Çok varlıklı portföyde oynaklık ve risk katkıları

İki ile sekiz arasında varlık tanımlanır. Her satırda anonim bir etiket ve ağırlık yüzdesi bulunur; bu iki alan noktalı virgülle ayrılır. Etiketler en çok 24 karakterdir ve listede benzersiz olmalıdır. Aynı adı yalnız büyük veya küçük harfle değiştirerek ikinci kez kullanmak ayrı varlık oluşturmaz. Büyük/küçük harf karşılaştırmasında Türkçe eşleştirme kullanılır. Kişi, hesap veya ürün bilgisi yazmak gerekmez. Etiket yalnız sonuçtaki sütun ve satırları eşleştirir.

Ağırlıklar sıfır ile yüzde 100 arasında ve en çok altı anlamlı ondalık basamakla girilir. Toplamları kesin olarak yüzde 100 olmalıdır. Eksik ya da fazla toplam kendiliğinden yeniden ölçeklenmez. Bir varlığın ağırlığı sıfır olabilir; buna rağmen o varlığın bütün dönem getirileri yine girilmelidir. Böylece ortak gözlem yapısı korunur ve varlığın tekil ölçüleri ile diğerleriyle ilişkisi hesaplanabilir. Sıfır ağırlık, eksik hücrenin otomatik sıfır getiriyle doldurulacağı anlamına gelmez.

Her gözlem satırında bir dönem etiketi ve varlık listesindeki sırayla bütün varlıkların yüzde getirileri bulunur. Alanlar noktalı virgülle ayrılır. İki ile 120 arasında dönem gerekir. Dönem etiketleri en çok 24 karakterlik benzersiz adlardır. Satırların giriş sırası sonuçtaki dönem serisinde korunur; etiketler takvim tarihi gibi yorumlanıp otomatik sıralanmaz. Bir varlığın sütununu diğerlerinden bağımsız düzenlemek, aynı dönemlerin eşleşmesini bozabilir. Her satırın bütün varlıklar için aynı dönemi anlattığı kullanıcı varsayımıdır.

Getiriler yüzde olarak yazılır. Yüzde 5 için 5, yüzde eksi 5 için eksi 5 girilir; ondalık kesir oranı bu kutuya aynen taşınmaz. Kabul edilen getiri yüzde eksi 100 ile yüzde 1000 arasındadır ve en çok altı anlamlı ondalık taşır. Bunlar teknik giriş sınırlarıdır; gözlemin gerçekliğini, piyasa olasılığını veya gelecekte beklenen getiriyi doğrulamaz. Eksik bir dönem getirisi tahmin edilmez, başka sütundan alınmaz veya sıfır sayılmaz. Her gözlem aynı para ve getiri tanımı içinde hazırlanmalıdır.

Getiri satırları aynı uzunluktaki dönemleri kapsamalıdır. Bir varlığın haftalık getirisini diğerinin aylık getirisiyle aynı satırda eşleştirmek birlikte hareket ölçüsünün anlamını değiştirir. Aynı para birimi ve tutarlı değerleme temeli de kullanıcı tarafından sağlanır. Araç fiyat, kur, temettü veya bölünme verisi çekmez; farklı tanımlarla hazırlanmış getirileri kendiliğinden karşılaştırılabilir hale getirmez. Dönem etiketlerinin düzgün görünmesi bu ekonomik eşleşmenin gerçekten sağlandığını kanıtlamaz.

Portföyün her dönem getirisi aynı kullanıcı ağırlıklarıyla bulunur. Bu, her döneme aynı paylarla başlanan açık bir modeldir. Gerçekte yalnız elde tutulan varlıkların ağırlıkları farklı getirilere bağlı olarak değişebilir; bu değişen ağırlık yolu burada üretilmez. Aynı paylara dönüşün işlem maliyeti, emirleri veya gerçekten gerçekleşmesi de hesaplanmaz. Sabit ağırlıklı dönem serisi, gerçek bir hesapta yeniden dengeleme yapılmış olduğuna dair kanıt veya bunu uygulama önerisi değildir.

