Vektörlerde Toplama: İki Boyutlu Vektör Hesaplama

Aₓ ve Aᵧ ilk vektörün yatay ve dikey bileşenleridir. Bₓ ve Bᵧ ikinci vektör için aynı bilgileri ister. Sağa doğru bileşen pozitif, sola doğru bileşen negatif; yukarı doğru bileşen pozitif, aşağı doğru bileşen negatif alınır. Örneğin sağa üç, yukarı dört birimlik bir vektör A = (3; 4) biçimindedir. İkinci vektör sağa bir, aşağı iki birimse B = (1; −2) yazılır. Eksi işaretini unutmak, yalnız bir rakamın görünümünü değil vektörün yönünü değiştirir.

Bir yönde bileşen yoksa ilgili alana 0 yazın. Boş alan sıfır yerine kullanılmaz; eksik bilgi olarak durdurulur. Ondalık girişlerde 0,5 gibi Türkçe yazım kullanılabilir. Sayının yanına metre, N veya derece eklemeyin. Alanların her biri −1.000.000.000.000 ile 1.000.000.000.000 arasında değer alır. Bu aralık, fiziksel ölçünüzün doğru olduğuna ilişkin bir kabul değildir; yazılımın desteklediği girdi sınırıdır.

A = (3; 4) vektörünün iki bileşeni 3 ve 4 olsa da uzunluğu 7 değildir. Dik eksenlerde uzunluk |A| = √(3²+4²) = 5 olur. Bir bileşen negatif olabilir; uzunluk negatif olmaz. A = (−3; −4) için de uzunluk 5’tir. Bu iki vektörün büyüklüğü aynı, yönü karşıttır. Yalnız uzunlukları eşit diye vektörleri aynı kabul edemezsiniz; bileşenler yön bilgisini de taşır.

Formdaki değerlerin birer son nokta koordinatı mı yoksa vektör bileşeni mi olduğunu hazırlık aşamasında ayırın. Bir hareket P noktasından Q noktasına gidiyorsa bileşenler Q−P farkından oluşturulur. Örneğin P = (2; 1), Q = (5; 5) için hareket (3; 4)’tür. Yalnız Q’nun koordinatlarını girmek başlangıcın orijin olduğunu varsayardı. Bu form iki nokta çiftinden vektör çıkarmadığı için bu farkı önceden hazırlamalısınız.

A+B = (Aₓ+Bₓ; Aᵧ+Bᵧ) bağıntısı kullanılır. İlk örnekte yatay toplam 3+1 = 4, dikey toplam 4+(−2) = 2 olur. Toplam vektör sağa dört, yukarı iki birim yönelir. İlk vektörün uzunluğuyla ikinci vektörün uzunluğunu toplamak aynı işlem değildir. Uzunlukların toplamı, yönlerin etkisini ortadan kaldırır; bileşen toplamı ise bu etkiyi korur.

Vektörleri değiştirmeden A ile B’nin yerini değiştirirseniz A+B aynı kalır. Buna karşılık toplam vektörün uzunluğunun her zaman iki uzunluğun toplamına eşit olmasını beklemeyin. Örneğin A = (2; 0), B = (−2; 0) için her iki uzunluk 2’dir ama toplam (0; 0) olur. Aynı yöndeki katkılar büyüklüğü artırırken karşı yönlü katkılar birbirini azaltabilir. Buradaki form bileşen toplamını verir; kuvvet veya hareket yorumunun fiziksel koşullarını ayrıca kurmanız gerekir.

Fark satırı A−B = (Aₓ−Bₓ; Aᵧ−Bᵧ) biçimindedir. A = (3; 4), B = (1; −2) için sonuç (2; 6) olur. Dikey bileşende 4−(−2) işlemi yapıldığı için 6 bulunur. Aynı girdilerle B−A hesaplamak ters yönde (−2; −6) verir. Toplamdaki değişme özelliğini çıkarma işlemine taşımayın; burada sıra önemlidir.

Fark vektörünün neyi temsil ettiğini soruya göre belirleyin. İki konum vektörü aynı başlangıca göre verilmişse fark, aralarındaki yer değiştirmeyle ilişkilendirilebilir. Ancak farklı referanslardan alınmış bileşenleri çıkarıp bu yorumu yapmak tutarlı değildir. Form eksenlerinizi döndürmez, başlangıç noktalarını hizalamaz veya referans sistemini belirlemez. Sayılarınızı aynı düzene getirdikten sonra farkın bileşenlerini okuyun; çıkan iki sayıyı kendiliğinden bir mesafe değeri saymayın.

