Önce neyi bildiğinizi seçin

Bu araç iki yönde çalışır. Bir açıyı biliyorsanız sinüs, kosinüs, tanjant ve diğer trigonometrik oranlarını bulabilirsiniz. Elinizde sinüs, kosinüs veya tanjant oranı varsa bu kez o orana karşılık gelen temel açıyı hesaplayabilirsiniz. İlk durumda giriş bir açı, ikinci durumda giriş bir orandır. Bunları aynı kutuda aynı anlamla kullanmamak gerekir.

Formun ilk sorusu bu yüzden işlemin yönüdür. “Açıyı biliyorum” seçeneğinde açı ve birimi görünür. “Sinüsten açıyı bul” gibi bir seçimde ise oran kutusu ve sonucun hangi açı biriminde gösterileceği sorulur. Kullanıcıdan sembolleri ezbere bilmesi beklenmez; her seçimde istenen bilgi örnekle açıklanır. Araç tek bir sayısal hesabı yapar, bütün trigonometrik denklemleri otomatik çözmez.

Sinüs ve kosinüs neyi anlatır?

Dik üçgende seçtiğiniz dar açının karşısındaki kenarı en uzun kenara bölerseniz sinüs oranını bulursunuz. Aynı açıya bitişik dik kenarın en uzun kenara oranı kosinüstür. Burada “en uzun kenar”, dik açının karşısındaki hipotenüstür. Hangi kenarın karşı veya bitişik olduğu, baktığınız açıya göre değişir.

Örneğin 30 derecelik bir dik üçgende sinüs 0,5’tir. Hipotenüs 10 santimetreyse bu açının karşısındaki kenar 5 santimetre olur. Sinüs sonucunun kendisi 5 santimetre değildir; 0,5 oranıdır. Uzunluğu bulmak için bu oranı bilinen hipotenüsle çarparsınız. Üçgeni iki kat büyütmek açıyı ve oranı değiştirmez; kenar uzunluklarını değiştirir.

Tanjant neden farklı bir oran?

Tanjant, seçilen açının karşısındaki dik kenarın bitişik dik kenara oranıdır. Hipotenüsü kullanmaz. Aynı açı için sinüsü kosinüse bölerek de tanjantı bulabilirsiniz. Örneğin karşı kenar 3, bitişik kenar 4 birimse tanjant 3/4 = 0,75 olur. Bu orandan açıyı bulmak için ters tanjant seçeneğine geçilir.

Eğim örneklerinde düşey artışın yatay uzaklığa oranı tanjanta karşılık gelebilir. Ancak ölçtüğünüz uzaklığın yatay mı, eğik yüzey boyunca mı olduğunu kontrol etmelisiniz. Eğik mesafeyi bitişik kenar gibi kullanmak farklı oran üretir. Bu hesaplayıcı ölçüm düzeninizi göremez; girilen açı veya oran için matematiksel sonucu verir.

Derece, radyan ve π seçimi

Günlük kullanımda açı çoğunlukla dereceyle ifade edilir. Tam dönüş 360 derece, yarım dönüş 180 derecedir. Radyan başka bir açı birimidir: yarım dönüş π radyan, tam dönüş 2π radyandır. Aynı açı iki farklı birimle yazılabilir. 90 derece ile π/2 radyan aynı açıdır; 90 radyan ise değildir.

Araçta derece, radyan ve “π’nin katı” seçenekleri ayrı bulunur. Derece seçiliyken 90 yazabilirsiniz. π’nin katı seçiliyken π/2 için 0,5 yazılır; çünkü π’nin yarısı anlatılmaktadır. Bu kutuya doğrudan π/2 metni yazılmaz. Radyan seçeneğinde ise sayısal radyan değeri istenir. Birimi değiştirmek mevcut rakamı kendiliğinden eşdeğer rakama çevirmez; kutu açıklamasını okuyup değeri seçilen birimde yazın.

