmasına bakarak sonuç seçmez.

Katsayı determinantı D = a₁b₂ − a₂b₁ olarak hesaplanır. Başlangıç örneğinde D = 2×(−1) − 1×1 = −3’tür. Sıfır olmayan determinant, iki bağımsız koşulun x ve y’yi birlikte belirlediğini gösterir. Determinantın negatif olması çözümün geçersiz olduğu anlamına gelmez; burada önemli ayrım sıfıra eşit olup olmamasıdır.

D sıfır değilse Cramer düzeni x = Dₓ/D ve y = Dᵧ/D verir. Dₓ = c₁b₂ − c₂b₁, Dᵧ = a₁c₂ − a₂c₁’dir. Örnekte Dₓ = −6 ve Dᵧ = −3 olduğundan x = 2, y = 1 bulunur. Bu oranları yorumlarken satırları veya değişken sütunlarını karıştırmayın. Ekranda kullanılan determinantın kesin karşılığı ayrıca yer alır.

D = 0 olduğunda x ve y’yi Cramer oranlarına bölerek devam edemezsiniz. Bunun yerine katsayıların ve sabitlerin aynı koşulları verip vermediği incelenir. Araç katsayı matrisinin ve sağ taraf eklenmiş genişletilmiş matrisin rütbelerini gösterir. Rütbe, burada birbirinden bağımsız koşulların sayısını ayırmaya yardım eder; bir puan veya güvenilirlik derecesi değildir.

Katsayı ve genişletilmiş rütbe farklıysa sistem tutarsızdır, çözüm yoktur. İkisi de 2 ise tek çözüm vardır. İkisi eşit ama 2’den küçükse en az bir serbest değişken kalır ve sonsuz çözüm vardır. Tamamen sıfır iki satırda her iki rütbe 0 olur; bu durumda x ve y birbirinden bağımsız serbesttir. Sayılar küçük diye rütbe kendiliğinden azaltılmaz.

Yüklenebilir ikinci örnek x + 2y = 3 ve 2x + 4y = 6’dır. İkinci satır birincinin iki katıdır; yeni bir bağımsız koşul eklemez. Tek bir x ve y seçmek yerine bir çözüm ailesi yazılır: y = t, x = 3 − 2t. Buradaki t herhangi bir gerçek sayıdır. Örneğin t = 0 için (3, 0), t = 1 için (1, 1), t = 2 için (−1, 2) bulunur.

Bu ikililerin her biri iki eşitliği de sağlar. Sonsuz çözüm ifadesi her (x, y) ikilisinin uygun olduğu anlamına gelmez; burada hâlâ x + 2y = 3 koşulu vardır. Örneğin (0, 0) çözüm değildir. Formun gösterdiği parametreli ifade, hangi ikililerin seçilebileceğini anlatır. t’yi bir sayı olarak seçtiğinizde öteki değişkenin değeri aynı bağıntıdan gelir.

Üçüncü yüklenebilir örneğin ilk satırı 0x + 0y = 1, ikinci satırı 2x − y = 3’tür. İlk satır 0 = 1 dediği için sistemin çözümü yoktur. İkinci satırdan birçok ikili üretilebilmesi bu çelişkiyi ortadan kaldırmaz. İki denklemin birlikte sağlanması gerekir; imkânsız olan tek bir satır bütün sistemi tutarsız yapmaya yeter.

Çelişki başlangıçta açık görünmeyebilir. x + 2y = 3 ve 2x + 4y = 7 için ilk eşitliğin iki katını ikinciden çıkarırsanız 0 = 1 elde edilir. Katsayılar aynı yönü tarif ederken sabitler farklı koşullar istemektedir. Araç sonuçta bu tür sıfır olmayan sağ taraflı bir çelişki gösterir. “Çözüm yok” ifadesini x’in veya y’nin sıfır olduğu biçiminde okumayın; çözüm kümesi boştur.

İlk satır 0 = 0, ikinci satır 2x − y = 3 ise yalnız ikinci koşul kalır. y = 2x − 3 ilişkisini sağlayan sonsuz sayıda ikili vardır. Bu durumda bir değişken serbesttir. İlk satır her zaman doğru olduğundan kısıt getirmez, ama ikinci satırın koşulunu da silmez. Aynı şekilde iki satırın yerini değiştirmek çözüm kümesini değiştirmez.

İki satır da 0 = 0 ise artık hiçbir kısıt kalmaz. x = s ve y = t yazılabilir; s ile t birbirinden bağımsız herhangi iki gerçek sayıdır. Bu durum tek bir doğru üzerindeki çözüm ailesinden farklıdır. Form serbest parametre sayısını 2 göstererek ayrımı korur. x = 0, y = 0 yalnız bu sınırsız kümenin bir örneğidir; özel olarak seçilmiş tek çözüm değildir.

