Tam Sayı Doğrusal Denklem

Önce a, b ve c alanlarına işaretli tam sayıları yazın. Negatif değer için kısa çizgi eksi işaretini kullanın. Ondalık, kesir, artı işareti, bilimsel gösterim, binlik gruplama veya aritmetik ifade kabul edilmez. Örneğin bir katsayıyı işlem biçiminde değil, işlemi tamamlanmış tam sayı olarak girin. Baştaki sıfırlar kabul edilip sayının asıl değerine indirgenir; negatif sıfır normal sıfırdır. Sayının çevresindeki boşluklar okumada ayıklanır, ancak alanın bütün yazımı 64 karakter sınırına uymalıdır.

Etkin her katsayının ve etkin her koordinat sınırının mutlak değeri en fazla 10^30 olabilir. Bu, 1'in ardından 30 sıfır gelen tam sayıdır; giriş alanına üs gösterimi değil rakamların kendisi yazılır. Büyük sayılar bu aralıkta kesin tutulur. Sonuçtaki bazı özel çözüm koordinatları, parametre uçları veya sonlu çözüm sayıları giriş sayılarından daha uzun olabilir; sonlu sayım 61 basamağa ulaşabilir. Çok basamak görmek yaklaşık hesap yapıldığı anlamına gelmez. Sonuçları aktarırken son haneleri yuvarlamadan koruyun.

Kapsam seçimi iki ayrı soruyu belirler. Bütün tam sayı çözümlerini seçerseniz denklem sınırsız x ve y üzerinde incelenir; sonlu nokta listesi üretilmez. Sonlu x/y dikdörtgenini seçerseniz dört koordinat sınırı etkin olur ve çözümler yalnız bu bölge içinde sayılır. İlk seçimde sınır kutularında görünen değerler kullanılmaz. Bu yüzden ekranda bir alt veya üst sınır görmek, sınırsız sonuçta o sınırın uygulandığını söylemez. Sonuçtaki dikdörtgen seçimi ve sınır satırlarını birlikte okuyun.

En az bir katsayı sıfırdan farklıysa g = EBOB(|a|, |b|) pozitif bir tam sayıdır. Her a x + b y toplamı g'nin katıdır. Dolayısıyla c, g'ye tam bölünmüyorsa tam sayı çözümü bulunamaz. c'nin g'ye tam bölünmesi ise bu iki değişkenli doğrusal denklem için çözüm bulunmasına yeterlidir. Araç bu koşulu kesin olarak kontrol eder. Tam sayı çözümü olmayan bir denklem için koordinatları yuvarlayarak yaklaşık nokta üretmek aynı sorunun çözümü değildir.

Bézout özdeşliği, uygun u ve v tam sayılarıyla a u + b v = g eşitliğini kurar. c, g'ye bölünüyorsa bu eşitlik c/g ile çarpılarak bir özel çözüm elde edilir: x0 = u × c/g ve y0 = v × c/g. Sonuçta u, v ve özdeşlik açıkça gösterilir. Bu katsayılar tek olmak zorunda değildir. Farklı bir doğru Bézout seçimi başka bir özel çözüm verebilir; önemli olan elde edilen ailenin bütün çözümleri temsil etmesidir.

Özel çözümden sonra bütün tam sayı çözümleri x = x0 + (b/g) k ve y = y0 − (a/g) k ile yazılır; k herhangi bir tam sayıdır. k yalnız sıfır veya pozitif değerlerle sınırlı değildir. Bir koordinatın adımı negatif olabilir ve diğer koordinat k arttıkça artabilir veya azalabilir. Araç bu işaretleri korur. Sonuçtaki x adımı ve y adımı satırlarını okuyarak ailenin hangi yönde ilerlediğini anlayabilirsiniz. Buradaki k bir sıralama puanı veya zaman değildir.

k için herhangi bir tam sayı seçip bulunan x ve y'yi başlangıç denklemine yerleştirmek aileyi kontrol etmenin bir yoludur. Örneğin k'nin bir artması x'i b/g kadar, y'yi −a/g kadar değiştirir. Bu değişimlerin denklemdeki toplam etkisi sıfır olduğundan eşitlik korunur. Ailenin tek bir üyesi bütün çözümün yerine geçmez. Aynı şekilde birkaç noktayı denemek sınırsız aileyi listelemek değildir; genel ifade sonsuz sayıdaki uygun tam sayı parametresini kapsar.