Her varlığın dönem getirileri toplanıp gözlem sayısına bölünerek aritmetik ortalama bulunur. Bu ortalama, verilmiş eşit dönemlerdeki yüzdelerin ortalamasıdır. Bileşik dönem getirisi, yıllık büyüme veya gelecekte beklenen kazanç gibi adlandırılmaz. Aynı ağırlıklarla oluşturulan portföy serisinin ortalaması da bu serinin dönemsel aritmetik ortalamasıdır. Ağırlıklı varlık ortalamalarıyla doğrudan portföy serisi ortalaması aynı sonucu vermelidir; iki görünüm farklı para kaynağı oluşturmaz.

Yayılım hesabında her getirinin kendi ortalamasından farkı kullanılır. Varyans için bu farkların kareleri toplanır ve gözlem sayısının bir eksiğine bölünür. Burada örneklem böleni kullanılır; gözlem sayısının kendisine bölünmüş başka bir tanımla sonuçlar karıştırılmamalıdır. En az iki dönem koşulu bu paydanın kurulmasını sağlar. Az sayıda gözlemle de aritmetik sonuç bulunabilir, fakat bu sonuç gözlem kümesinin geleceği temsil ettiğini veya istatistiksel güven düzeyini tek başına kanıtlamaz.

İki varlığın aynı satırlardaki ortalamadan sapmaları birbirleriyle çarpılır. Bu çarpımların toplamı yine gözlem sayısının bir eksiğine bölünerek örneklem kovaryansı bulunur. Pozitif değer, verilmiş satırlarda aynı yönde sapmaların baskın olduğunu; negatif değer ters yönlü sapmaların etkisini gösterir. Kovaryansın büyüklüğü getirilerin ölçeğine de bağlıdır. Bu nedenle doğrudan bir yüzde veya bağımsız risk derecesi gibi okunmaz. Aynı ortak gözlemlerden oluşan tablonun karşılıklı çiftleri aynı kovaryansa sahiptir.

Korelasyon, kovaryansın iki varlığın oynaklıklarıyla ölçeklenmiş halidir. Her iki oynaklık pozitifken sonuç eksi bir ile artı bir arasındadır. Artı bir, eksi bir ve sıfır özel değerleri kendi anlamlarıyla korunur; sıfır değeri her tür ilişkinin yokluğu diye genellenmez. Varlıklardan birinin oynaklığı sıfırsa bu bölme tanımsızdır. Sabit getiri taşıyan bir varlığın kendisiyle korelasyonu da bu nedenle otomatik bir yapılmaz. Tanımsız hücre, varlığın silindiği veya veri satırının eksik olduğu anlamına gelmez.

Her dönemde varlıkların getirileri kendi ağırlıklarıyla çarpılıp toplanır. Bu işlem o dönemin portföy getirisini verir. Oluşan serinin örneklem varyansı doğrudan hesaplanabilir. Aynı varyans, varlıkların bütün kovaryansları ve kullanıcı ağırlıklarıyla birlikte hesaplandığında da bulunmalıdır. Bu uzlaşma, tekil yayılımların yanında çapraz birlikte hareketlerin de bileşime katıldığını gösterir. İki yoldan bulunan tutarlar ayrı riskler değildir; aynı portföy varyansının iki ifadesidir.

Oynaklık varyansın kareköküdür ve sonuçlarda yüzde olarak okunur. Ağırlıklı tekil oynaklık toplamı da ayrıca karşılaştırılabilir, fakat birleşik oynaklık yerine kullanılamaz. Birlikte hareket nedeniyle bu iki ölçü farklı olabilir. Aradaki fark, yalnız girilmiş gözlemler ve sabit ağırlıklar için geçerlidir. Gerçek piyasada gelecekte aynı farkın korunacağı, kesin kayıp azalması sağlanacağı veya varlık sayısı arttıkça her zaman daha iyi sonuç çıkacağı iddiası kurulmaz. Ölçülerin dayandığı dönemleri ve ağırlıkları sonuçla birlikte tutmak gerekir.