Kabul edilen sayılar, normalize ondalık yazımlarından tam kesirlere çevrilir. Örneğin 0,1 sayısı bu hesap temelinde 1/10 olarak kullanılır. Çarpma, çıkarma ve bölme bu kesirlerle yapıldığı için determinantın gerçek sıfır olup olmadığı kısa ekrandaki ondalığa göre belirlenmez. x ve y’nin kesin kesir karşılıkları da aynı kabul edilmiş katsayılara aittir.

Bu, yazabileceğiniz sınırsız uzunlukta girişin her basamağının korunduğu iddiası değildir. Alan değeri önce desteklenen sayıya çevrilir; o sırada kaybolan ek basamaklar geri getirilemez. Özellikle birbirine çok yakın katsayılar için, kaynak verinizin hangi basamakları gerçekten taşıdığını düşünün. Kesin kesir çözümü, fiziksel ölçümlerin kesinliği veya gerçek bir maliyet modelinin doğruluğu anlamına gelmez.

D sıfırdan farklıysa küçük olması tek başına sistemi çözümsüz veya sonsuz çözümlü yapmaz. Örneğin x + y = 2 ve x + 1,000000000001y = 2,000000000001 için determinant 0,000000000001’dir. Kabul edilen ondalık temelde tek çözüm yine x = 1, y = 1’dir. Araç keyfî bir epsilon eşiğiyle bu determinantı sıfır saymaz.

Öte yandan yakın katsayıların erken yuvarlanması başka bir sistem yaratabilir. Aynı örnekte ikinci satırın y katsayısını ve sağ tarafını kısa ondalığa indirirseniz iki satırın aynı görünmesine neden olabilirsiniz. Program determinant çarpımları çok yakınsa bu konuda açıklama gösterir; uyarı çözüm sayısını değiştirmez. Ayrıca küçük determinantın mutlak büyüklüğü tek başına ölçüm hatası için evrensel bir eşik değildir; satırların ölçeklenmesi de determinantı değiştirir.

Tek çözüm her zaman sonlu bir ondalık değildir. Örneğin 3x = 1 ve y = 2 için x = 1/3, y = 2 bulunur. Ekranda x’in kısa görünümü yaklaşık 0,333333333333 olabilir; kesin değer satırı 1/3 olarak kalır. Başka bir işlemde kısa ondalığı yeniden yazmanız, aynı kesri bütün basamaklarıyla taşımak demek değildir.

Çok küçük veya çok büyük çözümler bilimsel yazımla kısaltılabilir. Desteklenen sayısal karşılık aralığı dışında kalan bir çözüm de kesin kesriyle korunur; sıfır olmayan bir değeri sessizce 0 veya sonsuz diye göstermek tercih edilmez. Sayı normal aralıkta olsa bile kısa görünüm bir yuvarlamadır. Hesabı paylaşırken özellikle kesirli sonuçlarda kesin satırla yaklaşık satırın rollerini ayrı tutun.

Birinci denklem artığı a₁x + b₁y − c₁, ikinci artık a₂x + b₂y − c₂’dir. Araç bu değerleri kesin kesir çözümüyle hesaplar. Tek çözümde ikisi de tam 0 çıkar; böylece bulunan kesirlerin kabul edilen eşitlikleri birlikte sağladığı görülür. Bu kontrol x ve y’nin yer değiştirmesi veya bir işaretin yanlış okunması gibi yorum hatalarını fark etmenize yardımcı olur.

Artıkları ölçüm doğrulaması olarak görmeyin. Katsayılardan biri yanlış birimde hazırlanmışsa, o yanlış sistemin cebirsel çözümü de kendi eşitliklerini sıfır artıkla sağlayabilir. Ayrıca kısa görünümü elle tekrar yerine koyduğunuzda küçük yuvarlama artıkları oluşabilir. Ekrandaki sıfır artıklarla bu elle yapılmış kısa sayı kontrolü farklı sayı temelleri kullanır. Form ölçüm belirsizliği, hata yayılımı veya kabul toleransı hesaplamaz.

Bu araç gerçek x ve y için iki doğrusal eşitlik çözer. Sonucun tam sayı, pozitif sayı veya belirli bir aralıkta olması gerektiğini kendiliğinden eklemez. Örneğin bilinmeyenler ürün adediyse negatif veya kesirli bir cebirsel sonuç gerçek problemde kullanılabilir olmayabilir. Böyle bir durumda eşitliklerinizi ve ek koşullarınızı birlikte incelemeniz gerekir; program sonucu sırf negatif diye başka bir sayıyla değiştirmez.

Her katsayı ve sağ taraf −1.000.000 ile 1.000.000 arasındadır. Bir sayı alanına eşitlik, değişken adı veya bölme ifadesi yazmayın. Bütün satırı sıfır olmayan ortak bir katsayıyla çarpmak çözümü değiştirmez, fakat iki tarafı birlikte değiştirmek gerekir. Kontrol için önce başlangıçtaki basit örneği çözün, sonra kendi denklemlerinizi aynı düzenle aktarın. Kapsamı açık iki eşitlik, bulunan çözümün neyi anlattığını değerlendirmenin temelidir.