Tek parametreli ailede kullanılan özel çözüm başka bir gösterimde farklı olabilir. Parametreyi başka bir tam sayıyla kaydırmak aynı noktaları farklı k değerleriyle adlandırabilir. Bu nedenle iki çözümü karşılaştırırken yalnız x0 ve y0'ın aynı olup olmadığına bakmayın. Ailelerin adımlarını, denklemde yerine koymayı ve varsa seçili dikdörtgen içindeki noktaları birlikte inceleyin. Araç gösterdiği aileye göre k'yi küçükten büyüğe listeler; bu sıranın her zaman x'i küçükten büyüğe sıraladığı varsayılmamalıdır.

a sıfır, b sıfırdan farklıysa denklem b y = c haline gelir. c, b'ye tam bölünüyorsa y sabittir ve x herhangi bir tam sayı olabilir. b sıfır, a sıfırdan farklıysa benzer biçimde x sabit, y serbesttir. Araç bu durumları da bütün çözüm ailesiyle gösterir. Sıfır adımlı bir koordinat hesap hatası değildir; o koordinatın aile boyunca değişmediğini belirtir. Bölünebilirlik sağlanmıyorsa yine tam sayı çözümü yoktur.

Bir katsayının sıfır olması, sonlu dikdörtgende mutlaka çözüm bulunacağını söylemez. Sabit kalan koordinat seçilen alt ve üst sınırların dışında olabilir. Bu durumda denklem sınırsız alanda çözülebilir olsa bile seçili dikdörtgendeki çözüm sayısı sıfırdır. Sonuçtaki genel çözüm durumu ile seçili kapsamdaki sayı farklı sorulara yanıt verir. Özellikle sınırları daralttığınızda bu ayrımı koruyun; genel ailenin varlığı ile bölgenin o aileden en az bir nokta içermesi aynı koşul değildir.

a ve b sıfır, c sıfırdan farklıysa eşitlik 0 = c olur ve hiçbir çözüm bulunmaz. a, b ve c'nin üçü de sıfırsa 0 = 0 her tam sayı çifti için doğrudur. Bu ikinci durumda x ve y birbirinden bağımsız iki tam sayıdır: x = m; y = n; m, n ∈ Z. Araç bütün düzlemi tek bir k ailesi gibi göstermez. Böyle bir gösterim iki koordinatın bağımsız seçilebildiği bilgiyi kaybettirirdi.

Bütün tam sayı çiftleri durumunda EBOB sıfır olarak görülebilir, fakat sıfıra bölünerek adım hesaplanmaz. x ve y adımı ile tek parametre aralığı uygulanmaz diye belirtilir. Sınırsız kapsamda sonsuz çözüm vardır; dikdörtgen seçilirse içerideki bütün tam sayı noktaları sayılır. Kutu genişlikleri sınırlar dahil tam sayı adedi olarak bulunur ve çarpılır. Böylece tek doğru üzerindeki noktalarla bütün düzlemdeki noktalar aynı yönteme zorlanmadan ayrı biçimde ele alınır.

Dikdörtgen seçildiğinde x alt sınırı, x üst sınırı, y alt sınırı ve y üst sınırı birlikte kullanılır. Dört değer de tam sayı olmalı ve her alt sınır kendi üst sınırını aşmamalıdır. Ters yazılmış sınırlar otomatik yer değiştirmez; girdi reddedilir. Alt ve üst sınırlar çözüme dahildir. Bir koordinatın iki sınırı eşit olabilir; bu, o koordinatı tek bir tam sayıya sabitler. Dikdörtgenin alanı küçük veya sıfır görünse bile bir çizgi ya da tek nokta üzerinde çözümler bulunabilir.

Tek parametreli ailede dört koordinat koşulu, k için alt ve üst sınırlara çevrilir. Tam sayı k gerektiği için alt uç yukarı, üst uç aşağı doğru uygun tam sayıya alınır. Negatif adımlarda eşitsizlik yönü de dikkate alınır. Bir koordinatın adımı sıfırsa sabit değerin aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Sonunda bütün koşulların ortak k aralığı bulunur. Bu işlem, büyük bir dikdörtgendeki bütün x ve y değerlerini tek tek denemeden kesin çözüm saymayı sağlar.