Her varlığın portföyün toplam varyansına katkısı, o varlığın ağırlığı ile portföyle kovaryansının çarpımıdır. Bütün varlıkların bu katkıları toplandığında portföy varyansı bulunur. Bu ayrıştırma yalnız tekil varyansın ağırlıkla çarpılması değildir; diğer varlıklarla birlikte hareket de katkıya girer. Varlığın oynaklığı yüksekken katkısının küçük veya negatif olması bu nedenle matematiksel olarak mümkündür. Katkı ile tekil oynaklık farklı soruları yanıtlar ve birbirinin yerine okunmamalıdır.

Negatif katkı sessizce sıfıra çıkarılmaz. Toplam varyans negatif olmaz, fakat onu oluşturan katkılar arasında negatif terimler bulunabilir. Bu terimler verilmiş bileşimdeki karşı yöndeki etkileri açık tutar. Negatif katkı, varlığın her durumda koruma sağlayacağı, zarar oluşturmayacağı veya alınmasının uygun olduğu anlamına gelmez. Ayrıca pozitif katkılar toplamın tamamından büyük görünebilir; negatif terimler toplamı dengeleyebilir. Katkıları değerlendirirken yalnız işarete değil, bütün satırların toplamla uzlaşmasına bakılmalıdır.

Portföy oynaklığı pozitifse her varyans katkısı bu oynaklığa bölünerek oynaklık katkısı bulunur. Sonuçlar yüzde puan olarak gösterilir ve toplamları portföyün yüzdeyle ifade edilmiş oynaklığına eşittir. Negatif varyans katkısı, oynaklık katkısında da negatif işaret taşır. Pozitif ve negatif terimler birlikte toplamla uzlaşır. Bu ayrıştırma bir varlığa ayrılan para yüzdesi değildir; ağırlık ile katkı sütunları aynı ölçüyü taşımaz. Toplamların hangi birimlerle okunduğu açık tutulmalıdır.

Portföy oynaklığı sıfırsa oynaklık katkılarında gereken bölmeler kurulamaz. Bu sonuçlar, portföy oynaklığı 0 olduğu için hesaplanamadığı açıklamasıyla gösterilir; sıfır veya yüzde 100 gibi sahte değerler atanmaz. Buna karşılık portföy oynaklığının kendisinin sıfır olması geçerli bir sonuçtur. Sabit bir portföy serisi sıfırdan farklı ortalama taşıyabilir. Sıfır oynaklık, bütün getirilerin sıfır olduğu veya gelecekte risk bulunmadığı anlamına gelmez. Geçerli sıfır toplam ölçüsü ile tanımsız bölmeli katkıları birbirinden ayırmak gerekir.

Girişler yüzde olsa da varyans ve kovaryans hesapları ondalık getirilerin karesi birimiyle gösterilir. Ortalama ve oynaklık yüzdedir. Oynaklık katkısı ise toplam oynaklığın yüzdesine eklenen veya ondan çıkarılan yüzde puandır. Bu birimleri karıştırarak varyansı doğrudan yüzde oynaklık gibi okumak doğru değildir. Varyans katkısı da toplam varyansla aynı kare birimini taşır; oynaklık katkısının yüzde puan değeriyle aynı sayı veya aynı ölçü değildir.

