Matris çarpımında ilk kontrol sayılar değil, tablonun boyutudur. A matrisinin kaç sütunu olduğunu, B matrisinin kaç satırı olduğunu sayın. Bu iki sayı eşitse A × B hesaplanabilir. Sonuçta A kadar satır, B kadar sütun bulunur. Hesaplamak.Net üzerindeki araç bu kontrolü yapar, her hücreyi ayrı hesaplar ve ürün tablosunu gösterir. Ana sonuçtaki “2 × 2” ifadesi dört hücreli bir tabloyu anlatır; hücrelerin sayısal sonuçları hemen altındaki tablodadır.

Bu sayfada A × B, alışılmış satır-sütun çarpımıdır. Aynı konumdaki hücreleri birbirleriyle çarpma işlemi farklı bir tanımdır. Ayrıca iki tabloyu yer değiştirerek B × A hesaplamak aynı soruya cevap vermez. Sıra, hem işlemin tanımlı olup olmadığını hem de sonuçları değiştirebilir. Formu doldururken yalnız sayıları değil, hangi tablonun önce geldiğini de kontrol etmek bu nedenle gereklidir.

Matrisleri forma nasıl yazmalısınız?

Bir matrisin her satırını metin alanında ayrı satıra yazın. Aynı satırdaki hücreleri noktalı virgülle ayırın. Örneğin A alanına “1; 2” yazıp alt satıra “3; 4” yazdığınızda iki satır ve iki sütun oluşturursunuz. Boşlukla ayrılmış sayılar da okunur. Ancak ondalık sayı ve kalabalık satırlarda noktalı virgül, hücre sınırlarını daha kolay fark etmenizi sağlar. Her satırda aynı sayıda hücre bulunmalıdır; eksik bir hücre otomatik olarak sıfır kabul edilmez.

Virgül veya nokta ondalık ayırıcı olarak kullanılabilir. Bu araçta “1,25” ve “1.25” aynı sayıdır. Binlik ayırıcı kullanmayın: bin iki yüz otuz dört için “1234” yazın. “1.234” burada bir virgül iki yüz otuz dört anlamına gelir. Böyle bir matris başka bir tablodan geldiğinde noktanın neyi temsil ettiğini önceden kontrol edin. Ondalık virgül hücre ayırıcı değildir; “1,2” tek sayı, “1; 2” iki hücredir.

Her hücrede tam sayı veya en çok on iki ondalık basamaklı sonlu sayı kullanabilirsiniz. Kesir işareti, değişken, para birimi, yüzde işareti, devirli ondalık ve bilimsel gösterim kabul edilmez. Örneğin bir bölü dört için “0,25” yazılabilir; üçte birin sınırlı basamakla yazılmış karşılığı ise tam üçte bir değildir. Araç yalnız yazdığınız sonlu ondalığı hesaplar. Girişin yaklaşık olması, sonraki aritmetiğin kesin yapılmasıyla ortadan kalkmaz.

Boyutları okuyun, ardından sayıları kontrol edin

Boyut yazımında önce satır, sonra sütun gelir. İki satır ve üç sütunlu A matrisi 2 × 3 boyutundadır. Üç satır ve tek sütunlu B matrisi 3 × 1 boyutundadır. Bu iki matris için içteki üçler eşleşir; sonuç dıştaki boyutlarla 2 × 1 olur. Formdaki boyut özetleri, kopyalanan sayıların beklediğiniz yere yerleşip yerleşmediğini görmenize yardımcı olur.

A matrisi 2 × 3, B matrisi 2 × 1 ise A × B tanımlı değildir. Çünkü A'nın her satırında üç sayı, B'nin her sütununda iki sayı vardır; eşleşmeler tamamlanamaz. Araç bu durumda B alanını işaretler ve beklenen satır sayısını bildirir. Çözüm her zaman B'ye gelişigüzel sıfır eklemek değildir. Önce kaynak tablodaki eksik satırı veya yanlış yönü bulun; verinin anlamını değiştiren bir düzeltme yapmayın.