Geçerli k aralığı boşsa seçili bölgede çözüm yoktur. Alt uç kmin, üst uç kmax ve alt uç üstü aşmıyorsa sayı kmax − kmin + 1 olur. Bu sayı liste uzunluğundan bağımsızdır. Bütün düzlem durumunda ise sayı (xMax − xMin + 1) × (yMax − yMin + 1) ile bulunur. Buradaki bir ekleri kapalı aralıkların uçlarını dahil eder. Sınırlar içinde çok fazla nokta olsa bile kesin toplam hesaplanır; yalnız gösterilen liste ayrıca sınırlanır.

Liste üst sınırı 1 ile 50 arasında tam sayıdır; başlangıç değeri 20'dir. Başına sıfır, işaret, ondalık ayırıcı veya açıklama eklemeyin. Bu seçim yalnız sonlu dikdörtgendeki görünür noktaların sayısını sınırlar. Toplam çözüm sayısı bu kadar nokta denenerek tahmin edilmez. Sonuçtaki kesin sayı, listelenen sayı ve liste durumu birlikte verilmiştir. Liste kesildiyse gösterilmeyen başka çözümler bulunduğu açıkça belirtilir; ilk birkaç noktadan toplam sayı çıkarmak gerekmez.

Tek parametreli ailede liste k'nin küçükten büyüğe sırasını kullanır. x adımı negatifse bu sırada x azalabilir; bu doğal sonuçtur. Bütün düzlem durumunda önce x küçükten büyüğe ilerler, aynı x için y küçükten büyüğe listelenir. İki bağımsız koordinatın listesinde k sütunu uygulanmaz olarak görünür. Sıralama bir tercih veya en iyi çözüm sırası değildir. Sınırsız kapsamda sonlu bir başlangıç listesi verilmez; nokta tablosunun boş olması bu durumda çözüm olmadığı anlamına gelmez.

a, b ve c değerlerini işaretli tam sayılar olarak hazırlayın. Çözüm kapsamından bütün tam sayı çözümlerini seçip denklemi hesaplayın. EBOB, Bézout özdeşliği ve genel çözüm durumunu birlikte okuyun. Tek parametreli aile varsa k için seçtiğiniz tam sayıları yerine koyarak denklemi kontrol edin.

İlk değerlendirmede verilen denklem satırını kendi eşitliğinizle karşılaştırın. Eksi katsayıların doğru alana yazıldığını ve c'nin eşitliğin doğru tarafındaki değer olduğunu kontrol edin. Ardından genel çözüm durumuna bakın: aile, bütün düzlem veya çözüm yok sonuçları farklıdır. Aile varsa özel çözümü yerine koyup adımların işaretlerini inceleyin. Birkaç noktayı kontrol etmek, gösterilen ailenin nasıl çalıştığını anlamaya yardımcı olur. Kapsam sınırsızsa sınır alanlarının kullanılmadığını ve nokta listesi istenmediğini de kaydınıza ekleyin.

Sonlu x/y dikdörtgenini seçip alt ve üst sınırları dahil olacak şekilde yazın. Liste sınırını 1–50 arasında belirleyip aynı denklemi hesaplayın. Kesin toplam sayıyı, parametre aralığını ve gösterilen nokta sayısını karşılaştırın. Liste kesilmişse gösterilen noktaların yalnız belirtilen sıradaki ilk bölüm olduğunu kaydedin.

Bir sınırı değiştirmek genel denklemi değiştirmez; yalnız sayılan bölgeyi değiştirir. Bu nedenle eski ve yeni sonucu karşılaştırırken a, b ve c'nin aynı kaldığını kontrol edin. Liste sınırını artırmak da yeni çözüm oluşturmaz; zaten sayılmış olan daha fazla noktayı görünür kılar. Sınırlarınızı uygulama probleminden aldıysanız negatif koordinatların veya eşit uçların ne anlama geldiğini kendi bağlamınızda değerlendirin. Araç bu koordinatlara miktar, maliyet ya da başka bir gerçek dünya anlamı otomatik atamaz.

