Polinom Bölme

Bir bölme sonucunu denetlerken yalnız bölümün görünüşüne bakmak yeterli değildir. Bölüm ile böleni çarpıp kalanı eklediğinizde elde ettiğiniz polinomun her kuvvetteki katsayısı, başlangıçtaki bölünenin aynı kuvvetteki katsayısıyla eşleşmelidir. Birkaç değişken değeri seçip iki ifadeden aynı sayıyı elde etmek yararlı bir ön kontrol olabilir; fakat bu, bütün katsayıların eşleştiğini tek başına göstermez. Özellikle seçilen değerlerde sıfır olan bir fark polinomu, o denemelerde görünmeyebilir. Buradaki özdeşlik denetimi belirli bir sayıya bağlı değildir. Girdiğiniz rasyonel katsayıların cebirsel ilişkisini esas alır; ölçülmüş verilerin doğruluğunu veya gerçek bir fiziksel modelin uygunluğunu değerlendirmez.

Bölen sabitlenince kalan için konan derece koşulu sonucun belirli olmasını sağlar. Aynı bölünen ve bölen için iki farklı geçerli bölüm bulunduğunu varsayın. İki özdeşliği birbirinden çıkarınca, bölen ile bölümlerin farkının çarpımı kalanların farkına eşit olur. Bölümlerin farkı sıfır değilse soldaki çarpımın derecesi en az bölenin derecesi kadardır. Sağdaki fark ise her iki kalanın derece sınırı nedeniyle bundan küçüktür. Bu durum aynı sıfır olmayan polinom için mümkün değildir. Dolayısıyla bölümler ve ardından kalanlar eşit olmak zorundadır. Kalanın yalnız küçük görünmesi bu koşulun yerini tutmaz; gereken özellik katsayı büyüklüğü değil, derecedir.

Kesirli katsayıları karşılaştırırken kullanılan ortak ölçeği de koruyun. Bölünen ve bölenin her ikisini aynı sıfır olmayan sayıyla çarpmak bölümü değiştirmez; buna karşılık kalan aynı sayıyla çarpılır. Bu nedenle farklı ölçeklerle hazırlanmış iki hesabın kalanlarını doğrudan eşit beklemek doğru değildir. Özgün polinomlarla karşılaştırma yaparken hangi ifadelerin ölçeklendiğini açık tutmak, cebirsel olarak aynı bölümü veren girişlerle gerçekten farklı problemleri ayırır. Araç ölçek değişikliğinin amacını tahmin etmez. Gösterilen girişler, bölüm, kalan ve özdeşlik birlikte okununca bu ayrım denetlenebilir.

Her alana en yüksek dereceden sabit terime doğru katsayıları noktalı virgülle ayırarak yazın. Listenin son elemanı sabit terimdir; ondan önceki eleman x'in, bir önceki x²'nin katsayısıdır. Örneğin 4;0;-2 listesi 4 x² − 2 polinomunu belirtir. Aradaki sıfır x teriminin bulunmadığını gösterir ve atlanmamalıdır. Aynı listeyi 4;-2 olarak yazmak 4 x − 2 anlamına gelir; yalnız gösterimi kısaltmış olmaz, başka bir polinom girmiş olursunuz.

Katsayı sırası ters çevrilemez. Sabit terimi başa yazıp yüksek dereceye doğru ilerlemek farklı bir polinom oluşturur. Özellikle yüksek dereceli ifadelerde her kuvveti sırayla kontrol edin. İçteki veya sondaki sıfırların birer yeri vardır; baştaki sıfırlarla aynı biçimde ele alınmazlar. Örneğin sondaki sıfır, sabit terimin sıfır olduğunu belirtir. Bu konumu silmek polinomdaki kuvvetleri değiştirebilir. Katsayıları başka bir belgeden aktarırken ayırıcıları ve bütün ara sıfırları birlikte koruyun.

Her polinom için baştaki sıfırlar dahil en fazla 21 katsayı kabul edilir; bu en fazla 20. dereceyi kapsar. Her alanın uzunluğu 4.000 karakteri geçemez. Başlangıçtaki sıfırlar kaldırılmadan önce katsayı sayısı kontrol edilir. Bu nedenle fazla sayıda sıfır ekleyerek 21 katsayı sınırı aşılamaz. Sayıların çevresindeki boşluklar temizlenir, ancak boş bir katsayı kabul edilmez. Yan yana iki noktalı virgül veya listenin sonunda boş bölüm bırakmak yerine eksik kuvvet için açıkça 0 yazın.

