Sayılar tablosundan tek bir sayıya
Matris, sayıları satır ve sütunlarda düzenleme biçimidir. Determinant ise her matrisin değil, satır ve sütun sayısı aynı olan kare matrisin elemanlarından hesaplanan tek bir sayıdır. İki satırlı, iki sütunlu tabloya 2 × 2 matris denir. Üç satır ve iki sütun varsa tablo yine matristir, fakat burada kullanılan anlamıyla determinantı yoktur. İlk kontrolünüz bu nedenle sayılardan önce tablonun boyutu olmalıdır.
Determinantı bir matrisin elemanlarının toplamı gibi düşünmeyin. Elemanların yerleri ve işaretleri önemlidir. Aynı sayıların iki farklı yerleşimi, farklı determinantlar verebilir. Bu sayfa, sonucu bulmanın yanında neden sıfır çıktığını, negatif sonucun nasıl okunacağını ve ondalık girişlerde hangi değerin gerçekten hesaplandığını açıklar. Araç 1 × 1 ile 6 × 6 arasındaki kare matrisleri destekler; sembolik harfler yerine sayısal elemanlar ister.
Matrisi forma doğru yazın
Her satırı ayrı bir metin satırına, aynı satırdaki sütunları noktalı virgülle yazın. Örneğin ilk satıra 2; 1, ikinci satıra 3; 4 girmek şu tabloyu tanımlar:
| Satır | Birinci sütun | İkinci sütun |
|---|---|---|
| Birinci | 2 | 1 |
| İkinci | 3 | 4 |
Bu yerleşimde 2 sol üstte, 4 sağ alttadır. Satır sonunu yanlış yerde kullanmak matrisi değiştirebilir veya kare olmayan bir giriş oluşturabilir. Ondalıklar için virgül kullanmak en açık seçenektir: 0,5; 0 gibi. Binlik ayırıcı kullanmayın. 1.234 gösterimi farklı yazım alışkanlıklarında farklı anlamlara geldiğinden reddedilir; bin iki yüz otuz dört için 1234 yazın.
İkiye iki determinantı adım adım bulun
Birinci satırı a, b; ikinci satırı c, d olan matrisin determinantı a × d − b × c şeklinde hesaplanır. Önce sol üst ile sağ alt çarpılır. Sonra sağ üst ile sol alt çarpılır. İkinci çarpım birinciden çıkarılır. Bu sıra önemlidir; çarpımları ters sırayla çıkarmak doğru sonucun negatifini verir.
Örneğimizde ilk çarpım 2 × 4 = 8, ikinci çarpım 1 × 3 = 3 olur. Dolayısıyla determinant 8 − 3 = 5 çıkar. Araçta bu örneği yüklediğinizde ana sonuç 5 olmalıdır. Ayrıca boyut 2 × 2 ve iz 6 olarak görülebilir. İz, ana köşegendeki 2 ile 4'ün toplamıdır; determinanttan farklı bir büyüklüktür.
Negatif elemanlarda çıkarma işaretine dikkat edin
İlk satırı 4, −2; ikinci satırı 1, 3 olan bir matris düşünün. İlk çarpım 4 × 3 = 12 olur. İkinci çarpım −2 × 1 = −2'dir. Determinant 12 − (−2) = 14 çıkar. Burada iki çarpımın toplamını almak gibi görünen sonuç, aslında negatif bir sayıyı çıkarmamızdan kaynaklanır.
Hata yapmamak için ikinci çarpımı parantez içinde yazın. 12 − −2 ifadesi zihinden hızlı okunurken kolayca 10 sanılabilir. Birinci köşegenin çarpımını ve ikinci köşegenin çarpımını ayrı hesaplayıp sonra çıkarmak, özellikle negatif elemanların yoğun olduğu matrislerde kontrolü kolaylaştırır. Negatif matris elemanları başlı başına geçersiz değildir; form bunları kabul eder.
Üçe üç örneği küçük determinantlara ayırın
Aşağıdaki matrisi ele alalım. İlk satırdaki sıfır, açılımda bir terimi doğrudan ortadan kaldıracağı için hesabı kolaylaştırır.
| Satır | Birinci sütun | İkinci sütun | Üçüncü sütun |
|---|---|---|---|
| Birinci | 1 | 2 | 0 |
| İkinci | 0 | 3 | 1 |
| Üçüncü | 2 | 0 | 4 |
İlk satırdan açılım yapıldığında işaret sırası artı, eksi, artıdır. Birinci eleman için onun satırını ve sütununu sileriz; geriye 3, 1 ve 0, 4 elemanları kalır. Bu küçük determinant 3 × 4 − 1 × 0 = 12'dir. İlk katkı 1 × 12 = 12 olur.
İkinci elemanın satırını ve sütununu silince 0, 1 ve 2, 4 kalır. Küçük determinant 0 × 4 − 1 × 2 = −2'dir. İkinci katkı, açılımın eksi işareti nedeniyle −2 × (−2) = 4 olur. Üçüncü eleman sıfır olduğu için katkısı sıfırdır. Toplam 12 + 4 + 0 = 16 bulunur.