Genel aileyi incelerken k'yi bir noktanın aile içindeki tam sayı indeksi olarak okuyun. Dikdörtgen seçmek bu ailenin denklemine yeni bir katsayı eklemez; yalnız hangi indekslerin seçilen bölgeye düştüğünü belirler. İki koordinatın sınırlarından gelen izinler birlikte sağlanmalıdır. Bir koordinat sabitse onun sınır içinde bulunması ayrıca önemlidir. Parametre alt ve üst uçları bu ortak seçimi anlatır; x veya y sınırlarının kendileri değildir. Adımlardan biri negatifse k büyürken ilgili koordinat küçülebilir. Bu yüzden listedeki ilk noktanın en küçük x değerini taşıması gerekmez.

0 = 0 durumunda aynı okuma tek bir k aralığına indirgenemez. x için seçilen bir tam sayı, y'nin yalnız bir değerini zorunlu kılmaz; iki seçim bağımsızdır. Sonlu dikdörtgen bu kez iki ayrı tam sayı aralığının bütün eşleşmelerini seçer. Dikdörtgenin bir kenarı tek koordinata daralsa bile başlangıçtaki denklemin bütün tam sayı çiftlerini kapsadığı gerçeği değişmez. Sonuçtaki genel çözüm ile seçili bölgenin biçimini birlikte okumak, bu özel durumu tek parametreli doğru ailesiyle karıştırmanızı önler.

Listeyi değerlendirirken kesin toplamı, gösterilen nokta sayısını ve kesilme bilgisini ayrı okuyun. En çok 50 nokta gösterilmesi toplam çözümün 50 olduğu anlamına gelmez. Her listelenen noktanın denklemde doğrulanması da listenin bütün çözümleri içerdiğini tek başına kanıtlamaz; tamamlık bilgisi kesin sayımla karşılaştırılarak anlaşılır. Aynı dikdörtgende yalnız liste üst sınırını değiştirirseniz genel aile ve toplam çözüm sayısı korunur, gösterilen başlangıç bölümü değişebilir. Sınırsız kapsamda ise nokta listesi yerine bütün aile esas alınır.

Listelenen her nokta için denklemin sol tarafı ayrıca gösterilir. Bu değer c'ye eşit olmalıdır. Bu kontrol, büyük veya negatif koordinatlarda işaretlerin nasıl birleştiğini görmenize yardımcı olur. Aynı zamanda yalnız listelenen ilk noktaların doğrulandığı için toplamın tahmin edildiği anlamına gelmez; bütün ailenin ve sonlu sayımın matematiksel koşulları ayrı olarak kullanılır. Sonucu aktarırken aile ifadesini, kapsamı, sınırları ve kesin sayıyı birlikte koruyun. Kesilmiş bir listeyi bütün çözüm kümesi diye paylaşmayın.

Hesaplayıcı kullanıcı girdilerini veya sonuçlarını ağ üzerinden göndermez. Her hesap yalnız o anda verdiğiniz denklemi ve etkin kapsamı kullanır; önceki denklem veya sınırlar yeni hesaba eklenmez. Büyük tam sayı sonuçları ondalık yaklaşıma çevrilmeden gösterilir. Bunları başka bir yere kopyalarken basamakları koruyun; yuvarlanmış bir koordinat artık denklemi sağlamayabilir. Bu araç diğer eşitsizlikleri, birden fazla denklemi veya bir hedef fonksiyonunu kendiliğinden eklemez. Sonuç yalnız belirtilen tek doğrusal tam sayı sorusuna aittir.

Matematiksel dayanak Konstantine Zelator'un [Lattice points on the plane ax+by+cz=d and the diophantine system ax+by+cz=d ex+fy+gz=h](https://arxiv.org/abs/0805.1702) başlıklı arXiv:0805.1702 çalışmasının ikinci bölümüdür. Kapak ile PDF sayfaları 4–7 incelenmiştir; 27 sayfalık makalenin tamamının okunduğu iddia edilmez. Kapakta yazar Konstantine 'Hermes' Zelator olarak geçer; arXiv kaydındaki yazar adı Konstantine Zelator'dur. Doğrusal tam sayı ailesine ilişkin dayanak bu kapsamla belirtilir; rehberdeki özel durumlar ve sonlu dikdörtgen açıklamaları özgün anlatımla sunulur.