İki matrisin aynı boyutta olması da tek başına yeterli değildir. İki adet 2 × 3 matrisi birbiriyle bu sırada çarpamazsınız: iç boyutlar üç ve ikidir. Buna karşılık 2 × 2 iki matrisin iç boyutları eşleşir. Kare olma zorunluluğu yoktur; dikdörtgen matrisler de koşulu sağladıklarında çarpılır. Gerekli kontrol yalnız “tablolar birbirine benziyor mu” değil, “ilk tablonun sütunları ikinci tablonun satırlarıyla eşleşiyor mu” sorusudur.

Her hücreyi satır ve sütun eşleşmesiyle hesaplayın

C = A × B sonucunda C'nin birinci satır, birinci sütun hücresini bulmak için A'nın birinci satırını ve B'nin birinci sütununu alın. Bu iki dizinin ilk sayılarını çarpın, ikinci sayılarını çarpın ve kalan eşleşmelerle devam edin. Elde edilen çarpımları toplayın. Her çıktı hücresi için aynı yöntem uygulanır; yalnız seçtiğiniz A satırı ve B sütunu değişir.

Formdaki başlangıç örneğinde A satırları 1; 2 ve 3; 4, B satırları 5; 6 ve 7; 8 şeklindedir. C'nin ilk hücresi 1 × 5 + 2 × 7 = 19 olur. Aynı A satırı ile B'nin ikinci sütunu kullanıldığında 1 × 6 + 2 × 8 = 22 bulunur. İkinci A satırından ise 3 × 5 + 4 × 7 = 43 ve 3 × 6 + 4 × 8 = 50 çıkar. Ürün tablosunun ilk satırı 19; 22, ikinci satırı 43; 50'dir.

“Hesabı adım adım inceleyin” bölümünde her C hücresinin eşleşmeleri görünür. Köşeli parantezdeki ilk sayı satır, ikinci sayı sütundur. C[2,1] yazımı ikinci satırın birinci sütununu anlatır. Parantez içindeki negatif sayıları kendi işaretleriyle çarpın. Örneğin (−2) × (−3) pozitif altıdır; (−2) × 3 negatif altıdır. Hücreler arasındaki toplama işareti, çarpımların kendi negatif işaretlerini ortadan kaldırmaz.

Kesin tablo neyi korur?

Araç sonlu ondalıkları hesap sırasında tam pay ve payda olarak ele alır. Bu nedenle kabul edilen hücrelerde ondalık çarpımlar ve toplamlar yuvarlanmaz. Sonuç da sonlu ondalıktır. Kesin gösterim seçildiğinde hücre bütün gerekli basamaklarıyla görünür; gereksiz sondaki sıfırlar yazılmaz. Örneğin 0,100 ile 0,1 aynı sayıyı temsil eder ve sonuç hesabında aynı davranır.

A alanına “0,1; 0,2”, B alanına ayrı satırlarda “0,2” ve “1,2” yazın. İlk çarpım 0,02, ikinci çarpım 0,24 olur. Toplam tam olarak 0,26'dır. Bu küçük örnek, hangi sayının hangi sütundan alındığını ve ondalık ayırıcının hücre sınırı sayılmadığını aynı anda kontrol eder. Sonucu yeniden başka bir hesapta kullanacaksanız kesin tablodaki değeri alın; yaklaşık gösterimin basamak sayısını veri hassasiyetiyle karıştırmayın.

Kesin hesap ölçüm doğruluğu hakkında yeni bir iddia oluşturmaz. Bir uzunluğu 0,33 diye yazdıysanız araç tam 0,33 sayısını kullanır; ölçümün aslında 0,3334 olup olmadığını bilemez. Bir hücredeki yanlış sayıyı doğru aritmetikle çarpmak, anlam olarak yine yanlış sonuç üretir. Bu nedenle sayıların işaretleri, birimleri, sıraları ve kaynaklarının aynı tanımları kullandığı kontrol edilmelidir.

