Bir sayı diğerini ne zaman böler?
Bir pozitif tam sayı başka bir pozitif tam sayıya bölündüğünde kalan sıfırsa, küçük sayı diğerinin bölenidir. Örneğin 24 ÷ 6 = 4 olduğu için 6, 24’ün bölenidir. 24 ÷ 5 tam sayı vermez; bu nedenle 5 bölen değildir. Bölen ararken yaklaşık bölme sonucu değil, kalansız bölünebilme koşulu önemlidir.
Bu hesaplayıcı, girilen pozitif tam sayının bütün pozitif bölenlerini küçükten büyüğe listeler. Listenin uzunluğunu, bölenlerin toplamını ve sayının kendisi çıkarıldıktan sonraki toplamı da gösterir. Böylece aynı ekran hem “hangi sayılar böler?” hem “kaç böleni var?” sorularını yanıtlar.
Çarpan çiftleriyle liste oluşturma
24 için 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8 ve 4 × 6 çiftlerini yazalım. Bu çiftlerdeki sayıları sıraladığımızda 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 listesini elde ederiz. Toplam sekiz pozitif bölen vardır. Listeyi oluştururken yalnızca küçük çarpanları yazarsanız 6, 8, 12 ve 24 gibi eşlerini kaçırırsınız.
Bir d böleni bulunduğunda n/d de otomatik olarak bir bölen olur. Bu nedenle bütün sayıları n’e kadar denemek gerekmez. Karekök sınırına kadarki adaylar, çarpan çiftlerinin küçük taraflarını bulmaya yeter. Büyük taraflar bölme işlemiyle elde edilir ve listeye eklenir.
Tam karelerde orta bölen neden bir kez yazılır?
36’nın çarpan çiftleri 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 ve 6 × 6’dır. Son çiftte iki taraf aynı sayıdır. 6’yı iki kez saymayız. Sonuç 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 olur; dokuz farklı pozitif bölen vardır.
Bu nedenle pozitif bölen sayısı tek olan sayılar tam karedir. Tam kare olmayan sayılarda bölenler farklı eşlerden oluşur ve sayı çift olur. Burada 1 de tam karedir: tek pozitif böleni 1’dir. Bu özellik, listeyi kontrol etmek için kullanışlı bir kısa yoldur.
Bölen sayısını asal çarpanlardan bulma
Liste çok uzunsa bölen sayısını ayrı bir formülle kontrol edebilirsiniz. 72 = 2³ × 3² olduğundan, herhangi bir pozitif böleninde 2’nin üssü 0, 1, 2 veya 3 olabilir. 3’ün üssü de 0, 1 veya 2 olabilir. Seçenekler bağımsız olduğundan (3 + 1) × (2 + 1) = 12 pozitif bölen bulunur.
Üslere bir eklemek, sıfırıncı kuvvet seçeneğini de saymak içindir. Sadece 3 × 2 = 6 hesaplamak yanlış olur. Bu formül, sayının asal çarpanlarına tam ayrılmış olması koşuluyla kullanılır. Aynı asal çarpanı iki farklı grup gibi yazmak sayımı bozabilir.
Bölenlerin toplamı bize ne söyler?
12’nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir. Toplamları 28 eder. Sayının kendisi hariç toplam ise 28 − 12 = 16 olur. Bu iki sonuç aynı değildir; soruda “kendisi hariç” denilip denilmediğine dikkat edin. Hesaplayıcı ikisini ayrı satırlarda gösterir.
6 için kendisi hariç pozitif bölenler 1, 2 ve 3’tür. Toplamları 6 olduğundan 6 bir mükemmel sayıdır. Bu etiket, günlük dilde bir üstünlük değerlendirmesi değil, belirli bir matematiksel eşitliğin adıdır. Bölen listesi bu tür sayı özelliklerini doğrudan incelemenize olanak verir.
Asal çarpan ile bütün bölenler aynı değildir
18’in asal çarpanları 2 ve 3’tür. Fakat bütün pozitif bölenleri 1, 2, 3, 6, 9 ve 18’dir. Bölenlerin hepsinin asal olmasını beklemeyin. Özellikle 1, her pozitif tam sayıyı böler ama asal sayı değildir. “Asal bölenler” ve “pozitif bölenler” sorularının listeleri bu yüzden farklıdır.
Araç 1 ile 10¹⁰ arasındaki pozitif tam sayıları kabul eder. Sıfırın sonlu bir pozitif bölen listesi olmadığı için sıfır desteklenmez. Negatif sayının pozitif bölenlerini incelemek için önce mutlak değerini ayrı olarak ele almak gerekir. Ondalıklı girişler sessizce yuvarlanmaz.
Listeyi nasıl doğrularsınız?
Her listedeki sayıyla başlangıç sayısını bölün; kalan sıfır olmalıdır. Sıralı listenin en küçük ve en büyük üyelerinin, sonra ikinci ve sondan ikinci üyelerinin çarpımını kontrol edin: her çift başlangıç sayısını verir. Tam karede ortadaki üye kendisiyle eşlenir. Bu iki kontrol, eksik veya yinelenen bölenleri fark etmenize yardım eder.