Katsayılar tam sayı, ondalık veya p/q biçiminde kesir olabilir. Negatif değer için kısa çizgi eksi işaretini kullanın. Kesirde pay işaretli tam sayı, payda ise pozitif ve sıfırdan farklı tam sayı olmalıdır. Örneğin -3/4 geçerlidir; eksi işaretini paydaya taşımayın ve kesrin payına ondalık sayı yazmayın. Başta artı işareti, bilimsel gösterim ve binlik gruplama kabul edilmez. Genel ifade değerlendirilmediği için 1+2, köklü bir ifade veya başka bir hesap da katsayı yerine kullanılamaz.

Ondalık ayırıcı olarak nokta veya virgül kullanılabilir. Tam kısmı mutlaka yazın; .5 yerine 0.5, 5. yerine 5 kullanın. Anlamlı ondalık kısım en fazla 6 basamak olabilir. Sona eklenen sıfırlar değeri değiştirmediği için 0,1234560 kabul edilebilir; 0,1234561 ise daha kısa bir değere yuvarlanmadan reddedilir. Verilen ondalık katsayı tam olarak o rasyonel sayı kabul edilir. Örneğin 0,1, yaklaşık bir başka değere çevrilmek yerine tam olarak onda bir anlamını taşır.

Her katsayının mutlak değeri en fazla 1.000.000 olmalıdır. Kesir yazımında ayrıca sadeleştirmeden önce payın mutlak değeri en fazla 1.000.000.000, payda en az 1 ve en fazla 1.000.000.000 olabilir. Büyük pay ve paydayı sonradan sadeleşecek diye bu sınırların dışında yazmayın. Sadeleşmiş değerin büyüklüğü de ayrı olarak katsayı sınırına uymalıdır. Açıklamadaki noktalar binlik gruplamadır; girdi alanına rakamları gruplamadan yazın. Bu kurallar iki polinom için aynı biçimde uygulanır.

Bir polinom listesinin başında bulunan sıfır katsayılar kaldırılarak asıl gösterim bulunur. Araç her iki polinom için kaç baş sıfır kaldırıldığını ayrıca gösterir. Bu işlem polinomun değerini değiştirmez; sıfır katsayılı en yüksek kuvvetlerin bulunmadığını açıkça belirtir. Asıl derece, kalan ilk sıfır olmayan katsayının kuvvetidir. Normalleştirilmiş A(x) ve B(x) ifadeleri ile derecelerini okuyarak kendi girişinizin hangi polinom olarak değerlendirildiğini kontrol edin. Sınır kontrolünün bu düzenlemeden önce yapıldığını da unutmayın.

Bütün katsayılar sıfırsa polinom tek bir sıfırla gösterilir. Sıfır polinomun derecesi burada tanımsızdır; sıfırıncı derece olarak etiketlenmez. Buna karşılık sıfırdan farklı sabit bir polinomun derecesi sıfırdır. Bu iki durumu ayırmak özellikle bölüm veya kalan sıfır olduğunda önemlidir. Sonuçta “Sıfır polinomu · derece tanımsız” açıklamasını görmeniz bir eksik hesap anlamına gelmez. Polinomun sıfır olma özelliği açıkça belirtilmiş olur ve kalan koşulu bu ayrı durumla birlikte değerlendirilir.

Uzun bölmede önce geçici kalanın en yüksek dereceli terimi bölenin en yüksek dereceli terimine bölünür. Elde edilen terim bölüme eklenir. Ardından bölenin tamamı bu terimle çarpılır ve geçici kalandan çıkarılır. Bu çıkarma en yüksek dereceli terimi yok eder; kalan sıfır olana veya derecesi böleninkinden küçük kalana kadar işlem sürer. Girdi sınırları içinde en fazla 21 bölme adımı bulunabilir. Adım tablosu bölüme eklenen terimi, çıkarılan çarpımı ve o adım sonundaki kalanı birlikte gösterir.