Büyük çarpımların birbirini götürdüğü örnek

A için tek satıra “1000000000; 1; -1000000000” yazın. B için üç ayrı satıra sırasıyla “1000000000”, “1” ve “1000000000” yazın. Boyutlar 1 × 3 ile 3 × 1'dir; sonuç tek hücreli 1 × 1 matristir. Bu hücrede 1000000000000000000 + 1 − 1000000000000000000 hesaplanır ve tam sonuç 1 olur.

Bu örnekte birinci ve üçüncü çarpım çok büyüktür; aralarındaki küçük bir, çıktı için belirleyicidir. Araç her çarpımı ve toplamı tam sayısal oranla tuttuğundan bu bir kaybolmaz. Sonuç tablosunda 1 görmek, aritmetiğin beklenen iptal davranışını doğrular. Yine de yalnız bu örneğin geçmesi bütün verilerin doğru girildiği anlamına gelmez. Kendi matrisinizde farklı işaretli büyük hücreler varsa hesap adımlarındaki eşleşmeleri ayrıca okuyun.

Yaklaşık gösterimi ne zaman seçmelisiniz?

Kesin sonucun çok uzun göründüğü veya tabloyu ilk bakışta karşılaştırmak istediğiniz durumlarda “Yaklaşık · 12 anlamlı basamak” seçeneği kullanılabilir. Her hücre ≈ işaretiyle görünür. Bu işaret, ekrandaki metnin yuvarlanmış bir gösterim olduğunu bildirir. Tam yarım basamakta sayı büyüklüğü yukarı yuvarlanır; pozitif ve negatif sonuçlar aynı büyüklük kuralını izler. Hesap aynı kesin ürün üzerinden yapılır; yalnız tablonun okunacak biçimi değişir. Adım bölümündeki eşitlikler kesin sonuçları korur.

Anlamlı basamak sayısı virgülden sonraki basamak sayısıyla aynı değildir. 123456789012345 gibi bir sonuç ile 0,000000123456789012345 gibi bir sonuçta on iki anlamlı basamak farklı ondalık yerlere ulaşır. Çok büyük veya küçük hücreler bilimsel biçimde “× 10^” ile gösterilebilir. Bu çıktı biçimi, giriş alanında bilimsel yazımın kabul edildiği anlamına gelmez. Girişler normal tam sayı veya sonlu ondalık olarak yazılmalıdır.

Yaklaşık tabloyu tekrar giriş olarak kopyalayacaksanız ≈ işaretini ve varsa üs ifadesini doğrudan yapıştırmayın. Kesin adımda görünen normal ondalığı kullanın. Yuvarlanmış bir değerle devam ederseniz ikinci hesap, özgün ürün yerine bu yeni değeri kullanır. Özellikle küçük farkların önemli olduğu örneklerde bu tercih sonraki sonucu değiştirebilir. Kısa bir sunum için yaklaşık görünüm yararlı olabilir; yeni bir aritmetik aşaması için basamakları bilinçli koruyun.

A × B ile B × A'yı karşılaştırın

Başlangıçtaki iki kare matrisi yer değiştirirseniz B × A tablosunun ilk satırı 23; 34, ikinci satırı 31; 46 olur. A × B sonucundaki 19; 22 ve 43; 50 ile eşleşmez. Her iki işlem tanımlıdır ve aynı boyuttadır, ancak değerleri farklıdır. Bu sayıları kendi hesabınızda ayrı ayrı çalıştırmak, çarpım sırasının yalnız etiketlerden ibaret olmadığını gösterir.

