Asal Sayı Kontrolü: Bir Sayının Asal Olduğunu Nasıl Anlarız?

Örnekleri hesaplayıcıda deneyin

97 asal mı?

1 ve kendisi dışında pozitif bölen bulunmaz.

91 neden asal değil?

7 × 13 = 91, dolayısıyla bileşiktir.

1 asal değildir

Asallık için sayı 1’den büyük olmalıdır.

Bileşik sayıyı yakalama

917’ye tam bölünür91 = 7 × 13

Küçük sınırlar

1: asal değil2: asal4: asal değil

Asal sayının iki özel böleni

Bir asal sayı, 1’den büyük bir pozitif tam sayıdır ve yalnızca iki pozitif böleni vardır: 1 ve kendisi. Örneğin 7’yi kalansız bölen pozitif sayılar yalnızca 1 ve 7’dir. Bu yüzden 7 asaldır. 12 için aynı şeyi söyleyemeyiz; 2, 3, 4 ve 6 da 12’yi kalansız böler. 12, asal değil, bileşik sayıdır.

Tanımdaki “1’den büyük” koşulu ayrıntı gibi görünse de sonucu belirler. 1’in tek pozitif böleni vardır. 0’ın ise iki bölenle sınırlı bir yapısı yoktur. Bu nedenle 0 ve 1 asal değildir. Asal olmamak her zaman bileşik olmak da demek değildir; bileşik sayı tanımı da 1’den büyük pozitif tam sayılar için kullanılır.

Hesaplayıcı hangi bilgiyi verir?

Kontrol etmek istediğiniz tam sayıyı yazın. Araç “Asal” veya “Asal değil” sonucunu gösterir. Bileşik bir sayı için bir bölen bulduğunda, o böleni ve tamamlayıcı çarpanı da verir. Örneğin 91 için 7 ve 13 gösterilebilir. 91 = 7 × 13 eşitliği, sayının neden asal olmadığını tek başına kanıtlar.

Bu ekran bütün asal çarpanları listeleyen araçla aynı değildir. 180 sayısının asal olmadığını göstermek için 2 bölenini bulmak yeterlidir. Tam asal çarpan ayrışımı isterseniz 180 = 2² × 3² × 5 biçimini veren asal çarpan aracına geçmelisiniz. Kontrol ile ayrıştırma farklı sorulara cevap verir.

Neden sayının kareköküne kadar bakılır?

Bir sayı iki pozitif tam sayının çarpımıysa, bu çarpanlardan en az biri sayının kareköküne eşit veya küçüktür. İkisi de karekökten büyük olsaydı çarpımları başlangıç sayısını aşardı. Dolayısıyla küçük tarafta bölen bulamadığımızda, yalnızca büyük tarafta saklanmış yeni bir çarpan çifti olamaz.

97’yi düşünelim. Karekökü 9 ile 10 arasındadır. 2, 3, 5 ve 7 asal bölenlerine bakıldığında hiçbiri 97’yi kalansız bölmez. Bu, 97’nin asal olduğunu göstermeye yeter. Uygulama 2’den sonra tek bölen adaylarını dener; her adayı ayrıca asal diye etiketlemesi gerekmez.

Üç çözümlü kontrol

İlk örnek 29 olsun. 2’ye bölünmez, rakam toplamı 11 olduğu için 3’e bölünmez, sonu 0 veya 5 olmadığı için 5’e bölünmez. Karekök sınırı 5 ile 6 arasındadır. Yeni bir küçük bölen kalmadığından 29 asaldır. Kontrolün bitiş noktasını bilmek gereksiz bölme işlemlerini önler.

İkinci örnek 49’dur. Tek sayı olması asallık için yeterli değildir. 49 = 7 × 7 olduğundan 49 asal değildir. Karekök tam sayı olduğunda sınırın kendisini de denemek gerekir. 7’yi kontrol etmeden durursanız tam kareyi yanlışlıkla asal sanabilirsiniz.

Üçüncü örnek 2’dir. Pozitif bölenleri 1 ve 2 olduğu için 2 asaldır. Aynı zamanda tek çift asal sayıdır. 2’den büyük her çift sayı, kendisinden farklı bir pozitif bölen olan 2’ye bölünür. Bu nedenle diğer çift sayıların asal olma ihtimali yoktur.

Sık yapılan iki karışıklık

“Tek sayıysa asaldır” düşüncesi yanlıştır; 9, 15, 21 ve 25 bunun kolay karşı örnekleridir. “Son rakamı 1, 3, 7 veya 9 ise asaldır” demek de doğru değildir. 91’in sonu 1’dir ama 7’ye bölünür. Bölünebilme kuralları bazı sayıları hızlıca elemenizi sağlar; tek başlarına genel bir asallık kanıtı oluşturmaz.

“Aralarında asal” başka bir kavramdır. 8 ve 15’in ortak pozitif böleni yalnızca 1 olduğundan bu iki sayı aralarında asaldır; buna rağmen ikisi de tek başına asal değildir. Tek bir sayının asallığını bu araçla, iki sayının ortak bölen durumunu EBOB aracıyla inceleyin.