A·B = AₓBₓ + AᵧBᵧ hesabı, aynı eksendeki bileşen çarpımlarını toplar. İlk örnekte 3×1 = 3 ve 4×(−2) = −8 olduğundan toplam −5’tir. Bu sonuç A+B = (4; 2) vektöründen tamamen farklı bir büyüklüktür. Eksi skaler çarpım, vektörün “negatif uzunlukta” olduğu anlamına gelmez; sıfır olmayan iki vektörün arasındaki yönsüz açının geniş olmasıyla ilişkilidir.

Skaler çarpımda A ile B yer değiştirirse sonuç aynı kalır. A’nın bütün bileşenlerini ikiyle çarpmak, B sabitken skaler çarpımı ikiyle çarpar. Her iki vektörü de ikiyle çarpmak ise sonucu dörtle çarpar. Bu kontroller, tek bir bileşende unutulan eksi işaretini veya ölçek hatasını araştırırken yararlıdır. Bununla birlikte aynı skaler sonuca sahip farklı vektör çiftleri bulunabilir; bu sayı bütün yön ve bileşen bilgisinin yerine geçmez.

Dört bileşenin ortak birimi metre ise toplam, fark ve uzunluklar metre; skaler çarpım ile 2D determinant metrekare birimindedir. Bileşenleri santimetreye çevirirken dört alanı da aynı şekilde ölçeklemelisiniz. Bütün bileşenleri 100 ile çarpmak toplamı ve uzunlukları 100, skaler çarpımı ve determinantı 10.000 ile çarpar. Aradaki açı değişmez.

Form aynı tür ve birimde iki vektör varsayar. Birini kuvvet, diğerini yer değiştirme olarak yorumlayan fiziksel skaler çarpımlar farklı birim çarpımı taşıyabilir; bu genel sayfa böyle bir problem tanımlamaz. “birim” ve “birim²” etiketlerini kendi tutarlı matematik girdinizle ilişkilendirin. Birim seçimi olmadan sonuca otomatik joule, newton veya başka bir fiziksel anlam yüklemeyin. Özellikle negatif bir sayıyı tek başına iş, risk veya uygunluk kararı gibi sunmayın.

Sıfır olmayan iki vektör için skaler çarpım, uzunluklar ve açı arasında A·B = |A||B| cos θ ilişkisi bulunur. Aynı yönlü vektörler 0°, karşı yönlü olanlar 180°, dik olanlar 90° açı yapar. Burada gösterilen, 0–180° aralığındaki yönsüz küçük açıdır. A’dan B’ye saat yönünde veya saat yönünün tersinde dönülecek miktar ayrıca verilmez. 270° beklenen bir yönlü dönüş sorusunu bu satırdan okumayın.

A = (3; 4), B = (1; −2) örneğinde skaler çarpım −5, uzunluklar 5 ve √5’tir. Aradaki açı yaklaşık 116,565051177° çıkar. Sonucun 90°’den büyük olması negatif skaler çarpımla tutarlıdır. A ve B’yi yer değiştirirseniz bu yönsüz açı aynı kalır. Bir vektörün işaretini bütünüyle ters çevirmek ise genel olarak açıyı 180°−θ biçiminde değiştirir; bu yeni çift önceki çiftle aynı değildir.

D = AₓBᵧ−AᵧBₓ sayısı, iki boyuttaki işaretli determinanttır. İlk örnekte 3×(−2)−4×1 = −10 olur. A ve B’nin yeri değişirse bu işaret tersine döner; skaler çarpımın yer değiştirme davranışıyla karıştırmayın. Mutlak determinant, aynı birimli düzlem vektörleriyle kurulan paralelkenarın alanıyla ilişkilidir. Bu form determinantı bir sayı olarak gösterir; üçüncü boyutta tam bir vektörel çarpım çıktısı üretmez.

Açı hesabında |D|, sinüsün; skaler çarpım ise kosinüsün işaret ve büyüklük bilgisini taşır. İkisini birlikte kullanmak, yalnız arccos işlemine dayanan kısa bir bölmenin çok küçük açıyı sıfırlaştırmasını önlemeye yardımcı olur. Kullanılan bağıntı θ = atan2(|D|, A·B)’dir ve sonuç dereceye çevrilir. Determinantın işareti sonucu saat yönü açısına dönüştürmez; açı hesabında mutlak değer alınmasının nedeni yönsüz kapsamı korumaktır.

