Bir sıra oluştururken kaç farklı sonuç elde edilebileceğini hesaplamak için seçenek sayısını, doldurulacak konum sayısını ve tekrar kuralını belirleyin. Bu araç, birbirinden ayırt edilebilir n seçenekle r konumlu sıraları sayar. Tekrar yoksa aynı seçenek bir sırada en fazla bir kez kullanılabilir. Tekrar serbestse her konumda aynı n seçenek yeniden kullanılabilir. Sonuç tam sayı olarak, bütün basamakları korunarak verilir.
Formdaki başlangıç örneğinde on farklı seçenekten üç konum doldurulur ve tekrar yoktur. İlk konum için on, ikinci konum için dokuz, üçüncü konum için sekiz seçenek kalır. 10 × 9 × 8 = 720 farklı sıra vardır. Burada sıranın değişmesi yeni bir sonuç oluşturur. A, B, C ile C, B, A aynı seçenekleri içerse de iki farklı sıralama sayılır.
Önce sayımın sorusunu doğru kurun
n, farklı seçeneklerin sayısıdır. r, oluşturulacak sıradaki konum sayısıdır. İkisini birbirinden ayırın: sekiz kişiden üç farklı görevi doldurmak istiyorsanız n sekiz, r üçtür. Bütün sekiz kişinin sırasını belirlemek istiyorsanız r de sekiz olur. Bir listedeki toplam kayıt sayısı, kayıtların gerçekten farklı seçenekler olup olmadığı kontrol edilmeden n olarak kullanılmamalıdır.
Sıra veya roller sonucun bir parçasıysa permütasyon modeli uygundur. Başkan, yardımcı ve yazman görevlerini üç farklı kişiyle doldururken görevlerin yerini değiştirmek sonucu değiştirir. Buna karşılık aynı üç kişiyi hiçbir rol vermeden bir gruba almak sırasız seçimdir. Bu durumda Kombinasyon aracıyla çalışmak gerekir. Sorunun “seçmek” kelimesini içermesi tek başına hangi modelin doğru olduğunu belirlemez; sonucun hangi farkları ayrı saydığını düşünün.
Bu form yalnız sayı verir. Bütün sıraları listelemez, bir sıra çekmez ve seçenekler arasında tavsiye üretmez. Örneğin 720 sonucu, o sıralardan hangisinin tercih edilmesi gerektiğini söylemez. Belirli bir rastgele seçim istiyorsanız Rastgele Seçim aracının kapsamını ayrıca inceleyin. Sayım, tercih, çekiliş ve olasılık farklı sorulardır; aynı seçenek havuzunu kullanmaları bu amaçları eşitlemez.
Tekrar yokken seçenek sayısı azalır
“Tekrar yok” seçeneğinde kullanılan bir öğe sonraki konumlara yeniden yerleştirilemez. n seçenekten r konum doldurmanın sayısı P(n,r) = n!/(n−r)! olarak yazılır. Aynı sayı n × (n−1) × … × (n−r+1) çarpımıdır. Çarpımdaki terim sayısı r'dir. Örneğin 7 seçenek ve 2 konum için 7 × 6 = 42 sıra bulunur; son terim beş değildir, çünkü yalnız iki konum doldurulur.
Bu modelde r, n'den büyük olamaz. Dört farklı öğe varsa tekrar olmadan beş konumu doldurmak mümkün değildir. Form r alanını işaretleyerek bu uyumsuzluğu açıklar. Seçenek sayısını artırmak veya konum sayısını azaltmak ancak gerçek sorunuz değişiyorsa doğru düzeltmedir. Gerçekte tekrar serbestse uygun modeli seçebilirsiniz. Yalnız hata mesajını kaldırmak için tekrar kuralını değiştirmek başka bir soruyu hesaplatır.
Konumlara aynı koşulların uygulanması gerekir. İlk konum için yalnız iki aday, diğerleri için farklı havuzlar bulunuyorsa tek n değeri bu yapıyı anlatmaz. Benzer biçimde belirli iki kişinin yan yana gelmesi, bir seçeneğin sona konması veya bazı seçeneklerin birlikte kullanılamaması burada otomatik uygulanmaz. Bu tür kısıtlı sorularda sayımın ayrı durumlara bölünmesi gerekebilir. Formun verdiği genel sayıyı özel koşullara doğrudan uyarlamayın.
Tekrar serbestken her konum aynı havuzu kullanır
“Tekrar serbest” seçeneğinde bir önceki seçim, sonraki konumun seçenek sayısını azaltmaz. Her konumda aynı n farklı seçenek bulunduğunda r konum için n^r sıra vardır. Dört seçenek ve beş konum örneğinde 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024 bulunur. Burada r'nin n'den büyük olması engel değildir; aynı seçenek birkaç konumda kullanılabilir.
