Bir cismin başlangıç sürati, atıldığı açı ve yerçekimi ivmesi birlikte hareketin nasıl gelişeceğini belirler. Daha dik atmak her zaman daha uzağa götürmez. Süratin yatay bileşeni ilerlemeyi, düşey bileşeni ise yükselme ve aynı seviyeye dönme süresini belirler. Eğik atış hesabının temel fikri, bu iki hareketi aynı zaman içinde birlikte incelemektir.
Bu hesaplayıcı üç bilgi kullanır: ilk sürat, yatayla yapılan atış açısı ve sabit yerçekimi ivmesi. Sonuçta yatay menzil, toplam uçuş süresi ve başlangıç seviyesinden ulaşılan en büyük yükseklik gösterilir. Modelde cisim başladığı seviyeye geri iner; hava direnci, rüzgâr ve dönme etkileri bulunmaz. Başlangıç yüksekliği veya farklı iniş yüksekliği için ayrı alan yoktur. Sonucu okumadan önce sorunuzun bu koşullara uyup uymadığını belirleyin.
Aynı seviyeye dönüş ne anlama gelir?
Başlangıç noktasının yüksekliği hesapta referans kabul edilir. Cisim yukarı çıktıktan sonra yeniden bu yüksekliğe ulaştığında uçuş tamamlanmış sayılır. Bu referansın gerçek dünyada deniz seviyesinden kaç metre yukarıda olduğu temel hesabı değiştirmez; önemli olan başlangıç ve bitişin aynı düşey seviyede bulunmasıdır. Örneğin aynı yükseklikteki iki nokta arasındaki ideal hareket bu koşulu sağlayabilir.
Bir masanın üzerinden daha alçaktaki zemine atış yapmak farklı bir sorudur. Orada cisim başlangıç seviyesine döndüğünde henüz zemine ulaşmamıştır. Bu formun verdiği süreyi doğrudan zemine çarpma süresi diye kullanamazsınız. Benzer şekilde daha yüksek bir noktaya ulaşma süresi de ayrı bir düşey konum denklemi gerektirir. Araçta olmayan başlangıç yüksekliğini atış açısına veya yerçekimine eklemek, eksik koşulu tamamlamaz.
İlk sürat ile hız bileşenlerini ayırın
İlk sürat, başlangıç hızının büyüklüğüdür ve m/s ile yazılır. Yatay bileşen vₓ = v × cos θ, başlangıçtaki düşey bileşen vᵧ₀ = v × sin θ olur. Bu iki bileşen birbirine dik olduğundan toplandıklarında başlangıç hız vektörünü oluşturur. Bileşenleri aritmetik olarak toplayıp ilk sürate eşitlemeyin; büyüklüklerin ilişkisi kareler üzerinden kurulur.
20 m/s ve 30° için yatay bileşen yaklaşık 17,3205 m/s, düşey bileşen 10 m/s'dir. 17,3205 + 10 işlemi 20 vermez ve vermesi beklenmez. Buna karşılık 17,3205² + 10² yaklaşık 400'dür; karekökü 20 m/s'ye döner. Araç bileşenler için ayrı sonuç satırları üretmez, fakat bu ayırma uçuş süresinin ve menzilin neden farklı değiştiğini anlamayı sağlar.
Açıyı yataydan ve dereceyle ölçün
Atış açısı başlangıç hızının yatayla yaptığı açıdır. 30° yukarı yönlü, yataya daha yakın bir atışı; 60° daha dik bir atışı temsil eder. Aynı açı düşeye göre verilmişse önce yataya göre karşılığını bulmanız gerekir. Örneğin düşeyle 30° yapan yukarı yönlü hız, yatayla 60° yapar. Açının hangi eksenden ölçüldüğü sonuca doğrudan etki eder.
Giriş alanı derece kullanır; radyan değeri doğrudan yazılmamalıdır. Yaklaşık 0,7854 radyan 45°'ye karşılık gelir, fakat 0,7854'ü derece alanına yazmak çok küçük bir açı tanımlar. Bu sürüm pozitif açıları 90° dahil kabul eder; 0°, negatif açı ve 90° üstü giriş desteklenmez. Bu, her tür atışın fiziksel olarak imkânsız olduğu anlamına gelmez; formun tanımlanmış kapsamıdır.