Sonuç görünümleri en çok on iki ondalık basamak taşıyabilir. Yazım devam ediyorsa devam işareti bulunur. Hesap, ekranda kısaltılmış yüzdeler tekrar çarpılarak kurulmaz. Bu nedenle görünür son basamaklarla elle yapılan işlemler, bütün katkıları aynı hassasiyette yeniden vermeyebilir. Tanımsız bilgi de küçük bir sayı veya çok hassas bir sıfır gibi yorumlanmamalıdır. Para tutarı, getiri yüzdesi, ondalık getiri karesi ve yüzde puan farklı birimlerdir; sütun başlıkları bu ayrımı okumaya yardımcı olur.

Katkılar görünümü, varlıkların ağırlıklarını, ortalama ve oynaklıklarını, toplam içindeki katkılarını birlikte incelemek içindir. Portföy toplam satırı bu katkıların hangi toplamla uzlaştığını gösterir. Birlikte hareket görünümü bütün varlık çiftlerinin kovaryans ve korelasyonlarını listeler. Aynı varlığın kendisiyle eşleşmesi de yer alır; sıfır oynaklıkta onun korelasyonu için de tanımsızlık kuralı geçerlidir. Çiftlerin simetrisi ile tanımsız hücreler birlikte değerlendirilmelidir.

Dönem serisi görünümü, girilmiş her dönemin varlık getirilerini ve aynı ağırlıklardan oluşan portföy getirisini gösterir. Satırların sayısı veya sırası başka bir veri kaynağından tamamlanmaz. Görünüm seçmek ağırlıkları, gözlemleri veya örneklem bölenini değiştirmez. Bu üç görünüm ayrı yatırım modelleri değildir; aynı bileşimin farklı kontrollerini sağlar. Sadece katkı tablosuna bakıp verilerin dönem eşleşmesini unutmak veya yalnız seriye bakıp çapraz birlikte hareketleri dışarıda bırakmak, sonucun kapsamını eksik okumaya yol açabilir.

Önce varlık etiketlerini ve kendi seçtiğiniz ağırlıkları girin. Toplamın yüzde 100 olduğundan emin olun; araç bunu sizin adınıza yeniden oranlamaz. Ardından her döneme ait bütün varlık getirilerini aynı satırda hazırlayın. Varlık sırası listedeki sırayla eşleşmelidir. Ağırlığı sıfır olan sütun da tamamlanır. Getiri biriminin yüzde, dönemlerin eşit aralıklı ve ortak para temelinde olduğunu kontrol edin. Bu tutarlılık verinin hazırlanmasına aittir; gerçek piyasa kaynağına bağlanarak doğrulanmaz.

Katkılar görünümünde önce ortalama ve oynaklık birimlerini okuyun. Sonra varyans katkılarının toplamını, toplam oynaklığı ve onun yüzde puan katkılarını birlikte inceleyin. Negatif katkıları gizlenmiş hata olarak düşünmeyin; bütün toplamla ilişkisini kontrol edin. Portföy oynaklığı sıfırsa bölmeli sütunlarda hesaplanamama nedenini görün. Bu akış, yazılmış ağırlıkların gözlem kümesindeki birlikte hareketini açıklamak içindir. En iyi dağılımı seçmez ve ortaya çıkan düşük ya da yüksek ölçüyü kişisel bir risk derecesine dönüştürmez.

Aynı ağırlık ve gözlemleri koruyarak birlikte hareket görünümüne geçin. Varlık çiftlerini, kovaryansların karşılıklı eşitliğini ve korelasyonların tanımlı olup olmadığını inceleyin. Tekil bir seri bütün dönemlerde sabitse o varlığın korelasyonlarında oynaklığın 0 olduğuna ilişkin açıklama bulunması olağandır. Ardından dönem serisini açarak her satırın ortak dönemi temsil ettiğini ve portföy getirisinin ağırlıklı varlık getirilerinden oluştuğunu izleyin. Görünüm değişikliği yeni bir hesap kapsamı veya farklı bir yatırım tercihi oluşturmaz.