Tekrar serbest, her seçeneğin mutlaka tekrar edileceği anlamına gelmez. A, B, C havuzundan iki konumlu sıralarda AA, AB ve BA ayrı sonuçlardır. Aynı seçenekli sıralar da farklı seçenekli sıralar da birlikte sayılır. Üç seçenek ve iki konum için toplam dokuz sıra vardır. “İki konumda mutlaka aynı seçenek olsun” gibi ek bir koşul, bu genel tekrarlı modelden farklıdır.
Havuzun bütün konumlarda aynı olması da önemlidir. İlk konumda harf, ikinci konumda yalnız rakam kullanılacaksa seçenek sayıları farklıdır. Ayrıca her seçenek sınırsız tekrar edilebilir kabul edilir. Bir türden yalnız iki adet varsa, üç konumda o türü kullanma olanağı gerçek stokla uyuşmaz. Bu form sınırlı stok bilgisi almadığından böyle bir kısıtı değerlendiremez. Sonucun anlamını tekrar kuralının gerçek durumla eşleşmesine göre belirleyin.
Üç küçük örneği birlikte kontrol edin
İlk örnekte n = 10, r = 3 ve tekrar yoktur. Sonuç 720'dir. Formda bu modeli seçip “Hesabı adım adım inceleyin” bölümünü açtığınızda azalan üç seçenek sayısını görürsünüz. Aynı n ve r değerleriyle tekrar serbest seçerseniz her konumda on seçenek kalır ve 10^3 = 1000 bulunur. Aradaki 280, tekrar içeren bazı sıraların da ikinci modelde sayılmasından gelir.
İkinci örnekte n = 4, r = 5 ve tekrar serbesttir. Sonuç 1024'tür. Aynı sayı çiftini tekrar yok modeliyle kullanmak geçerli bir giriş oluşturmaz. Bu örnek hem r'nin rolünü hem de iki modelin kabul ettiği aralığın farkını gösterir. Dört farklı sembolle beş konumlu bir kod düşünüyorsanız, her sembolün yeniden kullanılabildiği koşulu açıkça belirtin. Bu bir sayım örneğidir; kodun güvenliğini değerlendirmez.
Üçüncü örnekte n = 0 ve r = 0 kullanılır. Seçenek de doldurulacak konum da yoktur; tek boş sıra sayılır ve sonuç 1 olur. Bu bir, bir öğenin seçildiği anlamına gelmez. Boş bir sırayı oluşturmanın tek yolu hiçbir seçim yapmamaktır. Aynı örnek tekrarlı modelde de 1 verir. Sıfır seçenekten pozitif sayıda konum doldurmak ise ayrı bir durumdur.
Sıfır konum, sıfır seçenek ve 0! ayrımı
r = 0 olduğunda n ne olursa olsun tek boş sıra vardır. Tekrarsız formülde n!/n! = 1 çıkar. n de sıfır olduğunda 0!/0! kullanılır; 0! değeri 1'dir. Boş çarpımın bir sayılması, sırayı uzatma ilişkisiyle tutarlıdır: henüz konum doldurmamış olma durumu başlangıçtaki tek düzendir. Bu sınırı sıfır olasılık veya sıfır nesne seçiminin imkânsızlığıyla karıştırmayın.
n = 0 ve r > 0 ise doldurulacak konum bulunmasına rağmen kullanılabilecek seçenek yoktur. Tekrarlı model bu durumda geçerli sıra sayısını 0 verir. Tekrarsız modelde r > n giriş kuralı ihlal edildiğinden r alanı hata gösterir. İki davranışın farkı burada açıklanan ürün sözleşmesidir. Matematiksel olarak boş havuzla ilgili sayım düşüncesi ile formun kabul ettiği giriş aralığı aynı başlık altında sessizce birleştirilmez.
Tekrarlı modelin n^r yazımı, n = 0 ve r = 0 sınırında bütün matematikte 0^0 hakkında genel bir değer ataması değildir. Bu araç boş sıranın sayısını bir olarak tanımlar. Bir analitik limit sorusunda 0^0 biçiminin ele alınışı başka bir bağlamdır. Buradaki sonucu o tür bir soruya taşımayın. Bağlamın sıralı seçim sayımı olduğu hem girişte hem sonuç açıklamasında korunur.
Bütün seçenekleri sıralama ve faktöriyel bağlantısı
Tekrar olmadan r = n seçerseniz bütün farklı seçenekleri sıraya koyarsınız. P(n,n) = n!/0! = n! olur. Örneğin beş farklı seçenek için 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 sıra vardır. Bu davranış Faktöriyel aracındaki beş faktöriyel hesabıyla aynı sayıyı verir. Formdaki konum sayısını seçenek sayısına eşitlemek, kısmi sıralamayı bütün öğelerin sırasını belirleme sorusuna çevirir.