Çıkarma yapılırken çarpımın yalnız ilk terimi değil, bütün terimleri çıkarılmalıdır. Özellikle eksi katsayı içeren çarpımlarda parantezin önündeki çıkarma işaretini bütün terimlere uygulayın. Bölümdeki yeni bir eksi terim normaldir; kalan katsayılarının da pozitif olması gerekmez. Sayıların işaretini yalnız görünüşe göre değiştirmeyin. Sonucu kontrol etmek için adımları geriye doğru okumak mümkündür: çıkarılan çarpım ile yeni kalanın toplamı önceki geçici kalanı vermelidir. Bütün adımların sonunda aynı ilişki ana bölme özdeşliğine dönüşür.

Bölümün katsayıları girişte tam sayı olsa bile kesirli çıkabilir. Bölenin baş katsayısı her geçici baş katsayıyı tam bölmek zorunda değildir. Bu nedenle kesirli bir bölüm, yöntemin yaklaşık çalıştığını göstermez. Burada bütün katsayı işlemleri kesin rasyonel sayılarla yapılır; pay ve pozitif payda kullanılarak sadeleştirilmiş sonuç verilir. Özellikle ardışık adımlarda erken ondalık yuvarlaması yapmak bölüm ve kalan ilişkisini bozabilir. Kesir biçimini korumak, çıkarma ve özdeşlik kontrollerinin aynı kesin sayılarla yapılmasını sağlar.

Ana sonuç bölüm Q(x)'tir, fakat bölme işleminin tam cevabı kalanla birlikte okunmalıdır. Kalan sıfırsa A(x), B(x)'e polinom olarak tam bölünür. Kalan sıfır değilse A = BQ + R ilişkisi yine geçerlidir. Bir rasyonel ifade olarak yazmak isterseniz B(x)'in sıfır olmadığı x değerlerinde A/B = Q + R/B elde edilir. Bu, aracın bölenin köklerini bulduğu anlamına gelmez. Kök bulma veya rasyonel ifadenin tanım kümesini ayrı hesaplama bu aracın kapsamında değildir.

Kalan derece koşulu, ya kalanın sıfır olması ya da derecesinin bölenin derecesinden küçük olmasıdır. Kalanın katsayı büyüklükleri için bölenin katsayılarından küçük olma zorunluluğu yoktur. Tam sayı bölmesindeki kalan büyüklüğü kuralını polinomlara olduğu gibi taşımayın. Önemli olan derece ve özdeşliktir. Bu iki koşul, sıfır olmayan belirli bir bölen için bölüm ve kalanı belirler. Sonuçta hem “Bütün katsayılarda özdeşlik” hem “Kalan derece koşulu” satırlarını birlikte inceleyin.

Özdeşlik kontrolü yalnız seçilmiş bir x değerinde iki tarafı karşılaştırmak değildir. Bölen ile bölüm çarpılıp kalan eklendiğinde bütün kuvvetlerin katsayıları A(x)'in katsayılarıyla aynı olmalıdır. Tek bir sayısal noktada eşitlik sağlanması farklı polinomların eşitliğini tek başına kanıtlamaz. Araç bütün katsayılarda bu ilişkiyi kontrol eder. Sonucu başka bir çalışma sayfasına aktarırken bölüm ve kalan terimlerinin işaretlerini, eksik kuvvetlerini ve kesirlerini koruyun; kısaltılmış ondalıklar aynı özdeşliği kesin olarak taşımayabilir.

Bölünen sıfır, bölen sıfırdan farklıysa bölüm de kalan da sıfırdır. Bu durumda çıkarma adımı gerekmez ve adım tablosu boş kalabilir. Bölenin kendisi sıfırsa işlem kabul edilmez; bunun geçerli bir bölüm ve kalanı yoktur. Baştaki sıfırların kaldırılmasıyla sıfır hale gelen bir bölen de aynı biçimde reddedilir. Yalnız yazımda birden fazla katsayı bulunması, sıfır olmayan bir bölen oluşturmaz. Sonuç beklenmediğinde önce normalleştirilmiş B(x) ifadesini kontrol edin.