30 derece örneğini adım adım okuyun

“Açıyı biliyorum”, ardından derece seçip 30 yazın. Sinüs sonucu 0,5, kosinüs yaklaşık 0,866025, tanjant yaklaşık 0,577350 olur. Bu üç sayı aynı açının farklı kenar oranlarıdır. Tanjantın sinüs/kosinüs ilişkisini kullanarak 0,5 ÷ 0,866025 hesabıyla yaklaşık aynı sonucu kontrol edebilirsiniz.

Sonuç ekranı açıya ait derece ve radyan karşılıklarını da gösterir. Böylece oranların hangi birimle yazılmış açıdan üretildiği görülebilir. Sayıların sonunda farklı basamaklar görünmesi normaldir; bazı oranlar sonlu ondalıkla tam yazılamaz. Araç bu tür sonuçları sayısal olarak gösterir, her sonucu köklü veya kesirli sembolik biçime dönüştürmez.

90 derecede tanjant neden sayı değil?

90 derecede sinüs 1, kosinüs 0’dır. Tanjant sinüsün kosinüse bölümü olduğundan 1/0 işlemi ortaya çıkar. Bu açıda sonlu bir tanjant değeri yoktur. Ekranda sıfır göstermek yanlış olur; bu yüzden “Bu açıda kosinüs 0 olduğu için bölme yapılamıyor” açıklaması gösterilir.

Bu durum sinüs ve kosinüsün de hesaplanamadığı anlamına gelmez. Onlar sırasıyla 1 ve 0 olarak gösterilmeye devam eder. Bir oranın o açıda üretilememesi bütün sonucun geçersiz olması değildir. Aynı mantıkla sinüsün sıfır olduğu açılarda kotanjant ve kosekant için bölüm yapılamaz. İlgili satırdaki açıklamayı okuyun; farklı oranların paydaları farklıdır.

90 dereceye yakın bir açı aynı şey değildir

89,999 derece ile tam 90 derece arasında küçük ama önemli bir fark vardır. İlkinde kosinüs çok küçük pozitif bir sayıdır ve tanjant çok büyük pozitif bir sayı olabilir. Tam 90 derecede ise kosinüs sıfırdır; tanjant için sayı verilemez. Araç yakın değerleri otomatik olarak 90’a yuvarlayıp bu farkı silmez.

Radyan olarak π/2’nin sonlu bir yaklaşık değerini yazdığınızda da benzer durumla karşılaşabilirsiniz. Yazdığınız ondalık sayı, matematiksel π/2’nin kendisi değildir. Tam özel açıyı ifade etmek için derece olarak 90 veya π’nin katı olarak 0,5 kullanın. Yaklaşık radyan girdisinden çok büyük bir tanjant çıkması, o yaklaşık sayıya ait hesap olabilir; onu tam 90 derecenin tanjantı diye yorumlamayın.

Sinüsten açıyı bulma

Bir açının sinüsünün 0,5 olduğunu biliyorsanız işlemden “Sinüsten açıyı bul” seçeneğini açın ve 0,5 yazın. Derece sonucu seçiliyken temel cevap 30 derece olur. Burada 0,5 yüzde 0,5 veya 0,5 derece değildir; boyutsuz bir orandır. Yüzde olarak %50 denmişse oran karşılığı 0,5’tir.

Sinüs aynı değeri birden fazla açıda alabilir. 30 ve 150 derecenin sinüsü 0,5’tir. Ters sinüs hesaplaması bunların bütününü listelemez; −90 ile 90 derece arasındaki temel açıyı döndürür. Sorunuz bir üçgen, yön veya denklem hakkında ek koşullar içeriyorsa diğer çözümler o koşullarla ayrıca değerlendirilmelidir. Tek cevap gösterilmesi bütün olası açıların yalnızca bir tane olduğu anlamına gelmez.