Yerçekimi ivmesini pozitif büyüklük olarak girin
Yerçekimi alanına g büyüklüğü yazılır. Örnek başlangıç değeri 9,81 m/s²'dir. Bir ders sorusu g = 10 m/s² kullanılmasını istiyorsa bu değeri değiştirebilirsiniz. Yukarı yönü pozitif seçtiğimiz düşey hareket denkleminde ivme −g'dir; buna rağmen formdaki g alanına negatif sayı yazılmaz. Yön işareti ile ivmenin büyüklüğünü birbirinden ayırmak gerekir.
g sıfır olamaz; burada kullanılan dönüş süresi, menzil ve yükseklik formüllerinin paydasında g bulunur. Sabit aşağı yönlü yerçekimi olmadan cismin aynı seviyeye geri döneceği varsayımı da ortadan kalkar. Araç bir konumdan yerel yerçekimi hesaplamaz ve başka bir gökcismini otomatik seçmez. Yazdığınız değer tüm uçuş boyunca değişmeden kabul edilir; büyük mesafelerde değişen yerçekimi bu modelde işlenmez.
Uçuş süresini önce düşey hareket belirler
Başlangıç seviyesine göre düşey yer değiştirme y(t) = vᵧ₀ × t − g × t² / 2 biçimindedir. Aynı seviyeye dönüş için y(t) sıfır olur. Buradaki çözümlerden t = 0 atış anını belirtir; sonraki dönüş zamanı T = 2 × v × sin θ / g olarak bulunur. Sonuç, yükselme ve geri alçalmanın birlikte sürdüğü toplam zamandır.
20 m/s, 30° ve g = 10 örneğinde düşey ilk hız 10 m/s'dir. Toplam süre 2 × 10 / 10 = 2 saniye çıkar. Bu süreyi 20 m/s toplam süratle bölerek bulmak doğru olmaz; süreyi belirleyen yükseliş bileşenidir. Yatay hız, ideal modelde düşey hareketin süresini değiştirmez. Bununla birlikte yatay ilerlemenin ne kadar olduğunu aynı süreyle hesaplarız.
Yatay menzil toplam alınan yol değildir
Hava direnci ve başka yatay kuvvet bulunmadığı için yatay hız sabit kalır. Dönüş anına kadar yatay yer değiştirme R = vₓ × T olur. Bileşen ve süre ifadeleri birleştirilince R = v² × sin(2θ) / g elde edilir. Ana sonuçta gösterilen menzil, başlangıçla dönüş noktası arasındaki yatay mesafedir.
Cismin izlediği kavisli yolun uzunluğu bu sayıdan farklıdır. Bir cismin önce yükselip sonra alçalması, düz bir yatay çizgi boyunca hareket ettiği anlamına gelmez. Hesaplayıcı yörünge boyunca alınan toplam yolu, anlık konumu veya herhangi bir engele olan uzaklığı göstermez. “34,64 metre menzil” ifadesi, kavis üzerinde 34,64 metre yol alındığı şeklinde okunmamalıdır.
En yüksek nokta başlangıç seviyesine göre ölçülür
Cisim yükselirken düşey hız azalır ve tepe noktasında sıfıra ulaşır. Tepeye çıkış süresi tₜ = v × sin θ / g, kazanılan yükseklik H = v² × sin² θ / (2g) olur. Aynı seviyeye dönüş modelinde toplam süre, tepeye çıkış süresinin iki katıdır. Ekrandaki “En yüksek nokta” satırı, bu H değerini metreyle gösterir.
Bu yükseklik, bir binanın tepesinden deniz seviyesine göre ölçülmüş mutlak yükseklik değildir. 30° örneğinde H = 5 metre çıkması, cismin başladığı yerin 5 metre üzerine yükseldiğini belirtir. Başlangıçtan daha alçak bir zemine iniş seçeneği varmış gibi bu değere başka bir yükseklik ekleyip bütün sonucu yeni uçuşa ait saymayın. Referans değiştirmekle iniş koşulunu değiştirmek ayrı işlemlerdir.
Birinci örnek: 20 m/s ve 45°
Başlangıç sürati 20 m/s, açı 45° ve g = 9,81 m/s² seçilsin. Motorun yatay menzili yaklaşık 40,77472 metre, uçuş süresi 2,88321 saniye, en büyük yükseklik 10,19368 metre bulunur. Yatay ve düşey ilk bileşenler bu açıda eşit büyüklüktedir; her biri yaklaşık 14,14214 m/s olur.