Bir veri satırını değiştirirseniz bunun hangi döneme ait olduğunu bütün varlıklar açısından koruyun. Eksik hücreyi sıfırla doldurmak yerine gerekli veriyi tamamlayın. Yeni gözlem kümesindeki ortalama ve kovaryanslar değişebileceği için önceki sonucun aynı kalması beklenmez. Gözlem dönemini değiştirerek daha iyi görünen ölçü elde edilmesi, gelecekte aynı sonucun oluşacağı anlamına gelmez. Bu akış, hesap içindeki uzlaşmaları ve veri eşleşmesini okumayı sağlar; işlem yürütme, gerçek yeniden dengeleme veya performans onayı vermez.

Varlık A'nın ağırlığı yüzde 75, varlık B'nin ağırlığı yüzde 25 olsun. P1 döneminde A getirisi yüzde 10, B getirisi yüzde 0; P2 döneminde A getirisi yüzde 0, B getirisi yüzde 10 olarak girilsin. Seçilen görünüm Varlıklar ve katkılardır. İki ortak gözlem vardır ve örneklem böleni birdir. Her varlığın aritmetik ortalaması yüzde 5, varyansı 0,005 olur. Aynı dönemli sapmalar ters yönde hareket ettiği için çapraz kovaryans negatiftir.

Ağırlıklı portföy getirileri iki dönemde yüzde 7,5 ve yüzde 2,5'tir. Portföy ortalaması yüzde 5, varyansı 0,00125 ve ana oynaklık sonucu 3,535533905932… % olur. A'nın varyans katkısı 0,001875, B'nin katkısı eksi 0,000625'tir. Bu iki katkı toplam varyansa uzlaşır. Oynaklık katkıları yüzde puan olarak okunur; B'nin negatif katkısı sıfıra çekilmez. Görünür son basamaklar kısaltılmış olduğundan tabloda yazılmış katkıları tekrar toplayarak bütün basamaklarda aynı yazımı beklemeyin.

İlk tablo bütün özet kalemlerini, ikinci tablo iki varlığı ve portföy toplamını gösterir. Negatif katkı bu gözlemlerin bileşimindeki matematiksel etkidir; B'nin her durumda koruma sağlayacağı veya bu ağırlıkların kişiye uygun olduğu anlamına gelmez. Portföy toplamında yüzde 100 ağırlık bulunması katkıların her birine yüzde 100 pay verildiği anlamını da taşımaz.

Varlık A'nın ağırlığı yüzde 100, varlık B'nin ağırlığı yüzde 0 ve seçilen görünüm Kovaryans ve korelasyon olsun. P1 döneminde A yüzde 5, B yüzde eksi 10; P2 döneminde A yüzde 5, B yüzde 0; P3 döneminde A yüzde 5, B yüzde 10 getiriyle girilsin. B'nin ağırlığı sıfır olduğu halde üç getirisi de verilmiştir. Üç ortak gözlem bulunduğundan örneklem böleni ikidir.

A bütün dönemlerde aynı getiriyi taşıdığı için oynaklığı sıfırdır. Portföy yalnız A ağırlığını kullandığından serisi de her dönemde yüzde 5'tir. Ana portföy oynaklığı 0 %, ortalaması ise 5 % olur. Sıfır oynaklık, getirinin sıfır olduğu anlamına gelmez. Portföy oynaklığına bölünen katkılar Tanımsız kalır; toplamın sıfır olması bu bölmeleri geçerli yapmaz.

A'nın kendisiyle ve B ile korelasyonları tanımsızdır. Karşılıklı B ile A hücresi de aynı koşulu taşır. Böylece dört korelasyon hücresinin üçü Tanımsız olur. B'nin kendi oynaklığı pozitif olduğu için B ile B korelasyonu 1 olarak tanımlı kalır; portföy oynaklığının sıfır olması bütün varlık çiftlerini tanımsız yapmaz. B'nin örneklem varyansı 0,01'dir. Özet ve dört çiftin tamamı aşağıda yer alır.

