Üç Kenardan Üçgen Hesaplama

a, b ve c alanlarının her biri kenar uzunluğu ister. Bir kenarı metre, diğerini santimetre yazarsanız araç bunların farklı birimler olduğunu anlayamaz. Örneğin 3 metre, 400 santimetre ve 5 metre için önce 400 santimetreyi 4 metreye çevirin; forma 3, 4 ve 5 girin. Sonuç bu durumda 6 metrekare alan ve 12 metre çevre olarak yorumlanır. Aynı hesabı 300, 400 ve 500 santimetreyle kurmak 60.000 santimetrekare alan verir.

Formda birim seçimi bulunmaması bütün birimlerin eşit olduğu anlamına gelmez. Genel birim ve birim² yazıları, sizin seçtiğiniz ortak uzunluk birimini temsil eder. Alanı metrekareye çevirmek için santimetrekare sonucunu 100'e değil 10.000'e bölmek gerekir. Çünkü hem yatay hem düşey uzunluk ölçeği değişir. Ölçüleri bir araya getirirken önce ortak birim, sonra sayı kontrolünü yapmanız sonraki adımları kolaylaştırır.

En uzun kenarı mutlaka c alanına yazmanız gerekmez. Form geçerlilik ve alan hesabında kenarları kendi içinde sıralar, ancak açıların ve yüksekliklerin etiketlerini ilk girişe bağlı tutar. a karşısı açı, hangi uzunlukta olursa olsun a alanına yazdığınız kenarın karşısındaki iç açıdır. Bir kenarla ona komşu açıyı aynı etiket altında okumayın; karşı açı farklı bir köşededir.

3–4–5 örneğini 5, 3, 4 sırasıyla girmek alanı ve çevreyi değiştirmez. Bu kez 90 derecelik açı a karşısı açı satırına taşınır. Başka bir çizimden değer aktarıyorsanız önce kenar harflerini eşleştirin. Sonuç ekranını birine gönderirken yalnız sayıları değil bu eşleştirmeyi de koruyun. Özellikle dik üçgende hipotenüsü alışkanlıkla c kabul etmek, giriş sırası değiştiğinde yanlış açı satırının okunmasına yol açabilir.

Üç pozitif uzunluk her zaman üçgen oluşturmaz. Her kenarın diğer iki kenarın toplamından küçük olması gerekir. Kenarlar sıralandığında en uzun olanın bu koşulu sağlaması yeterlidir. 3, 4 ve 5 için 5 < 3 + 4 olduğundan şekil kapanır. 3, 4 ve 8 için 8 > 7 olur; kısa kenarları birleştirseniz bile uçlar kapanmadığından bu üç uzunlukla üçgen çizilemez.

Eşitlik durumu da pozitif alanlı üçgen sayılmaz. 3, 4 ve 7 uzunlukları için en uzun kenar diğerlerinin toplamına eşittir. Noktalar bir doğru üzerinde kalır, alan sıfır olur. Bu form böyle bir şekli üçgen sonucu gibi sunmaz; ilgili kenarda açıklama gösterir. Girişlerden birini gelişigüzel küçülterek hatayı kapatmak yerine ölçülerinizi ve aynı birimde olup olmadıklarını yeniden kontrol edin.

0,1, 0,2 ve 0,3 için ondalık toplam 0,1 + 0,2 = 0,3'tür; bunlar da eşitlik sınırındadır. Bilgisayarın ikili sayı gösteriminde yapılan doğrudan toplam bu örneği çok az farklı gösterebilir. Araç kabul ettiği sayıların normalize ondalık yazımını kesir biçiminde karşılaştırarak bu farkın geçersiz bir şekli küçük alanlı üçgen gibi göstermesini önler. Eşitsizlik için rastgele bir tolerans eklenmez.

Bu yaklaşım, yazılabilecek sınırsız sayıda basamağın aynen saklandığı anlamına gelmez. Girdi önce desteklenen sayısal değere çevrilir; o aşamada kaybolan ek basamaklar geri getirilemez. Özellikle birbirine çok yakın uzunluklarda ölçümün gerçekten hangi basamakta güvenilir olduğunu ayrıca düşünün. Sayısal sınır kontrolü, ölçü aletinin doğruluğunu veya fiziksel üçgenin kesin boyutlarını belirlemez.

Çevre üç kenarın toplamıdır: P = a + b + c. Yarı çevre bu toplamın yarısıdır: s = P/2. 3–4–5 örneğinde P = 12, s = 6 olur. Yarı çevrenin bu örnekte alanla aynı sayısal değerde olması rastlantıdır; 6 birim ile 6 birim² farklı büyüklüklerdir. Örneği başka ölçekte kurduğunuzda bu sayısal eşitlik genellikle kaybolur.