Bölen sıfırdan farklı sabitse her A katsayısı bu sabite bölünür ve kalan sıfır olur. Bölenin derecesi sıfır olduğundan sıfırdan farklı bir kalanın daha küçük derecede olması mümkün değildir. Bölünenin derecesi böleninkinden küçükse ise bölüm sıfır, kalan doğrudan A(x)'tir. Bu ikinci durumda da uzun bölme çıkarma adımı gerekmez. Boş adım tablosu burada hesap eksikliği değildir; başlangıçtaki polinom zaten kalan derece koşulunu sağlamaktadır. Sıfır bölümü, bölümün derecesi tanımsız açıklamasıyla birlikte okuyun.

Her polinomu en yüksek dereceden sabit terime sıralayın; eksik kuvvetlere 0 yazın. Katsayıları noktalı virgülle ayırıp A ve B alanlarına yerleştirin; bölenin sıfır olmadığını kontrol edin. Bölüm, kalan ve uzun bölme adımlarını birlikte okuyun. A = BQ + R özdeşliğinin bütün katsayılarda sağlandığını ve kalan derece koşulunu inceleyin.

İlk okumada gösterilen A(x) ve B(x)'in kendi ifadelerinizle aynı olduğundan emin olun. Yanlış derece görürseniz katsayı sırasını, eksik güçler için yazılan sıfırları ve sabit terimin yerini kontrol edin. Ardından ilk bölüm teriminin iki baş terimin bölümünden geldiğini inceleyin. Adım tablosunu yalnız cevapla aynı sonuca ulaşıp ulaşmadığını görmek için değil, işaret veya kuvvet hatasının hangi çıkarma sırasında oluştuğunu bulmak için kullanabilirsiniz. Kalan sıfır değilse bunu sonucun ayrılmaz parçası olarak kaydedin.

Başlangıçtaki sıfırları da katsayı listesine dahil ederek girin. Normalleştirmeden sonra gösterilen A ve B derecelerini kendi polinomunuzla karşılaştırın. A sıfırsa veya derecesi B’den küçükse boş adım tablosunu doğal sonuç olarak okuyun. Sıfır polinomun derecesinin tanımsız olduğunu, kalan polinomla birlikte kaydedin.

Baştaki sıfırlar yalnız eksik yüksek kuvvetlerdir; içteki sıfırların silinebileceği anlamına gelmez. Bu ayrımı yaptıktan sonra sıfır bölünen, sabit bölen ve kısa derece durumlarını normal uzun bölmeden ayırmak kolaylaşır. Bir örneği elle karşılaştırırken tanımsız dereceyi sıfır dereceyle eşitlemeyin. Çıkarma adımı bulunmaması da her durumda sıfır kalan demek değildir: kısa dereceli A için kalan A'nın kendisidir. Sonuç satırları bu farklı durumları bölüm, kalan ve dereceler üzerinden açıkça belirtir.

Girdideki büyüklük ve kesir sınırları hesap sonucunun aynı sınırlar içinde kalacağını söylemez. Çok küçük ama sıfır olmayan bir katsayıya bölmek büyük bir bölüm katsayısı verebilir. Ardışık çarpma ve çıkarmalar da daha büyük paylar veya paydalar oluşturabilir. Kesin sonuçlar giriş sınırını aştığı için kırpılmaz; sadeleştirilmiş kesir olarak gösterilebilir. Böyle bir katsayının tekrar girişe yazılması aynı sınırlar nedeniyle kabul edilmeyebilir. Sonucun büyüklüğü ile yeni girdinin kabul koşulları farklıdır; ikisini birbirine karıştırmayın.

Hesaplayıcı kullanıcı girdilerini veya sonuçlarını ağ üzerinden göndermez. Her hesap yalnız o anda verilen iki katsayı listesini kullanır; önceki polinomların katsayıları yeni hesaba eklenmez. Sonucu saklamak veya paylaşmak isterseniz A, B, Q ve R ifadelerini birlikte koruyun. Yalnız bölüm, sıfır olmayan kalan bilgisini kaybettirebilir. Bu araç kökleri, karmaşık çözümleri veya genel bir cebir ifadesinin değerini üretmez. Uzun bölme yerine sentetik yöntem seçimi de ayrı bir çıktı olarak sunulmaz; gösterilen adımlar uzun bölme ilişkisidir.