Girdi sınırı ve son kontrol

Araç -10¹² ile 10¹² arasındaki tam sayıları kabul eder. Negatif girişler asal olarak sınıflandırılmaz; ondalıklı değerler ise tam sayı koşulunu karşılamadığı için reddedilir. Çok büyük güvenlik anahtarları üretmek veya kriptografik asallık testi yapmak bu ekranın amacı değildir.

Bileşik sonuçta verilen iki çarpanı çarparak hesabı kontrol edebilirsiniz. Asal sonuçta ise programın desteklenen aralıktaki bölen taraması esas alınır. Böylece yalnızca bir etiket görmez, sonucun hangi matematiksel koşula dayandığını da bilirsiniz.

AKLINIZA TAKILABİLİR

20 soru, açıklamalı cevaplarıyla

011 neden asal sayı değildir?

Asal sayıların iki farklı pozitif böleni bulunmalıdır. 1’in yalnızca tek pozitif böleni vardır: 1. Bu yüzden tanımı karşılamaz. “Kendisine ve 1’e bölünüyor” cümlesini, bu iki bölenin farklı olması gerektiğini unutmadan okumak gerekir. 1 bileşik sayı da değildir; ayrı bir durumdur.

022 asal mı, çift sayılar asal olabilir mi?

2 asaldır; pozitif bölenleri 1 ve 2’dir. Diğer çift sayılar 2’ye bölündüğünden en az bir ek bölen taşır. Örneğin 6’nın 1 ve 6 dışında 2 ve 3 bölenleri vardır. Bu nedenle 2 tek çift asal sayıdır; çiftlik kuralının özel istisnası olarak hatırlanabilir.

030 asal sayı sayılır mı?

Hayır. Asallık 1’den büyük pozitif tam sayılar için tanımlanır. Ayrıca sıfır, sıfır olmayan her tam sayıya kalansız bölünebilir; iki pozitif bölenle sınırlı değildir. Hesaplayıcı sıfır için asal olmadığını söyler, fakat ona bileşik sayı etiketi vermek de doğru olmaz.

04Negatif sayılar asal olabilir mi?

Bu araçta kullanılan temel tanımda asal sayılar pozitiftir. Bu nedenle -7 için “asal değil” sonucu verilir. Mutlak değeri 7’nin asal olması, -7’yi burada asal olarak sınıflandırmaz. Daha ileri cebirde farklı terminolojiyle karşılaşabilirsiniz; bu eğitim aracının kapsamı pozitif tam sayı asallığıdır.

059 tek sayı olduğu hâlde neden asal değil?

Çünkü 9 = 3 × 3’tür. 1 ve 9 dışında 3 de pozitif bölenidir. Tek olmak sadece 2’ye bölünmediğini gösterir; diğer bölenleri ortadan kaldırmaz. 15 ve 21 gibi başka tek sayılar da bileşiktir. Kontrolde tekliğin ardından diğer uygun bölenlere bakılmalıdır.

0691’in asal olmadığını en kolay nasıl görürüm?

7 × 13 = 91 eşitliği yeterlidir. 7 ve 13, 1 ile 91’den farklı pozitif bölenlerdir. Son rakamının 1 olması veya küçük birkaç sayıya bölünmemesi asallığı garanti etmez. Hesaplayıcının bulduğu böleni tamamlayıcı çarpanla çarparak sonucu kolayca doğrulayabilirsiniz.

07Karekök sınırında eşitlik neden dahil edilir?

Tam karelerde iki eş çarpan tam olarak karekök değerindedir. Örneğin 121 = 11 × 11’dir. Sadece 11’den küçük adayları deneyip durursanız 121’i yanlışlıkla asal sayabilirsiniz. Bu nedenle deneme koşulu adayın karesi sayıya küçük veya eşit olacak biçimde kurulur.

0897’nin asal olduğunu hesap makinesi olmadan kanıtlayabilir miyim?

Evet. Karekökü 10’dan küçüktür; bu sınırın altındaki asal adaylar 2, 3, 5 ve 7’dir. Hiçbiri 97’yi kalansız bölmez. Çarpanlardan en az biri karekök sınırının altında olmak zorunda olduğundan başka çarpan çifti kalmaz. Böylece yalnızca deneme sonucu değil, neden yeterli olduğuna ilişkin kanıt da elde edilir.

09Sonu 5 ile biten bütün sayılar asal değil midir?

5’in kendisi asaldır. 5’ten büyük ve sonu 5 olan pozitif tam sayılar ise 5’e bölünür; bu yüzden asal değildir. 15 = 3 × 5 ve 35 = 7 × 5 buna örnektir. Bölünebilme kuralını kullanırken bölenin kendisini özel durum olarak ayırmak gerekir.

10Rakamları toplamı 3’e bölünüyorsa ne anlarım?