Kenarları iki katına çıkarıp 6, 8 ve 10 yaptığınızda çevre 24 birime, alan 24 birim²ye çıkar. Çevre ikiyle, alan dörtle çarpılmıştır. Bu kontrol birim dönüşümünde veya bir şeklin büyütülmesinde işe yarar. Alanın doğrusal ölçekle aynı oranda artmasını beklemeyin. Yarı çevre ise alan üretmek için kullanılan yardımcı uzunluktur; şeklin bir yüksekliği değildir.

Üç kenar bilindiğinde klasik Heron eşitliği alanı K = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] olarak verir. Buradaki s yarı çevredir. 3, 4 ve 5 için s = 6, çarpanlar 6, 3, 2 ve 1 olur; kökün içi 36, alan 6 çıkar. Bu örnek ayrıca dik üçgenin taban × yükseklik / 2 hesabıyla kontrol edilebilir: 3 × 4 / 2 = 6.

Program alanı hesaplarken aynı eşitliğin sıralanmış kenarlara göre düzenlenmiş dört çarpanlı biçimini kullanır. Amaç, çok ince üçgenlerde birbirine yakın sayılar çıkarılırken oluşabilecek gereksiz basamak kaybını azaltmaktır. Bu, geometri kuralını değiştiren başka bir alan tanımı değildir. Kareköklü sonuç ve ekrandaki gösterim yine sayısal yaklaşıktır; kararlı hesap yöntemi, ölçülmemiş bir basamağı gerçek ölçüye dönüştürmez.

Kosinüs bağıntısı, karşı kenarla iki komşu kenarın karelerini kullanarak açıyı ilişkilendirir. Örneğin c karşısı açı C için c² = a² + b² − 2ab cos C yazılır. 3–4–5 üçgeninde 25 = 9 + 16 olduğundan cos C = 0 ve C = 90 derece bulunur. Daha uzun kenarın karşısında daha büyük açı vardır; sonuçları okurken bu ilişki basit bir tutarlılık kontrolüdür.

Açı hesabında alanla kosinüs bağıntısı birlikte değerlendirilir. Böylece çok küçük bir açının kosinüsü yuvarlamayla 1'e eşit göründüğünde açının gereksiz yere sıfır çıkması önlenir. İç açıların sayısal toplamı da ayrıca gösterilir. Düzlem üçgeninde matematiksel toplam 180 derecedir; son basamaklarda çok küçük sayısal fark bulunması yeni bir geometri kuralı veya ölçüm hatası kararı değildir.

En uzun kenar L, diğerleri M ve S olsun. L² = M² + S² ise dik açılı; L² daha küçükse dar açılı; daha büyükse geniş açılı üçgen vardır. Bu karşılaştırma geçerli üçgen kontrolünden sonra yapılır. Üçgen oluşturmayan 3, 4, 8 girişine yalnız kare toplamı ilişkisine bakarak geniş açılı üçgen etiketi verilemez.

İkinci yüklenebilir örnekte kenarlar 2, 3 ve 4'tür. Çevre 9 birim, alan yaklaşık 2,90473750966 birim²dir. En uzun kenarın karesi 16, diğer karelerin toplamı 13 olduğundan şekil geniş açılıdır. 4 karşısındaki açı yaklaşık 104,477512 derece olur. Bu örnek, en büyük açının her zaman 90 derece olmadığı ve alan için dik üçgen formülünün gelişigüzel kullanılamayacağı konusunda iyi bir kontroldür.

Üç kenar eşitse eşkenar, yalnız iki kenar eşitse ikizkenar, üçü de farklıysa çeşitkenar etiketi gösterilir. Bunlar açılara göre sınıflandırmayla aynı soruyu cevaplamaz. Örneğin ikizkenar bir üçgen dar, dik veya geniş açılı olabilir. Eşkenar üçgende ise bütün iç açılar 60 derecedir. Kenar eşitliği, kabul edilen sayılar üzerinden değerlendirilir; yakın değerler kendiliğinden eşitlenmez.

İki kenarı 5 ve 5,0001 yazmanız bu araca göre eşit iki kenar yazmak değildir. Gerçek ölçüm belirsizliğine göre bunların aynı kabul edilip edilmeyeceği başka bir değerlendirmedir. Araç toleranslı üretim kontrolü veya çizim uygunluğu kararı vermez. Yakın ölçüleri yuvarlayarak aynılaştıracaksanız bunun sonucu değiştiren bir girdi tercihi olduğunu bilin ve özgün ölçülerin yerine geçtiğini açık tutun.