A = (0; 0) seçildiğinde A’nın uzunluğu 0’dır. B = (2; −3) ile toplam (2; −3), fark (−2; 3), skaler çarpım ve determinant 0 olur. Ancak A’nın yönü bulunmadığından iki vektör arasındaki açı bu formda tanımsız gösterilir. Skaler çarpımın 0 olması burada 90° açı bulunduğunu kanıtlamaz. Önce iki vektörün de sıfırdan farklı olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

İki vektör de sıfırsa aynı ayrım geçerlidir. Toplam ve fark sıfır vektördür, uzunluklar ve skaler nicelikler 0’dır; yön açısı yine tanımsızdır. Araç bu durumu geçersiz bir sayı gibi bütün sonuçları silerek karşılamaz. Açının neden verilmediğini açıkça belirtir ve tanımlı işlemleri gösterir. Böylece gerçek bir sıfır bileşeni, eksik alan veya hesap hatasıyla karıştırmazsınız.

A = (1; 0), B = (1; 0,000000000001) için determinant sıfır değildir. Açı yaklaşık 5,72957795131 × 10⁻¹¹ derecedir. Çok küçük olduğu için sıradan kısa bir ondalık görünümde kaybolabilir, fakat tam 0° değildir. B’nin ikinci bileşenini gerçekten 0 yaparsanız aynı yönlü paralel iki vektör oluşur. Bu iki girdi arasında keyfî bir toleransla eşitlik kurulmaz.

Benzer biçimde B = (−1; 0,000000000001) seçildiğinde açı 180°’ye çok yakındır, ancak tam karşı yönlü paralellik yoktur. Ekran bu sınırda 180° eksi küçük fark biçimini kullanabilir. Böylece kısa yazımın 180 görünmesi, tam eşitlik kararı gibi sunulmaz. Ölçüm belirsizliği nedeniyle iki yönün uygulamada aynı sayılıp sayılmayacağı başka bir sorudur; form ölçü toleransı veya mühendislik uygunluğu seçmez.

Toplam, fark, skaler çarpım ve determinant, kabul edilen sayıların normalize ondalık yazımından kesirlerle kurulur. Böylece örneğin 0,3−0,2 farkının ondalık 0,1 değeri ve iki büyük çarpımın küçük farkı ara işlemde korunur. Bununla birlikte girdi ilk aşamada desteklenen sayıya çevrilir. O aşamada kaybolmuş sınırsız ek basamakları form geri getiremez. Norm ile açı da kök ve trigonometrik işlem içerdiğinden sayısal yaklaşıktır.

Görünür yaklaşık değerler en fazla 12 anlamlı basamakla yazılır; çok küçük sonuçlarda bilimsel gösterim kullanılır. Sıfır olmayan skaler çarpım veya determinant sayısal temsilin altına düşerse 0 yerine metin olarak korunur. Pozitif açı bu sınırın altında kalırsa da sıfır olmadığı açıkça belirtilir. Çok küçük oranların derece karşılığı 180/π ölçeğiyle yaklaşık gösterilir; bu, yeni bir kesin açı ölçümü değildir. En küçük sayısal ölçekte normun kullanılabilir basamakları da azalabilir.

Önce A+B satırındaki iki bileşeni elle toplayın, ardından skaler çarpımın iki çarpımını ayrı kontrol edin. İşlemler aynı sonuca ulaşmak zorunda değildir; farklı türde büyüklüklerdir. Negatif bileşenlerin işaretlerini ve dört alanın ortak birimini yeniden okuyun. Bir yön bileşenini değiştirirken yalnız son açının değil toplamın, farkın ve determinantın da değişebileceğini dikkate alın.

Bu sayfa iki boyutlu, aynı eksenlere göre hazırlanmış iki vektörle sınırlıdır. Projeksiyon vektörü, birim vektör, üç boyutlu bileşen, koordinat dönüşümü veya birden çok kuvvetin denge çözümü üretmez. Sonuçları paylaşırken A ve B’nin hangi büyüklüğü temsil ettiğini ve birimini de belirtin. Sayısal yöntemin kararlı olması, gerçek ölçülerin doğruluğunu veya fiziksel uygulamanın güvenliğini tek başına doğrulamaz.