arXiv birinci sürümünün gönderim tarihi 12 Mayıs 2008, 18:05:32 UTC'dir. Bu tarih dergi yayını tarihi olarak sunulmaz; doğrulanmış dergi yayın tarihi verilmez. Kaynağa erişim tarihi 18 Ekim 2026 ve okuma aralığı 13:23:00–13:23:14 UTC'dir. Erişim tarihi de yayın tarihinden ayrıdır. Gerçek arXiv lisans bağlantısından doğrulanan [CC BY 3.0](https://creativecommons.org/licenses/by/3.0/) atfı yazar ve kaynakla birlikte korunur. [Birincil PDF](https://arxiv.org/pdf/0805.1702) aynı çalışmaya ulaşmak için ayrıca verilmiştir.

Rehberin Türkçe açıklamaları, hesap uygulaması ve aşağıdaki üç küçük örnek özgün hazırlanmıştır. Kaynaktaki örnekler, kodlar, türetmeler, alıştırmalar, tablolar, şekiller veya çalışma protokolü kopyalanmamıştır. Kaynağın lisansını belirtmek özgün hesap koduna otomatik olarak aynı lisansın uygulandığı iddiası değildir. Aynı biçimde yazarın veya bir kurumun bu aracı ya da kullanıcının denklemini onayladığı ileri sürülmez. Sonuçları kullanırken kaynak atfını, denklemin tam sayı koşulunu ve sonlu listeyle bütün çözüm kümesi arasındaki ayrımı birlikte koruyun.

Dokuz giriş alanını aşağıdaki değerlerle doldurun. Kapsamın seçeneği ve dört sınır alanının etkin olup olmadığı birlikte belirtilmiştir.

Bu kapsamda dört x/y sınır alanı etkin değildir; yazılı değerleri hesapta kullanılmaz.

Sonuç kartı: Tam sayı çözümleri: x = 2 + 5 k; y = -1 − 3 k; k ∈ Z.

Nokta listesi:

EBOB 6'dır ve c değeri 6'ya bölünür. Bézout katsayıları 2 ve -1, 18 × 2 + 30 × (-1) = 6 eşitliğini verir. Özel çözüm (2, -1), bütün aile ise x = 2 + 5 k ve y = -1 − 3 k'dir. Burada k her tam sayı olabilir. Sonlu dikdörtgen seçilmediği için nokta listesi istenmemiştir; aşağıdaki tablo yalnız başlıkları içerir. Girişte görünen sınır kutuları bu kapsamda etkisizdir ve sonsuz aileyi sınırlamaz.

Dokuz giriş alanını aşağıdaki değerlerle doldurun. Kapsamın seçeneği ve dört sınır alanının etkin olup olmadığı birlikte belirtilmiştir.

Sonuç kartı: Tam sayı çözümleri: Dikdörtgende 6 çözüm.

Nokta listesi:

a sıfır olduğundan denklem -7 y = 21 biçiminde y'yi -3'e sabitler. x ise tam sayı olarak serbesttir. Seçilen x aralığı -2'den 3'e kadar altı tam sayı içerir ve y sınırı -3'ü dahil eder; kesin toplam altıdır. Gösterilen aile x = -k olduğundan k küçükten büyüğe sıralanırken x 3, 2, 1 biçiminde azalır. Liste sınırı üç olduğu için yalnız ilk üç nokta görünür; sayı altı olarak korunur.

Dokuz giriş alanını aşağıdaki değerlerle doldurun. Kapsamın seçeneği ve dört sınır alanının etkin olup olmadığı birlikte belirtilmiştir.

Sonuç kartı: Tam sayı çözümleri: Dikdörtgende 6 çözüm.

Nokta listesi:

Denklem 0 = 0 olduğundan x ve y bağımsız tam sayılardır. Seçili kutuda x için -1, 0, 1; y için 0 ve 1 seçenekleri vardır. Üç ile ikinin çarpımı altı çözüm verir. Liste x'e, sonra aynı x içindeki y'ye göre artar. Sınır dört olduğundan yalnız ilk dört nokta gösterilir. Tek parametreli bir k ailesi kurulmadığı için k sütunu uygulanmaz olarak işaretlenmiştir; bu iki koordinatın bağımsızlığını korur.