Tepeye yaklaşık 1,44160 saniyede ulaşılır. Yatay hız bu sürede yaklaşık 20,38736 metre ilerleme sağlar; bu, toplam menzilin yarısıdır. Başlangıçla bitiş aynı seviyede olduğu için ideal yörüngenin yükselme ve alçalma tarafları simetriktir. Bu değerler aritmetik kontrol içindir; gerçek bir cismin hava koşulları veya ölçüm belirsizliği hesapta bulunduğu anlamına gelmez.
İkinci ve üçüncü örnek: 30° ile 60° karşılaştırması
Aynı 20 m/s sürat için bu kez g = 10 m/s² seçelim. 30° atışın menzili yaklaşık 34,64102 metre, toplam süresi 2 saniye, yüksekliği 5 metre olur. 60° atışta menzil yine yaklaşık 34,64102 metre çıkarken süre 3,46410 saniye, yükseklik 15 metre bulunur. Menzilin aynı olması, bütün uçuşun aynı olması değildir.
| İlk sürat ve yerçekimi aynı | Yatay menzil | Uçuş süresi | Başlangıç üstü en büyük yükseklik |
|---|---|---|---|
| 20 m/s, 30°, g = 10 | 34,64102 m | 2 s | 5 m |
| 20 m/s, 60°, g = 10 | 34,64102 m | 3,46410 s | 15 m |
60° atış daha yavaş yatay ilerler fakat daha uzun süre havada kalır. 30° atış ise yatay hızın daha büyük olduğu, daha kısa süren bir yörünge kurar. Bu iki etki menzilde birbirini dengeler. Aynı denge, toplamı 90° olan pozitif açı çiftlerinde ve yalnızca aynı sürat, aynı g, aynı iniş seviyesi koşullarında geçerlidir.
45° neden en büyük menzili verir?
Sürat ve g sabitken menzil formülünde değişen tek çarpan sin(2θ)'dır. Bu çarpan en büyük değerini 2θ = 90° olduğunda alır; dolayısıyla θ = 45° çıkar. 20 m/s ve g = 10 için en büyük menzil 400 / 10 = 40 metre olur. Daha dik açı daha fazla yükseklik sağlayabilir, fakat yatay bileşeni azaltır.
Bu sonuç aynı seviyeye iniş ve hava direncinin olmadığı model içindir. “Her gerçek atışta en uygun açı 45°” diye genelleştirmeyin. Başlangıçla iniş farklı seviyelerdeyse veya hava kuvvetleri önemliyse menzili belirleyen ilişki değişir. Araç bir ürün, spor tekniği veya saha koşulu için en iyi açıyı seçmez; kendi üç girdisiyle tanımlanan ideal hesabı gösterir.
Sürati iki katına çıkarınca her sonuç ikiye katlanmaz
Açı ve g aynı tutulduğunda uçuş süresi süratle doğru orantılıdır; menzil ve yükseklik ise süratin karesiyle değişir. 20 m/s, 45° ve g = 9,81 örneğinden 40 m/s'ye geçildiğinde süre yaklaşık 5,76642 saniye, menzil 163,09888 metre, yükseklik 40,77472 metre olur. Süre iki katına, menzil ve yükseklik dört katına çıkar.
Bu ilişki ölçüm hatasını değerlendirirken de önemlidir. İlk sürati olduğundan büyük yazmak, menzil üzerinde oransal olarak daha belirgin fark yaratabilir. Bunun için programın başka bir yöntem kullanması gerekmez; kare bağımlılığı yeterlidir. Açı ve g de aynı anda değişirse yalnızca sürat oranına bakarak sonuçları karşılaştıramazsınız. Karşılaştırma yaparken bir defada tek girdiyi değiştirmek nedenleri görmeyi kolaylaştırır.
Birimleri ve yaklaşık g değerini tutarlı kullanın
72 km/sa sürat, 72 / 3,6 işlemiyle 20 m/s'ye çevrilir. m/s alanına doğrudan 72 yazarsanız 72 m/s tanımlamış olursunuz. Aynı açı ve g için süre 3,6 katına, menzil ve yükseklik 12,96 katına çıkar. Birim dönüşümündeki küçük görünen bir seçim, sonuçta büyük fark yaratabilir.
g = 9,81 ile g = 10 da aynı sayılar değildir. 20 m/s ve 45° için g = 10 alındığında menzil 40 metre, yükseklik 10 metre, süre yaklaşık 2,82843 saniyedir. g = 9,81 seçimi bu değerleri biraz artırır. Ders sorusunun istediği g değerini kullanın; farklı varsayımlarla bulunan sonuçları aynı girdilerden çıkmış gibi karşılaştırmayın.
