Medyan ve Mod Hesaplama: Medyan Nasıl Bulunur?

Verinizin ortası hangi soruya cevap veriyor?

Bir listeyi tek sayıyla özetlemek istediğinizde önce neyi öğrenmek istediğinizi belirleyin. Bir kafede sipariş hazırlama sürelerinin ortasında kalan süreyi arıyorsanız medyan işinize yarar. En çok tekrarlanan sipariş adedini arıyorsanız mod daha doğrudan cevap verir. İki ölçü aynı veriye bakar, fakat farklı özelliklerini anlatır. Medyan sıralamayı, mod tekrar sayısını esas alır. Birinin diğerinden büyük çıkması hesap hatası anlamına gelmez.

Medyan ve Mod aracı, yazdığınız sayıların sıralı ortasını bulur ve hangi değerlerin en sık görüldüğünü listeler. Sonuçta gözlem sayısını, farklı değer sayısını, en küçük ve en büyük değeri de görürsünüz. Frekans tablosu, özetin nasıl oluştuğunu kontrol etmenizi sağlar. Her sayı eşit ağırlıkla değerlendirilir. Aynı sayıyı üç satıra yazarsanız üç ayrı gözlem sayılır; tekrarlar temizlenmez.

Bir ölçümü özetlemekle o ölçüm hakkında karar vermek farklı işlerdir. Örneğin yedi teslimatın medyanı, girilen yedi teslimatın ortasını gösterir. Gelecek ayın teslimat süresini belirlemez. Listedeki kayıtların hangi dönemden geldiğini, eksik olup olmadığını ve aynı koşullarda ölçülüp ölçülmediğini sizin bilmeniz gerekir. Kullanışlı bir sonuç, doğru sayılar kadar doğru karşılaştırma grubuna da bağlıdır.

Sayıları forma nasıl yazmalısınız?

En okunaklı yöntem, her satıra bir sayı yazmaktır. Örneğin 9, 1, 4, 2 ve 2 değerlerini beş ayrı satıra yerleştirin. Ondalık sayı için Türkçe virgül kullanabilirsiniz: 2,5 bir gözlemdir. Virgül, gözlemleri birbirinden ayırmak için kullanılmaz. Aynı satırdaki birden fazla sayıyı ayırmanız gerekiyorsa noktalı virgül kullanın. 1; 2; 3 üç gözlem, 1,23 ise tek ondalık gözlemdir.

Boş satırlar hesaba katılmaz. Sayının başındaki ve sonundaki boşluklar kaldırılır; rakamların arasındaki boşluklar kaldırılmaz. Böylece 1 boşluk 2 yanlışlıkla 12 yapılmaz. Noktalı virgüller arasında boş bir bölüm bırakılırsa araç o satırı işaretler. 1;;2 yazmak yerine eksik değeri tamamlayın veya fazladan ayırıcıyı silin. Görünen satır numarası, aradaki boş satırlar dahil asıl metninizdeki yeri gösterir.

Sayılarla birlikte dakika, kilogram veya para birimi yazmayın. Bütün değerleri önceden aynı birime getirin. Bir satırdaki 90 saniyeyi başka satırdaki 2 dakikayla doğrudan birleştirmek, sıralamayı yanlış kurar. İkisini de saniye yazarsanız 90 ve 120; ikisini de dakika yazarsanız 1,5 ve 2 kullanın. Birimi sonuçla birlikte yorumlayın: sayılar dakika ise medyan da dakikadır.

Araç 1 ile 500 arasında sayı ve toplamda en fazla 40.000 metin birimi kabul eder. Her sayının mutlak büyüklüğü en fazla 1.000.000.000.000.000 olabilir. Sayıları 0–9 rakamlarıyla yazın; 1e3 biçimindeki üslü giriş, yüzde işareti ve harf kullanılmaz. Çok uzun ondalıklar sonlu sayı hassasiyetiyle okunur. Bu sınırlar, bir verinin anlamlı veya güvenilir olduğunu doğrulayan ölçütler değildir.

Tek sayıda gözlem varsa medyan

Medyanı bulmadan önce sayılar küçükten büyüğe sıralanır. Gözlem sayısı tek olduğunda ortada tek bir konum kalır. Konum numarası (n + 1) / 2 bağıntısıyla bulunur; sayım 1’den başlar. Beş gözlemde ortadaki konum üçüncü, yedi gözlemde dördüncü konumdur. Bu konumdaki değer medyandır. Başlangıçta yazdığınız satır sırası, sıralanmış verinin orta konumuyla karıştırılmamalıdır.