Varlık A'nın ağırlığı yüzde 50, B'nin yüzde 30, C'nin yüzde 20 ve seçilen görünüm Aynı dönem getirileri olsun. P1 döneminde A yüzde 2, B yüzde 1, C yüzde 0; P2 döneminde A yüzde eksi 1, B yüzde 0, C yüzde 3 getirir. P3 döneminde getiriler A için yüzde 4, B için yüzde 2, C için yüzde 1; P4 döneminde A için yüzde 0, B için yüzde eksi 2, C için yüzde eksi 1 olarak girilir. Dört gözlemin tamamı aynı dönemler için eşleşmiştir.

Aynı ağırlıklarla kurulan portföy getirileri sırasıyla yüzde 1,3, yüzde 0,1, yüzde 2,8 ve yüzde eksi 0,8'dir. Aralarından yalnız bir dönemin daha yüksek olması bütün serinin ortalaması değildir. Dört dönemin aritmetik ortalaması yüzde 0,85, üç bölenli örneklem varyansı 0,000243 ve ana oynaklık sonucu 1,558845726811… % olur. Kovaryans ve ağırlıklardan bulunan varyans ile doğrudan portföy serisinin varyansı aynı sonucu verir.

İlk tablo bütün özetleri, ikinci tablo dört dönemdeki üç varlık getirisini ve birleşik portföy getirisini içerir. Görünüm yalnız seriyi açmış olsa da örneklem ölçüleri aynı ortak verilerden hesaplanır. Ağırlıklar her dönemin başında aynı tutulduğu varsayımdır; sonuç gerçek yeniden dengeleme işlemleri, maliyet veya gelecek performans hakkında onay oluşturmaz. Yüzdeler incelenen dönemlere aittir ve yıllıklaştırılmaz.

Bu hesap kullanıcının verdiği eşleşmiş getirileri ve uzun pozisyonlu sabit ağırlıkları inceler. Optimum ağırlık, hedef getiri, risk sınıfı, ürün seçimi veya yatırım önerisi üretmez. Otomatik yıllıklaştırma, gelecek tahmini, kur ve ücret hesabı yoktur. Her dönemde aynı ağırlık kullanımı gerçek banka işlemi veya maliyetsiz yeniden dengeleme yapılabildiği iddiası değildir. Gözlem sayısı ve teknik sınırlar, gerçek veri doğruluğunu ya da kişiye uygunluğu kanıtlamaz. Sonuç GIPS uyumlu veya onaylanmış performans raporu olarak sunulmaz.

[MIT OpenCourseWare, 18.S096 Portfolio Theory, Lecture 14](https://ocw.mit.edu/courses/18-s096-topics-in-mathematics-with-applications-in-finance-fall-2013/bba02164ba6642f7d516df35347aec01_MIT18_S096F13_lecnote14.pdf), Dr. Peter Kempthorne'un 2013 sonbahar ders notudur. Özellikle 3. ve 27. slaytlar ortalama, kovaryans, portföy varyansı ve gözlemden hesaplama konularının dayanağıdır. Bağlı CC BY-NC-SA lisansının içerik sınırları korunur; kaynak metni, örnekleri, tabloları, şekilleri veya kodu aktarılmamıştır. Katkı uzlaştırması ve bu sayfanın Türkçe açıklamaları açık matematiksel bağıntıların bağımsız anlatımıdır; kaynak atfı kurum onayı anlamına gelmez.

Bu araçta gözlem sayısının bir eksiğiyle bölme, kullanıcı örneklemi için seçilmiş açık hesap kuralıdır. Teknik giriş sınırları, sabit ağırlık varsayımı, katkıların uzlaştırılması ve görünüm hassasiyeti de bu sınırlı model kapsamında ayrı tanımlanır. Kaynağın örneklem ortalaması ve kovaryans tartışması, bu yerel kuralların bütününü aynen belirleyen bir uygulama talimatı diye sunulmaz.