Tekrar serbestken r = n olması farklı bir davranıştır. Beş seçenekle beş konum için 5^5 = 3125 sıra bulunur. Bu sıralarda bazı seçenekler hiç kullanılmayabilir, bazıları birkaç kez kullanılabilir. Dolayısıyla sonuç beş farklı öğenin her birini bir kez sıralama sayısı değildir. Seçenek sayısıyla konum sayısının eşit olması, tekrar kuralını kendiliğinden ortadan kaldırmaz.
Kombinasyonla farkını somutlaştırın
Dört farklı seçenekten iki öğeyi tekrar olmadan sıralamak için 4 × 3 = 12 sonuç vardır. Aynı iki öğeyi sıra önemsiz bir grup olarak sayarsanız altı grup bulunur. AB ve BA, permütasyonda iki; kombinasyonda tek sonuçtur. Bu küçük örnek model seçimini kolaylaştırır. Genel tekrarsız durumda her r öğeli grubun r! sırası vardır; P(n,r) = C(n,r) × r! ilişkisi bu nedenle oluşur.
Tekrar içeren sırasız seçimle tekrarlı sıralı seçimi aynı formülle hesaplamayın. Örneğin iki tür ve üç adet için tekrarlı sıralı model sekiz sıra sayar. Sıra önemsizken bazı diziler aynı tür adetlerini temsil eder ve tek grup kabul edilir. Sıraları yalnız r!'e bölmek tekrarlı örneklerde genel bir çözüm oluşturmaz; aynı seçeneklerin tekrarları her grupta aynı miktarda olmayabilir. Sorunun saydığı nesneyi açıkça tanımlayın.
Aynı görünen nesneler ayrı bir model gerektirir
Bu formdaki n seçenek ayırt edilebilir kabul edilir. Aynı görünen etiketlerden oluşan sabit bir kutuyu sıralamak istiyorsanız hangi etiketten kaç tane bulunduğu önemlidir. Örneğin A, A, B içeren üç etikette görünen farklı sıralar AAB, ABA ve BAA'dır. Bu formda n = 3, r = 3 ve tekrar yok yazmak, etiketleri üç farklı öğe kabul ederek altı sayar. n = 2, r = 3 ve tekrar serbest yazmak ise sabit adet sınırını kaldırır ve sekiz sayar.
Bu iki girişten hiçbiri A, A, B'nin sabit adetli görünür sıralama sorusunu tam temsil etmez. Aynı görünen nesnelerin tekrar adetleri, dairesel düzen ve yan yana gelme gibi koşullar burada kapsam dışıdır. Bir adı birden fazla kayda yazmak veya öğeleri sonradan birleştirmek sayım modelini değiştirebilir. Önce seçeneklerin kimliklerini ve hangi farklılıkların gerçekten yeni sonuç kabul edildiğini belirleyin.
Girdi sınırları ve büyük sonuçlar
n ve r ayrı ayrı 0 ile 1000 arasında tam sayıdır. Negatif, kesirli, boş veya sınır dışı girişler ilgili alanda işaretlenir. Sayılar bu aralıkta kalsa da tekrarsız modelde r ≤ n koşulu ayrıca gerekir. Araç çok büyük sayıları yuvarlayarak kabul etmek veya sınırın üstündeki r değerini azaltmak yerine hata gösterir. Formu gerçek sayıma uygun bilgilerle düzeltin.
Sonuçlar tam sayı aritmetiğiyle hesaplanır. Tekrarlı modelin en büyük çıktısı 1000^1000 olup 3001 rakamdan oluşur; tekrarsız en büyük çıktı 1000! olup 2568 rakamdır. Sonuçtaki bütün rakamlar korunur. Basamak sayısı ayrıca verilir. Uzun değeri okurken sonuç alanını kaydırmanız gerekebilir; görünen ilk kısmı bütün sayı sanmayın. Sayıyı başka bir programa aktarırken o programın da uzun tam sayıları yuvarlamadan tuttuğunu kontrol edin.
Sonucu saklama ve paylaşma
Bir hesabı aktarırken n, r ve tekrar kuralını birlikte belirtin. “720” tek başına hangi sıraların sayıldığını açıklamaz. Sonuçla beraber seçeneklerin farklı kabul edildiğini ve sıranın önemli olduğunu yazmak karşılaştırmayı kolaylaştırır. Başta sıfır yasağı, sınırlı stok veya özel roller varsa bu koşulların modele dahil olmadığını hatırlayın. Doğru aritmetik, yanlış tanımlanmış bir sorunun sonucunu düzeltmez.
Ekran görüntüsü seçeneği mevcut giriş ve sonuç görünümünü saklamaya yardımcı olur. Çok uzun sonuçlarda görselde bütün rakamların okunup okunmadığını kontrol edin; görselden eksik bir sayı aktarmayın. Paylaşım bağlantısı hesaplama sayfasını açar, girdileri kendiliğinden bağlantıya eklemez. Sitenize ekleme seçeneği ziyaretçinin kendi sayılarıyla çalışacağı aracı sunar. Belirli bir hesabı iletmek için kullanılan sayıları ve model seçimini ayrıca paylaşın.