9, 1, 4, 2 ve 2 listesini ele alın. Küçükten büyüğe sıra 1, 2, 2, 4, 9 olur. Beş gözlem bulunduğu için üçüncü değer seçilir ve medyan 2 çıkar. Aynı 2 sayısının birden fazla bulunması sıralamayı bozmaz. Her kayıt kendi konumunda sayılır. Sonuç bölümündeki ortadaki gözlem satırı, medyanın hangi sayıdan geldiğini açıkça gösterir.

Medyanı açıklarken “yarısı kesin olarak küçük, yarısı kesin olarak büyük” demek, tekrar bulunan listelerde yanıltıcı olabilir. Bu örnekte medyandan küçük yalnızca 1 vardır; iki gözlem ise medyanın kendisine eşittir. Daha doğru okuma, sıralı verinin orta konumunu bulduğumuzdur. Medyanın iki yanında kalan konum sayıları dengelidir; değerlerin medyana eşit olması mümkündür. Eşitlikler normaldir ve atılmaz.

Çift sayıda gözlem varsa iki merkez kullanılır

Gözlem sayısı çift olduğunda ortada tek bir kayıt kalmaz. Bu araç sıralı listenin n / 2 ve n / 2 + 1 konumlarındaki iki gözlemin aritmetik ortalamasını medyan kabul eder. Örneğin dört gözlemde ikinci ve üçüncü değerler kullanılır. Medyan listede yazılı bir sayı olmak zorunda değildir. İki merkez arasındaki bir değer olması beklenen ve doğru bir sonuçtur.

10, 14, 30 ve 70 listesi zaten sıralıdır. İkinci değer 14, üçüncü değer 30’dur. Medyan (14 + 30) / 2 = 22 olur. Listedeki en küçük ve en büyük değerlerin ortalamasını almak ise (10 + 70) / 2 = 40 verir. Bu ikinci hesap medyan değildir; yalnızca uçların orta noktasını bulur. Araç merkez gözlemleri ayrı satırlarda göstererek bu iki işlemi ayırt etmenizi sağlar.

İki merkez gözlem aynıysa ortalamaları da o değerdir. Örneğin 1, 5, 5, 12 listesinde medyan 5’tir. Eksi sayılarla aynı yöntem uygulanır: −8, −4, 2 ve 20 için merkez değerler −4 ile 2, medyan −1 olur. Pozitif sonuç beklentisiyle eksi işaretlerini kaldırmayın. İşaret, ölçümün yönünü veya referans noktasına göre farkını anlatıyor olabilir.

Mod tek olabilir, birden fazla olabilir

Mod, sayısal veride en yüksek frekansa ulaşan değeri anlatır. Frekans bir değerin kaç kez yazıldığını gösterir. 1, 2, 2, 4, 9 listesinde 2 iki kez, diğer sayılar bir kez görülür. Bu nedenle mod 2, en yüksek frekans 2’dir. Modun sayısal büyüklüğü ile frekansı ayrı bilgiler olduğundan sonuçta ikisi ayrı satırlarda sunulur.

Birden fazla değer aynı en yüksek frekansa ulaşabilir. 4, 4, 9, 9 listesinde hem 4 hem 9 ikişer kez bulunur. İkisi de moddur; araç birini seçip diğerini gizlemez. Modlar küçükten büyüğe listelenir. Aynı listenin medyanı 6,5’tir. Böylece ortadaki konumun temsil ettiği değer ile en sık karşılaşılan değerlerin farklı olabileceğini somut olarak görürsünüz.

Bu araç tekrar esaslı bir mod gösterimi kullanır: bütün frekanslar 1 olduğunda “tekrarlanan değer yok — bu araçta mod yok” yazar. En yüksek frekans satırındaki 1, bu açıklamayla çelişmez; her sayının bir kez bulunduğunu bildirir. Farklı kaynaklar bütün eşit frekansları aday mod olarak listeleyebilir. Buradaki kural açıkça belirtilir; tekrar en az iki olduğunda aynı en yüksek frekansı paylaşan bütün değerler gösterilir.