Kosinüsten ve tanjanttan açı

Ters kosinüsün temel açı aralığı 0 ile 180 derecedir. Örneğin kosinüs 0,5 için 60 derece, kosinüs −0,5 için 120 derece bulunur. Ters tanjantın temel aralığı ise −90 ile 90 derece arasındadır; iki uç açı dahil değildir. Tanjant 0,75 için yaklaşık 36,869898 derece bulunur.

İki koordinattan bütün yön açısını arıyorsanız yalnızca bölümden ters tanjant almak yeterli olmayabilir. İki negatif koordinatın bölümü de pozitif çıkabilir; yön bilgisi kaybolabilir. Bu araçta iki koordinatı ayrı alıp bölgeyi koruyan atan2 işlemi yoktur. Ters tanjant sonucunu bir pusula yönü veya bütün çember üzerindeki kesin konum gibi kullanmadan önce gereken bilgilerin mevcut olduğundan emin olun.

Oranın izin verilen aralığı

Gerçek açılar için sinüs ve kosinüs −1 ile 1 arasındadır. Bu yüzden ters sinüs veya ters kosinüs hesabında 1,2 yazılırsa araç o orana ait gerçek açı üretmez. Yüzde, uzunluk veya başka bir sayıyı oran yerine yazıp yazmadığınızı kontrol etmenizi ister. −1 ve 1 uçları ise bu iki ters işlemde geçerlidir.

Tanjant bu aralıkla sınırlı değildir. 2 veya −5 gibi oranların ters tanjantı hesaplanabilir. Çok büyük pozitif bir oran açıyı 90 dereceye yaklaştırır, fakat sonlu oran için temel sonuç tam 90 olmaz. Bu nedenle özellikle uçlara yakın ters tanjant sonuçlarında daha fazla basamak gösterilir; ekrandaki yuvarlama nedeniyle sanki ulaşılamayan uca ulaşılmış gibi görünmemesi amaçlanır.

Ters fonksiyon ile ters oranı karıştırmayın

“Arcsin” veya “asin”, sinüs oranından açı bulmaktır. “Kosekant” ise bir açının sinüsünün tersidir: 1/sinüs. Bunlar farklı işlemlerdir. 30 derecede sinüs 0,5 olduğu için kosekant 2 olur. Ama 0,5’in ters sinüsü 30 derecedir. Biri oran, diğeri açı verir.

Benzer şekilde sekant 1/kosinüs, kotanjant kosinüs/sinüs ilişkisidir. Matematikte bazı üst simgeli yazımlar bu ayrımı öğrenme aşamasında karıştırabilir. Bu araç menülerde işlem adını açık yazar. “Açıyı bul” seçeneğiyle “oranın tersini bulma” satırını aynı işlem gibi okumayın. Sonucun yanında derece veya radyan bulunup bulunmadığı da iyi bir ipucudur.

Eksi açılar ve bir turdan büyük açılar

Eksi açı, seçilen dönme yönünün tersine dönmeyi temsil edebilir. Örneğin −30 derecede sinüs −0,5, kosinüs yaklaşık 0,866025 olur. Sinüsün işareti değişirken kosinüsün aynı kalması, birim çemberdeki simetriyle açıklanır. Girdi eksi diye aracı kullanılamaz sanmayın; açı hesabında eksi değerler desteklenir.

390 derece, 360 derecelik bir tam turdan sonra 30 derece daha dönmektir. Bu iki açının sinüs ve kosinüs değerleri aynıdır. Ancak bağlamınız toplam dönme miktarını içeriyorsa 390 ile 30 aynı hareket geçmişini anlatmaz. Araç trigonometrik oranları hesaplar; kaç tur atıldığıyla ilgili mekanik veya zaman bilgisi üretmez.

Doğru sonucu yanlış uzunlukta kullanmayın

Bir dik üçgende hipotenüs 12 metre, seçilen açı 30 derece olsun. Karşı dik kenar 12 × sin(30°) = 6 metredir. Bitişik dik kenar ise 12 × cos(30°), yaklaşık 10,3923 metredir. Aynı 12’yi tanjantla çarpıp karşı kenar diye kullanmak doğru değildir; tanjant hipotenüsle değil, bitişik dik kenarla ilişkilidir.