Dikdörtgen örnekte fark boyutta da görülebilir. A tek satırlı 1 × 3, B tek sütunlu 3 × 1 ise A × B tek hücrelidir. B × A ise üç satır ve üç sütun oluşturur. Birinci hesap üç çarpımı tek hücrede toplar; ikinci hesap her satır-sütun eşleşmesini ayrı hücreye koyar. Sorununuz hangi sonucu istiyorsa formu o sıraya göre doldurun. Araç otomatik olarak transpoz almaz veya sıralamayı düzeltmez.

Birim, sıfır ve işaret kontrolleri

Küçük bir matrisin girişini kontrol etmek için uygun boyutlu birim matrisle çarpım yararlı olabilir. Birim matrisin ana köşegeninde bir, diğer hücrelerinde sıfır bulunur. İki sütunlu A'yı sağdan 2 × 2 birim matrisle çarptığınızda A'nın aynı hücrelerini elde edersiniz. Bu kontrol, satırların kaydığını veya iki sütunun yer değiştirdiğini fark etmenize yardımcı olur. Ancak yanlış veri aynı sırayla korunacağı için kaynak sayılar yine ayrıca kontrol edilmelidir.

Uyumlu boyutlu bir sıfır matrisle çarpımın bütün çıktı hücreleri sıfırdır. Bunun tersi zorunlu değildir: sıfır çıktı görmek iki girişten birinin tamamen sıfır olduğunu kanıtlamaz. Pozitif ve negatif eşleşmeler birbirini götürebilir. Örneğin “1; -1” satırı ile “1” ve “1” sütunu sıfır verir. Bu örnekte girişlerde sıfır yoktur. Beklenmedik sıfır gördüğünüzde önce adımların toplamını okuyun.

Hata mesajlarını kullanarak girişinizi düzeltin

Boş hücre, düzensiz satır ve geçersiz sayı durumlarında ilgili A veya B alanı işaretlenir. Hücreyle ilgili mesajlarda satır ve sütun konumu da belirtilir. “1;;2” yazımı arada eksik bir hücre içerir; “1;0;2” ise üç gerçek hücre içerir. Matrisin başındaki ve sonundaki boşluklar temizlenir, fakat iki dolu satır arasındaki boş satır sessizce atlanmaz. Böylece yanlışlıkla kaybolmuş bir kaynak satırı fark edebilirsiniz.

Araç her matris için bir ile altı arasında satır ve sütun kabul eder. Her hücrenin mutlak değeri en çok 1000000000000000 olabilir; buna eşit girişler kabul edilir, daha büyükleri reddedilir. On iki basamaklı ondalık sınırı da girişte kontrol edilir. Daha büyük bir tabloyu parçalara bölmek ancak işlemin matematiksel yapısını koruyorsanız anlamlıdır. Burada karmaşık sayılar, sembolik değişkenler, ters matris, determinant veya denklem çözümü hesaplanmaz.

Sonucu saklama ve paylaşma

Tabloyu paylaşmadan önce giriş sırasını, A ve B boyutlarını, hücre gösterimini ve sonucu birlikte kontrol edin. Ekran görüntüsü bu bilgileri aynı görselde tutmanıza yardımcı olur. Başka birine yalnız “2 × 2” sonucunu iletmek yeterli değildir; bu ifade boyuttur, ürünün dört hücresi değildir. Kopyaladığınız veya indirdiğiniz çıktı tablosunun bütün satırlarını içerdiğini özellikle uzun sonuçlarda kontrol edin.

Paylaşım bağlantısı hesaplama sayfasını açar; sizin matris hücreleriniz bağlantıya kendiliğinden eklenmez. Sitenize ekleme seçeneği de ziyaretçinin kendi sayılarıyla çalışacağı aracı sunar. Belirli bir hesabı aktarmak istiyorsanız tabloyu veya ekran görüntüsünü ayrıca kullanın. Son kontrolde bir hücreyi elle hesaplayıp tablodaki konumuyla eşleştirmek, hem veri aktarımını hem de A × B sırasını gözden geçirmek için kısa ve somut bir yöntemdir.