Minör ile kofaktörü birbirine karıştırmayın
Bir elemanın satır ve sütunu silindikten sonra kalan küçük matrisin determinantına minör denir. Kofaktör, bu minöre konumun gerektirdiği işaretin uygulanmış hâlidir. Birinci satırda işaretler artı, eksi, artı diye ilerler; sonraki satırda eksi, artı, eksi olur. İşaret deseni bir satranç tahtası gibi dönüşümlüdür.
Önceki örnekte ikinci elemanın minörü −2, kofaktörü ise +2'dir. Elemanın kendisi 2 olduğundan açılıma katkısı 4 çıkar. Bütün işaretleri tek adımda zihinden geçirmek yerine “minör, kofaktör, elemanla çarpım” sırasını kullanmak hatayı azaltır. Bu kavramlar daha büyük boyutlarda da geçerlidir; yalnızca hesaplanan küçük matrislerin boyutu büyür.
Sıfır determinantı nasıl yorumlamalısınız?
İlk satırı 1, 2; ikinci satırı 2, 4 olan matrisin determinantı 1 × 4 − 2 × 2 = 0 olur. İkinci satır birincinin iki katıdır. Dolayısıyla ikinci satır, bu katsayı düzeninde yeni ve bağımsız bir yön eklemez. Bir satırın tamamı sıfır olduğunda veya iki satır aynı olduğunda da determinant sıfır çıkar.
Fakat “determinant sıfırsa denklemin çözümü yoktur” sonucu tek başına doğru değildir. Aynı katsayı matrisiyle x + 2y = 3 ve 2x + 4y = 6 denklemleri sonsuz sayıda ortak çözüm taşır. İkinci denklemin sağ tarafı 7 olursa bu kez çelişki oluşur ve çözüm yoktur. Katsayı determinantı her iki durumda da sıfırdır; ayrım için sağ taraflar da incelenmelidir.
Sıfır olmayan determinant ne sağlar?
Kare bir matrisin determinantı sıfır değilse matris tersinirdir. Böyle bir katsayı matrisiyle kurulan, aynı sayıda denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal sistemin her sağ taraf için tek çözümü vardır. Örneğin 2x + y = 5 ve 3x + 4y = 10 sisteminin katsayı determinantı 5'tir. x = 2 ve y = 1 değerlerini yerine yazarsanız iki eşitlik de sağlanır.
Determinant hesaplayıcı bu örnekte yalnızca katsayılardan 5 sonucunu üretir. x ve y değerlerini kendiliğinden hesapladığını varsaymayın; bunun için doğrusal denklem aracını kullanın. Benzer şekilde determinantı bilmek, ters matrisin bütün elemanlarını ekranda göreceğiniz anlamına gelmez. Bir hesaplamanın yapılabilirliğini göstermekle o hesabın tamamını yapmak farklı işlerdir.
Negatif sonuç bir hesap hatası değildir
İlk satırı 1, 2; ikinci satırı 3, 4 olan matrisin determinantı −2'dir. İşlemi tekrar yaparsanız 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2 bulursunuz. Negatiflik geçersiz matris veya negatif alan anlamına gelmez. Determinant, doğrusal dönüşüm bağlamında büyüklükle birlikte yön bilgisini de taşır.
İki boyutlu bir dönüşümde alan ölçeği determinantın mutlak değeriyle ilişkilidir. Bu örnekte ölçek 2, işaret ise yönün ters çevrildiğini söyler. Alan sorusunda doğrudan −2 metrekare yazmak yanlış olur; ilgili geometrik kurulumda mutlak değer alınır. Araç genel determinant verdiği için işareti korur, belirli bir alan problemini çözüyormuş gibi kaldırmaz.
Satır işlemleriyle sonucunuzu sınayın
Örneğimizde determinant 5 iken iki satırı yer değiştirin. Yeni matrisin ilk satırı 3, 4; ikinci satırı 2, 1 olur. Hesap 3 × 1 − 4 × 2 = −5 çıkar. Yalnızca iki satırı takas etmek determinantın işaretini değiştirir. İki ayrı takas yapıldığında işaret tekrar başlangıçtaki duruma dönebilir.
Bir satırı 3 ile çarpmak determinantı da 3 ile çarpar. Buna karşılık bir satıra diğer satırın katını eklemek determinantı değiştirmez. Bu özellikleri aynı işlemmiş gibi kullanmayın. Özellikle satır sadeleştirirken dışarı alınan çarpanları kaydetmek gerekir. Matrisin bütün elemanlarını k ile çarparsanız n × n boyutunda toplam etki k üzeri n olur; yalnızca k değildir.