Sayının kendisi de 3’e bölünür. Sayı 3’ten büyükse bu durum asal olmadığını gösterir. Örneğin 123’ün rakamları toplamı 6’dır; 123 = 3 × 41 olur. Ancak rakamları toplamının 3’e bölünmemesi, sayının asal olduğunu kanıtlamaz; başka bölenleri olabilir.

11Asal sayı kontrolü ile asal çarpanlara ayırma aynı mı?

Hayır. Kontrol, “asal mı?” sorusunu yanıtlar ve bileşik sayı için bir bölen bulması yeterlidir. Asal çarpanlara ayırma ise sayının bütün asal bileşenlerini ve tekrar sayılarını çıkarır. Örneğin 72’nin bileşik olduğunu 2 böleni gösterir; tam ayrışımı 2³ × 3²’dir.

12Aralarında asal iki sayı mutlaka asal mı olmalıdır?

Hayır. 8 ve 15’in EBOB’u 1’dir; bu yüzden aralarında asaldırlar. Fakat 8, 2’ye; 15, 3 ve 5’e bölünür. İki sayının ortak böleniyle tek bir sayının bütün bölenleri farklı konulardır. Aralarında asallık için EBOB sonucuna bakmanız gerekir.

13Ondalıklı bir sayı neden kabul edilmiyor?

Bu araç tam sayılar üzerinde asallık tanımını uygular. 7,5 gibi bir sayı bu tanımın alanında değildir. Onu yuvarlayıp 8 veya 7 yapmak, başka bir sayıyı kontrol etmek anlamına gelir. Girdi bu nedenle sessizce yuvarlanmaz; tam sayı yazmanız istenir.

14100’den küçük en büyük asal sayı hangisidir?

97’dir. Sonraki sayılardan 98 çift, 99 ise 9 × 11’dir. 97’nin asallığı da karekök sınırının altındaki 2, 3, 5 ve 7 bölenlerinin elenmesiyle doğrulanır. Araç tek bir sayıyı kontrol eder; bir aralıktaki bütün asalları otomatik listelemez.

15Sayının karekökü tam sayıysa asal olabilir mi?

1’den büyük bir tam karenin karekökü de 1’den büyük bir tam sayıdır ve sayıyı böler. Bu yüzden böyle bir tam kare asal değildir. 4, 9, 25 ve 49 buna örnektir. 1 de asal değildir; ancak bunun nedeni tek pozitif böleninin bulunmasıdır.

16Araç kaç basamağa kadar çalışıyor?

Üst sınır 10¹²’dir; sayı bu değeri aşmamalıdır. Bu sınır içindeki tam sayılar bölen denemesiyle kontrol edilir. Daha büyük sayılarda farklı algoritmalar ve kullanım koşulları gerekebilir. Desteklenmeyen değerin reddedilmesi, sayının asal olmadığı anlamına gelmez; yalnızca bu aracın kapsamı dışındadır.

17Büyük bir sayıda işlemin daha uzun sürmesi normal mi?

Evet. Özellikle büyük bir asal sayı için küçük bölen bulunamadığından tarama karekök sınırına kadar ilerler. Küçük bir böleni olan büyük bileşik sayı daha erken sonuçlanabilir. Dolayısıyla hesap süresini sadece basamak sayısı belirlemez. Araç, bu davranışı sınırlamak için bir üst girdi sınırı uygular.

18Bulunan bölen neden sayının bütün çarpanlarını göstermiyor?

Asal olmadığını kanıtlamak için bir çarpan çifti yeterlidir. Örneğin 60 için 2 ve 30 gösterildiğinde sonuç zaten kesinleşir; 3, 4, 5 ve diğer bölenleri aramak bu sorunun cevabını değiştirmez. Bütün pozitif bölenleri görmek için sayının bölenleri aracını açın.

19Bu araç şifreleme için büyük asal sayı üretir mi?

Hayır. Kullanıcının verdiği sınırlı büyüklükteki tam sayıyı kontrol eder; güvenli anahtar üretimi, rastgele asal seçimi veya kriptografik kullanım sertifikası sunmaz. Eğitim ve sıradan matematik işlemleri için tasarlanmıştır. Güvenlik amacıyla üretilen sayılar özel standartlara uygun sistemlerde ele alınmalıdır.

20Asal sonucunu yanlış yazılmış girişten ayırmak için neye bakmalıyım?

Önce girdiğiniz tam sayıyı kontrol edin. Özellikle binlik nokta, eksi işareti veya eksik rakam başka bir değere yol açabilir. Asal olmayan sayı için çarpanları çarpmak pratik doğrulamadır. Asal sayı için de küçük bölenleri ve karekök sınırını gözden geçirmek yazım hatasını yakalamanıza yardımcı olur.

Kaynaklar ve yöntem

Açıklamalar ve örnekler bu sayfa için hazırlanmıştır. Kaynak bağlantıları yöntemi incelemeniz içindir; bağlantı verilmesi, hesabınıza veya işleminize özel koşulların doğrulandığı anlamına gelmez. Bu hesabın yöntemi sayfada gösterilen matematik bağıntısına dayanır.