Frekans tablosunu nasıl kontrol edersiniz?

Frekans tablosunun ilk sütunu farklı sayısal değerleri artan sırayla verir. İkinci sütun her değerin adet sayısıdır. Üçüncü sütun bu adedin bütün gözlemler içindeki yüzde payını, dördüncü sütun ise o satıra kadar biriken gözlem sayısını gösterir. Tablo ham kayıtları tek tek tekrarlamak yerine aynı değere ait kayıtları sayar. Toplam gözlem sayısı ile farklı değer sayısını bu nedenle ayırmak gerekir.

1, 2, 2, 4, 9 örneğinde frekanslar sırasıyla 1, 2, 1, 1’dir. Paylar %20, %40, %20, %20 olur. Birikimli frekans sütunu 1, 3, 4, 5 olarak ilerler. Son satırdaki birikimli frekans, sonuçta gösterilen toplam gözlem sayısına eşittir. Bu küçük kontrol, bir satırı eksik kopyaladığınızda veya yanlışlıkla iki kez eklediğinizde sorunu fark etmenize yardımcı olur.

Frekanslar eşitse tablodaki sıraya bakarak bir moda öncelik verilmez. Artan sıra yalnızca tabloyu okumayı kolaylaştırır. Yüzde paylarının ekranda yuvarlanmış karşılıklarını topladığınızda son basamakta küçük bir fark görebilirsiniz. Adetler tam sayıdır; toplamı kontrol etmek için frekans sütununu kullanın. Medyanın orta konumunu kontrol etmek için de birikimli frekansın o konumu hangi değerde geçtiğine bakabilirsiniz.

Tekrar, sıfır ve eksik kayıtlar

Sıfır geçerli bir sayıdır ve hesaba katılır. Bir gün hiç sipariş alınmadıysa, bunu saymak istediğiniz veri grubunda 0 yazmak anlamlı olabilir. Boş satır ise gözlem sayılmaz. Bu ikisini birbirinin yerine kullanmak hem medyanı hem modları değiştirebilir. Ölçüm yapılmayan bir günü 0’a çevirmek, o gün gerçekten sıfır ölçüldüğü iddiasını ekler. Eksik veriyi nasıl ele aldığınızı ayrıca belirleyin.

Aynı sayının tekrarı her zaman kayıt hatası değildir. Üç farklı müşterinin bekleme süresi 5 dakika ölçüldüyse üç 5 ayrı gözlemdir. Aynı müşteriye ait tek kaydı yanlışlıkla üç kez kopyaladıysanız veri hatası vardır. Araç bu iki durumu kendiliğinden ayıramaz. Frekans tablosu sayımı gösterir; ölçümlerin kimden ve nereden geldiğini değerlendirmez. Tekrar silme kararı veri toplama kuralınıza dayanmalıdır.

−0 ile 0 sayısal olarak aynı değerdir ve tek frekansta birleştirilir. Benzer biçimde 2,5 ile 2,50 aynı sayıdır. Yazımın farklı olması yeni bir ölçüm değeri oluşturmaz, ancak her dolu giriş yine bir gözlem ekler. Buna karşılık 2,5 ile 2,5001 farklıdır. Araç yakın değerleri bir tolerans aralığında otomatik toplamaz; ölçüm yuvarlaması gerekiyorsa o kararı hesaplamadan önce tutarlı biçimde uygulayın.

Ondalık hassasiyet ve çok küçük sayılar

Sayıların bilgisayardaki temsili sonlu hassasiyete sahiptir. Çok uzun ondalık girişlerin son basamakları okunurken yuvarlanabilir; farklı yazılmış iki uzun sayı aynı okunan değere dönüşebilir. Frekanslar bu okunan sayılar arasında tam eşitlikle sayılır. Sonucun bilimsel bir ölçüm için kullanıldığı durumlarda, cihazın ölçüm hassasiyetini ve veriyi hangi basamağa yuvarladığınızı ayrıca kaydedin. Daha çok rakam yazmak, ölçümün daha doğru olduğu anlamına gelmez.