Alan K ve seçilen taban a için yükseklik h_a = 2K/a olur. Yükseklik, karşı köşeden tabanın bulunduğu doğruya indirilen dik uzaklıktır. 3–4–5 üçgeninde alan 6 olduğundan 3 birimlik kenarın yüksekliği 4, 4 birimlik kenarın yüksekliği 3, 5 birimlik kenarın yüksekliği 2,4 birimdir. Aynı üçgenin üç taban seçimi farklı yükseklikler verebilir.

Geniş açılı üçgende yükseklik ayağının kenar parçasının uzantısına düşmesi mümkündür. Bu durum yüksekliğin negatif olmasını gerektirmez; gösterilen uzunluk dik uzaklığın pozitif değeridir. Bir kenarın uzunluğunu diğer kenarın yüksekliği sanarak alanı hesaplamayın. Sonuç tablosunda a, b ve c için ayrı yükseklik satırı bulunmasının nedeni bu eşleştirmeyi korumaktır.

Üçüncü yüklenebilir örnekte a ve b bir milyar birim, c ise 0,000001 birimdir. Bu sayılar matematiksel modelde geçerli, çok ince bir ikizkenar üçgen oluşturur. Alan yaklaşık 500 birim², kısa kenarın karşısındaki açı yaklaşık 5,72957795131 × 10⁻¹⁴ derecedir. Bu açı çok küçük olsa da sıfır değildir. Bilimsel yazım, uzun bir sıfır dizisi yerine küçük büyüklüğü okunabilir tutar.

Bu uç örnek, gerçek dünyada bu ölçüleri aynı kesinlikle elde edebileceğiniz iddiası taşımaz. Özellikle kısa kenarla uzun kenarlar arasındaki fark erken yuvarlanırsa farklı bir şekil tarif edebilirsiniz. Form ince üçgende ek açıklama gösterir, fakat geçerli girdiyi sırf ince olduğu için reddetmez. Kaynak ölçülerin hassasiyeti, hesap yönteminin sayısal tutarlılığından ayrı bir konudur.

Basit bir örnekte birkaç bağıntıyı birlikte denemek, yanlış birimi veya yanlış etiket eşleştirmesini fark etmenizi sağlar. 3–4–5 için çevreyi doğrudan toplayın, alanı 3 × 4 / 2 ile bulun, sonra 5 birimlik tabanın 2,4 birimlik yüksekliğiyle aynı alanı yeniden elde edin: 5 × 2,4 / 2 = 6. Üç açı da ilgili kenarların büyüklük sırasına uymalıdır. Bu kontroller tek bir son sayıya bakmaktan daha fazla bilgi verir.

Dik olmayan üçgende aynı kontrolü yaparken iki kenarı doğrudan taban ve yükseklik diye çarpmayın. Örneğin 2–3–4 üçgeninde 2 × 3 / 2 = 3 ifadesi alanı vermez; iki kenar birbirine dik değildir. Doğru yükseklik ilgili sonuç satırından alınmalı veya ayrıca hesaplanmalıdır. Benzer şekilde alanın çevreden küçük ya da büyük olması tek başına hata işareti değildir; uzunlukla alan farklı birimler taşır ve şeklin ölçeğine göre sayısal ilişkileri değişir.

Her kenar 0,000001 ile 1.000.000.000 arasında pozitif bir sayı olmalıdır. Sıfır, negatif uzunluk ve sınır dışı değer ilgili alanda açıklamayla durdurulur. Ondalık sayı yazarken virgül kullanabilirsiniz; uzunluk birimini sayının yanına eklemeyin. Form bütün kenarları ortak birimde kabul eder. Bu sınırları aşmak için yalnız bir kenarın ölçeğini değiştirmek hesabı bozacaktır.

Bu sayfa düzlemde, doğrusal kenarlı üçgen içindir. Dünya üzerinde çok büyük mesafelerin oluşturduğu küresel üçgen, eğri yüzey alanı, yapı güvenliği veya malzeme uygunluğu hesaplanmaz. Üç kenarın bilinmesi üçgenin şeklini ve boyutunu belirler, ancak haritadaki konumunu ya da dönüklüğünü söylemez. Sonucu paylaşırken ortak birimi, kenar etiketlerini ve ölçülerin dayanağını birlikte belirtmek hesabın anlaşılmasını sağlar.