Ölçüm sorularında hangi uzunluğun bilindiğini bir çizim veya kısa notla belirleyin. Merdivenin boyu, zemindeki yatay uzaklığı ve ulaştığı yükseklik farklı kenarlardır. Bu örnek geometrik bir ilişkiyi açıklar; gerçek bir merdivenin güvenli yerleşimini, taşıma kapasitesini veya kullanım uygunluğunu belirlemez. Matematik sonucu uygulama güvenliği değerlendirmesinin yerine geçmez.

Giriş ve gösterim sınırları

Bu sürüm açı girişini −10.000.000 ile 10.000.000 arasında, ters tanjant oranını ise −1.000.000.000.000 ile 1.000.000.000.000 arasında sınırlar. Ters sinüs ve kosinüs için ayrıca −1 ile 1 koşulu uygulanır. Bunlar sayısal uygulamanın kapsamıdır; trigonometrinin bütün olası gösterimlerini kapsadığı anlamına gelmez.

Büyük açı değerlerinde ondalık girişin hassasiyeti önemlidir. Kaynaktaki küçük açı farkını yazarken kaybettiyseniz araç onu geri getiremez. Çok küçük sonuçlar da yalnızca az basamak gösterildiği için sıfır sayılmamalıdır. Sonucu kullanırken işlem yönünü, açı birimini ve ilgili oran satırındaki açıklamayı birlikte kontrol edin. “Açı doğru mu?” sorusunun öncesinde “Bu kutuya gerçekten açı mı, oran mı yazdım?” sorusunu sormak pek çok hatayı önler.

İki basit doğrulama

Bir açı için sinüsün karesiyle kosinüsün karesinin toplamı 1 olmalıdır. 30 derecede 0,5² ile yaklaşık 0,866025² toplandığında yaklaşık 1 elde edilir. Yuvarlanmış sayılar kullanıyorsanız küçük son basamak farkı beklenebilir. Bu ilişki, alanlara yanlış veri yazılıp yazılmadığını değil, aynı açıya ait oranların birbiriyle tutarlılığını kontrol eder.

Ters işlemde ise bulunan açının ilgili oranını yeniden hesaplayın. Ters tanjanttan yaklaşık 36,869898 derece bulduysanız tanjant hesabında yaklaşık 0,75’e dönmelisiniz. Ancak sonucu radyan alıp sonraki ekranda derece diye yazarsanız bu kontrol bozulur. İki aşamada da birimi koruyun. Hazır örnek düğmeleri, doğru alanlarla doğru birimin birlikte nasıl seçildiğini denemek için kullanılabilir.

Sıfır açı ile boş alanı ayırın

Açı olarak 0 yazmak geçerli bir bilgidir. Derece veya radyan görünümünde sıfır açının sinüsü 0, kosinüsü 1, tanjantı 0 olur. Buna karşılık kotanjant ve kosekant satırlarında sinüse bölme gerektiğinden sayı gösterilemez. Aynı ekranda bazı sonuçların sıfır, bazılarının bir, bazılarının ise açıklamalı olarak hesaplanamaz olması çelişki değildir; formüllerin paydaları farklıdır.

Boş bırakılmış alan ise henüz açı belirtilmediği anlamına gelir. Araç eksik bilgiyi otomatik olarak sıfır açı saymamalıdır. Örnek bir hesabı kendi verinizle değiştirirken kutuyu temizleyip yeni açıyı yazmayı unutursanız önce o bilgi tamamlanmalıdır. Sonuç ekranındaki eski sayıyı yeni ve eksik girişin cevabı gibi kullanmayın; yeniden hesaplamadan önce seçili yöntemi ve kutudaki değeri kontrol edin.