Çok küçük sıfır olmayan değerler, ekranda sıfır gibi görünmemesi için bilimsel gösterimle sunulur. Örneğin 0,00000001 değeri 1E−8 biçiminde görülebilir. E−8, 10’un eksi sekizinci kuvvetiyle çarpma anlamındadır; negatif sayı işareti değildir. Değerlerin ve sonuçların gösterimi 17 anlamlı basamağa kadar çıkar. Bu, temsil edilen sayıyı görmeyi kolaylaştırır; sınırsız ondalık kesinliği sağlamaz.

Çift gözlemde iki merkez değer yarımları üzerinden toplanır. Bu işlem büyük sayıların ara toplamını gereksiz yere büyütmeden aynı ortalamayı verir. Hesaplanmış sayısal sonuç ile ekranda kullanılan ondalık gösterimi birlikte yorumlayın. Özellikle birbirine çok yakın büyük sayıları karşılaştırırken son basamaklara dikkat edin. Bu araç sembolik kesir sonucu, ölçüm belirsizliği veya keyfi uzunlukta kesin ondalık aritmetik sunmaz.

Aykırı değerleri yorumlamak

Bir uç gözlemin büyüklüğü değişse de orta konumlar aynı kaldığı sürece medyan değişmeyebilir. 3, 4, 5, 6, 100 listesinde medyan 5’tir. Son değer 1000 olduğunda da aynı sıralı orta 5 kalır. Bu özellik medyanı, uç büyüklüklerden aritmetik ortalamaya göre daha az etkilenen bir özet yapar. Ancak kayıt eklemek, silmek veya orta konumun üzerinden taşımak medyanı değiştirebilir.

Medyanın değişmemesi, uç gözlemin önemsiz olduğu sonucunu vermez. Bir teslimatın çok uzun sürmesi işletme açısından ayrıca incelenebilir. Sonuçtaki en küçük ve en büyük değerler uçları görmenizi sağlar, fakat otomatik bir aykırı değer testi oluşturmaz. Araç bütün geçerli kayıtları kullanır. Bir kaydı dışarıda bırakacaksanız nedeni ölçüm hatası, farklı dönem veya başka bir açık veri kuralı olmalıdır.

Mod da ölçüm biçiminden etkilenir. Süreleri tam dakika yuvarlamak daha fazla tekrar oluşturabilir; aynı süreleri saniye hassasiyetiyle ölçmek farklı değer sayısını artırabilir. Bu nedenle mod bulunamaması, veride hiçbir yoğunlaşma olmadığı anlamına gelmez. Burada sınıf aralıklarıyla histogram kurulmaz ve yoğunluk tepesine göre mod tahmin edilmez. Tek tek girilmiş sayıların frekansı hesaplanır; gruplu veride başka bir yöntem gerekir.

Sonucu karşılaştırırken kontrol sırası

Önce toplam gözlem sayısını beklediğiniz kayıt sayısıyla karşılaştırın. Ardından minimum ve maksimumun kullandığınız birimle makul olup olmadığını kontrol edin. Medyanın sıralı konumu ile merkez gözlem satırlarını inceleyin. Son olarak frekans tablosunda tekrarların beklediğiniz gibi sayıldığını doğrulayın. Bu sıra, yalnızca büyük sonuç rakamına bakıp veri girişindeki bir hatayı kaçırma ihtimalini azaltır.

İki dönemi kıyaslıyorsanız aynı ölçüm türünü, aynı birimi ve benzer kayıt seçimini kullanın. Bir dönemde yalnız tamamlanan siparişleri, diğerinde iptal edilenleri de saymak adil bir karşılaştırma olmayabilir. Medyan farkı tek başına hangi koşulun değiştiğini açıklamaz. Kayıt sayısını ve modların dağılımını da görün; mümkünse ham verinin tanımını birlikte saklayın. Bu araç tanımlayıcı bir özettir ve neden sonuç ilişkisi kurmaz.

Hesaplama tamamlandıktan sonra ekran görüntüsü seçeneğiyle form ve sonucu birlikte kaydedebilirsiniz. Görselde yazdığınız değerlerin bulunabileceğini dikkate alın. Paylaşım seçeneği araç bağlantısını, siteye ekleme seçeneği ise hesaplayıcıyı yerleştirmek için gerekli kodu verir. Bir başkasının sonucu yeniden üretmesi gerekiyorsa verileri ve birimi ayrıca güvenli biçimde iletin; araç bağlantısı tek başına sizin ölçüm listenizi açıklamaz.