Tepe noktasında hangi büyüklük sıfır olur?
Tepe noktasında sıfır olan büyüklük düşey hız bileşenidir. Yatay bileşen, 90° dışındaki atışlarda pozitif kalır; dolayısıyla cismin toplam sürati genellikle sıfır olmaz. 30° örneğinde tepe noktasındaki sürat yaklaşık 17,3205 m/s'dir. Cisim yükselmesini kısa bir an bırakırken yatay yönde ilerlemeye devam eder.
Yerçekimi ivmesi de tepede kaybolmaz. Düşey hızın bir anda sıfır olması, düşey ivmenin sıfır olduğunu göstermez; hareketin hemen sonrasında aşağı yönlü hız gelişir. Aynı seviyeye dönüşte düşey bileşenin büyüklüğü başlangıçtakiyle eşit, yönü ters olur. Bu açıklamalar modelin denklemlerinden türetilir; form ayrıca tepe süratini veya dönüş hızını sonuç satırı olarak hesaplamaz.
90° dik atış ve çok küçük açı sınırı
90° atış ideal olarak tamamen düşeydir; yatay menzil sıfırdır. 10 m/s ve g = 10 için toplam süre 2 saniye ve en büyük yükseklik 5 metre olur. Motorun trigonometrik işlemi 90°'de menzil için yaklaşık 10⁻¹⁵ metre büyüklüğünde bir sayı bırakabilir. Bu, gerçek bir yatay mesafe ölçümü değildir; yaklaşık sayısal hesabın kalıntısıdır ve normal gösterimde sıfır görünür.
0° giriş bu sürümde kabul edilmez. Yatay atışın daha alçak bir zemine düşmesini incelemek başlangıç yüksekliği gerektirir; bu alan burada bulunmaz. Çok küçük pozitif açıyla aynı seviyeye dönüş hesabı çok kısa süre ve küçük yükseklik üretir. Böyle bir sonucu bir masadan yatay atışın yerine kullanmak, iniş seviyesinin farklılığını ortadan kaldırmaz.
Kütle ve hava direnci neden ayrı konulardır?
İdeal denklemde yalnızca sabit yerçekimi etkisi vardır. Kütle, aynı başlangıç sürati ve açıyla yapılan bu hesapların içinde yer almaz. Dolayısıyla daha ağır bir cisim için burada ayrıca çarpan uygulamayın. Bu, gerçek ortamda bütün cisimlerin aynı yörüngeyi izleyeceği iddiası değildir; seçilen modelde şekil, boyut, hava yoğunluğu ve sürüklenme etkisi bulunmadığını belirtir.
NASA'nın sürüklenme içeren hareket açıklamasında yatay ve düşey kuvvetler de hesaba katılır. Bu hesaplayıcı o denklemleri çözmez. Rüzgâr, dönme ve hava direncini bir “düzeltme yüzdesi” olarak menzile eklemek tam bir hareket modeli oluşturmaz. Eğitim örneğiyle gözlenen hareket farklı çıkarsa önce başlangıç koşullarının, birimlerin ve ihmal edilen etkilerin aynı olup olmadığını inceleyin.
Sonucu iki ayrı ilişkiyle kontrol edin
Önce menzilin yatay ilk hızla toplam sürenin çarpımına eşit olduğunu kontrol edin. 30° örneğinde yaklaşık 17,3205 × 2 = 34,6410 metre bulunur. Ardından tepeye çıkış zamanını toplam sürenin yarısı alın; t = 1 saniye için düşey denklem 10 × 1 − 10 × 1² / 2 = 5 metre verir. Böylece menzil, süre ve yükseklik aynı hareketi anlatır.
Kontrolde yuvarlanmış ara değerleri tekrar kullanmak küçük farklar doğurabilir. 3,46410 saniye gösterimi, 60° örneğinin bütün basamaklarını içermez. Girdileri koruyarak karşılaştırın ve ölçünüzün gerçek hassasiyetine uygun basamakları okuyun. Sayısal tutarlılık, modelde bulunmayan başlangıç yüksekliği, hava kuvvetleri veya saha uygunluğunu doğrulamaz; bu form yalnızca açıklanan ideal hareketin üç temel sonucunu üretir.