Üçgensel matrislerde kısa kontrol
Ana köşegenin altında veya üstünde kalan elemanların tamamı sıfırsa üçgensel bir matris vardır. Bu durumda determinant ana köşegen elemanlarının çarpımıdır. Köşegeni 2, −3 ve 4 olan 3 × 3 üçgensel matrisin determinantı 2 × (−3) × 4 = −24 olur. Diğer izin verilen taraftaki elemanlar bu çarpımı değiştirmez.
Birim matriste köşegen elemanları 1, diğerleri 0 olduğundan determinant 1'dir. Bu kolay örnekler formun satır düzenini kontrol etmek için yararlıdır. Ancak her matriste yalnızca köşegeni çarpmak doğru değildir. Yukarıdaki 2 × 2 örnekte köşegen çarpımı 8 iken determinant 5'tir; çapraz terimin etkisi unutulamaz.
Ondalıklı sayılar ve tam sonuç
Köşegeninde 0,5 ve 0,25 bulunan, diğer elemanları sıfır olan matrisin determinantı 0,125'tir. Aynı değer tam kesir biçiminde 1/8 olarak yazılır. Araç sonlu ondalık girişleri önce tam kesre dönüştürdüğü için ana sonuçta 1/8 görebilirsiniz. Yaklaşık ondalık gösterim ayrıca verilir; iki gösterim çelişmez.
Bu kesinlik yalnızca yazdığınız sayı için geçerlidir. Gerçekte 1/3 olan bir katsayıyı 0,333 olarak girdiyseniz hesap 333/1000 üzerinden yapılır. Ölçüm belirsizliğini veya eksik yazdığınız basamakları bilgisayar geri getiremez. Aynı nedenle neredeyse bağımlı satırlarda küçük bir veri değişikliğinin önemli sonuçlar doğurabileceğini unutmayın; tam aritmetik, ölçümün doğruluğunu garanti etmez.
Bu sürümün sınırları ve son kontrol
Araç en fazla altı satır ve altı sütun, eleman başına mutlak değerce bir milyar ve en fazla on iki ondalık basamak destekler. Kesirleri 1/3 biçiminde, karmaşık sayıları veya x gibi sembolleri doğrudan kabul etmez. Hesap çekirdeği tam sayı tabanlı bir eliminasyon yöntemi kullanır; bütün ara eliminasyon tablolarını öğretim ekranı olarak üretmez. Bu rehberdeki küçük örnekler işlemin mantığını ayrıca gösterir.
Sonucu kullanmadan önce matrisin kareliğini, satır sırasını, eksi işaretlerini ve ondalık yazımını kontrol edin. Determinant sıfırsa bunun hangi soruyu cevapladığını yeniden düşünün. Denklem çözümü, ters matris veya geometrik alan için ek bilgi gerekebilir. Böylece tek sayıyı doğru hesaplarken o sayıya taşımadığı bir anlam yüklememiş olursunuz.
Denklem örneğinde determinant oranlarını kontrol edin
Yukarıdaki 2x + y = 5 ve 3x + 4y = 10 örneğinde katsayı determinantını 5 bulmuştuk. x için ilk sütunu denklemlerin sağ taraflarıyla değiştirin. Yeni satırlar 5, 1 ve 10, 4 olur. Bu matrisin determinantı 5 × 4 − 1 × 10 = 10'dur. Onu başlangıç determinantına böldüğünüzde x = 10/5 = 2 elde edersiniz.
y için bu kez ikinci sütunu değiştirin. Yeni satırlar 2, 5 ve 3, 10 olur. Determinant 2 × 10 − 5 × 3 = 5 çıkar; y = 5/5 = 1 bulunur. İki farklı sütunun ayrı ayrı değiştirilmesi önemlidir. İkisini aynı anda değiştirip elde ettiğiniz sayıyı kullanmak bu yöntem değildir. Başlangıç determinantı sıfır olsaydı bu oranlar sıfıra bölme içerirdi; yöntemle tek çözüm bulunamazdı.
Determinantlar toplama gibi davranmaz
İki matrisin determinantlarını toplamak, toplam matrisin determinantını genel olarak vermez. İkiye iki birim matrisin determinantı 1'dir. İki birim matrisi topladığınızda köşegeninde 2 bulunan matris oluşur ve determinant 4 olur. Oysa başlangıç determinantlarının toplamı yalnızca 2'dir. Bu küçük örnek, elemanlarla yapılan işlemi sonuç sayısına aynı biçimde uygulamanın neden güvenilir olmadığını gösterir.
Matrisleri toplamanız isteniyorsa önce karşılıklı elemanları toplayıp yeni matrisi oluşturun, sonra determinantı hesaplayın. Aynı uyarı elemanları tek tek değiştirdiğiniz diğer işlemler için de geçerlidir. Bir sonucu kısaltarak kontrol etmeye çalışırken kullandığınız özelliğin gerçekten o işleme ait olduğundan emin olun. Satır takası, satır çarpımı ve matris toplamı birbirinden farklı dönüşümlerdir.