Yöntem için Jay Abramson'un OpenStax tarafından yayımlanan [Algebra and Trigonometry 2e, 5.4 Dividing Polynomials](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/5-4-dividing-polynomials) bölümü esas alınmıştır. Başvurulan içerik uzun bölme, bölme özdeşliği ve ilgili atıf notlarıdır; kitabın tamamının okunduğu iddia edilmez. Rehberdeki açıklamalar ve aşağıdaki üç örnek özgün hazırlanmıştır. Kaynağın anlatımı, tabloları, şekilleri veya kodu aktarılmamıştır. Sıfır bölünen, sabit bölen ve düşük derece davranışları bu aracın açıkça belirtilen hesap kapsamıyla birlikte sunulur.

Kitabın yayın tarihi 21 Aralık 2021, bu kaynağa erişim tarihi 18 Ekim 2026'dır. İlgili bölüm 12:56:33–12:57:37 UTC erişim aralığında okunmuştur; erişim zamanı yayın tarihi yerine kullanılmaz. Kaynakta gösterilen lisans [CC BY-NC-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/) olarak korunur; Jay Abramson ve OpenStax atfı bu bilgiyle birlikte verilir. Bu atıf ticari kullanım izni verildiği veya kaynağın içeriğinin sınırsız biçimde yeniden yayımlanabileceği anlamına gelmez. Kaynak lisansının özgün hesap koduna otomatik uygulandığı da ileri sürülmez.

Bu rehber matematiksel yöntemin özgün açıklamasını sunar; kaynak örnekleri, çalışma protokolü veya başka bir hazır çözüm kopyalanmamıştır. Kaynağa bağlantı verilmesi kitabın yazarı veya yayınevinin bu aracı onayladığı anlamına gelmez. Polinom katsayıları için verilen kesin hesap ile bir dersin değerlendirme ölçütleri ayrı konulardır. Çözümü kendi çalışmanızda kullanırken girdi polinomlarını, kalan koşulunu ve özdeşliği birlikte koruyun.

A ve B alanlarına aşağıdaki katsayı listelerini aynen girin. Katsayı sırası en yüksek dereceden sabit terime doğrudur.

Sonuç kartı: Bölüm Q(x): 2 x + 3.

Uzun bölme adımları:

İlk adımda 2 x² terimi x'e bölünür ve bölüme 2 x eklenir. Bölenle çarpım 2 x² − 2 x olur; bu çarpım çıkarıldığında 3 x − 3 kalır. İkinci adım bölüme 3 ekler ve kalan sıfırlanır. Böylece bölüm 2 x + 3'tür. Kalan sıfır olduğu için tam bölünme vardır; sıfır kalanın derecesi tanımsız gösterilir. Çarpımı geri kurduğunuzda (x − 1)(2 x + 3) başlangıçtaki 2 x² + x − 3'ü verir.

A ve B alanlarına aşağıdaki katsayı listelerini aynen girin. Katsayı sırası en yüksek dereceden sabit terime doğrudur.

Sonuç kartı: Bölüm Q(x): (1/2) x − 1/4.

Uzun bölme adımları:

Bölünenin eksik x terimi girişte sıfırla korunmuştur. İlk bölüm terimi (1/2) x'tir; çıkarma sonunda -(1/2) x + 1 kalır. İkinci bölüm terimi -1/4 olduğunda kalan 5/4 olur. Kalan sabit olduğundan derecesi sıfırdır ve birinci derecedeki böleninkinden küçüktür. Sonuç tam kesirlerle korunur: (2 x + 1) × [(1/2) x − 1/4] + 5/4 ifadesi x² + 1'e eşittir. Sıfır olmayan kalan, bölümün yanında mutlaka kaydedilmelidir.

A ve B alanlarına aşağıdaki katsayı listelerini aynen girin. Katsayı sırası en yüksek dereceden sabit terime doğrudur.

Sonuç kartı: Bölüm Q(x): 0.

Uzun bölme adımları:

A listesinin başındaki iki, B listesinin başındaki bir sıfır kaldırılır. Gerçek polinomlar A(x) = 2 x + 3 ve B(x) = x² + 1'dir. A'nın derecesi daha küçük olduğundan bölüme eklenecek terim yoktur; Q(x) sıfır ve R(x) doğrudan A(x) olur. Adım gerekmediği için aşağıdaki adım tablosu yalnız başlıkları içerir. Bu boşluk eksik hesap değildir. Özdeşlik B(x) × 0 + A(x) = A(x) olarak sağlanır; kalan derecesi de böleninkinden küçüktür.