Bir örneklemin ortalaması, anakütlenin ortalamasını tahmin etmek için tek bir merkez değer verir. Güven aralığı bu merkezin çevresinde bir alt ve üst sınır kurar. Bu araç, anakütle standart sapmasının gerçekten bilindiği ve gözlemlerin bağımsız normal dağılım modelinden geldiği durumda ortalama için iki taraflı Z aralığını hesaplar. Örneklem ortalamasını, bilinen standart sapmayı, gözlem sayısını ve güven düzeyini birlikte girin.

Ana sonuç hata payıdır. Hata payı örneklem ortalamasından çıkarıldığında alt, eklendiğinde üst sınır bulunur. Form ayrıca ortalamanın standart hatasını, toplam aralık genişliğini ve merkez ± pay gösterimini verir. Ortalama, standart sapma, hata payı ve sınırlar aynı ölçüm birimindedir. Sonuç hangi anakütleyi, hangi örnekleme yöntemini veya hangi birimi kullandığınızı kendiliğinden belirlemez; hesabı bu bilgilerle birlikte değerlendirin.

Bilinen σ ile örneklemden hesaplanan s aynı değildir

Anakütle standart sapması σ, anakütledeki gözlemlerin değişkenliğini anlatır. Burada bu büyüklük bilinen bir model girdisidir. Aynı örneklemden hesaplanan standart sapma s ise σ için bir tahmindir. s değerini bu alana yazıp gerçekten bilinen σ gibi kullanmak yöntemin varsayımını değiştirir. Form yalnız sayıdan bu ayrımı anlayamaz; standart sapma bilgisinin nereden geldiğini sizin kontrol etmeniz gerekir.

σ bilinmiyorsa ortalama aralığı için Student t yöntemi ayrı değerlendirilir. Bu araç o yöntemi seçmez ve s değerini otomatik olarak başka bir katsayıyla düzeltmez. Büyük bir gözlem sayısı da yazılan s'yi bilinen anakütle σ bilgisine dönüştürmez. Standart Sapma aracından çıkan bir örneklem değeriyle çalışıyorsanız hangi büyüklüğü aktardığınızı açıkça belirtin; aynı adı taşıyan sayılar aynı model bilgisi değildir.

Bağımsız normal gözlemler varsayımı

Bu modelde gözlemler aynı anakütleden, birbirinden bağımsız ve normal dağılımlı kabul edilir. Böylece örneklem ortalaması normal dağılıma ve σ/√n standart hatasına sahiptir. Gözlem sayısının bir olması formülün hesaplanmasına engel değildir; ancak normal anakütle ve gerçekten bilinen σ varsayımları yine gerekir. Formun n=1 kabul etmesi verinin koşullarını doğruladığı anlamına gelmez.

Aynı kişide tekrar ölçümleri, aynı kümeye ait kayıtlar veya zaman içinde birbirini etkileyen gözlemler bağımsız olmayabilir. Bunları daha çok satır var diye bağımsız n olarak saymak, aralığı gereğinden dar gösterebilir. Araç kümelenme, zaman ilişkisi veya ağırlıklı örneklem bilgisi almaz. Ham verinin normal dağılıma uyumunu da sınamaz. Özet girişlerin arkasındaki veri düzenini hesabın dışında ayrıca belirleyin.

Standart hata ile hata payını ayırın

Ortalamanın standart hatası SE=σ/√n'dir. σ tek gözlemlerin değişkenliğini, SE ise bağımsız örneklemlerin ortalamalarının değişkenliğini ifade eder. Aynı σ ile n arttıkça standart hata küçülür. Örneğin σ=15 ve n=100 için SE=15/10=1,5 olur. Bu değer, gözlemlerin tek tek standart sapmasının 1,5 olduğu anlamına gelmez; anakütle σ değeri hâlâ 15'tir.

Hata payı E=z×SE=zσ/√n'dir. z katsayısı seçtiğiniz iki taraflı güven düzeyine bağlıdır. Standart hata ile hata payı bu nedenle farklı özetlerdir. Standart hata 1,5 olsa da yüzde 95 düzeyinde hata payı yaklaşık 2,93994597681 çıkar. Alt ve üst sınırda çıkarılacak veya eklenecek değer standart hatanın kendisi değil, bu hata payıdır.

İki taraflı güven düzeyi nasıl kurulur?

İki taraflı aralıkta standart normal dağılımın merkezinde seçilen pay bırakılır; dışarıda kalan pay iki kuyruğa eşit bölünür. Yüzde 95 için merkez 0,95, toplam dış pay 0,05 ve her kuyruk 0,025 olur. Kullanılan pozitif z, üst sınırda birikimli olasılığı 0,975 yapan yaklaşık yüzdelik değeridir. Tek taraflı sınırda kuyruk hesabı farklıdır; bu form onu hesaplamaz.

Yüzde 90, 95 ve 99 için z katsayıları sırasıyla yaklaşık 1,64485362695, 1,95996398454 ve 2,57582930355'tir. Bunlar yuvarlanmış sayısal yaklaşımlardır. Aynı ortalama, σ ve n ile güven düzeyini artırdığınızda z ve hata payı büyür; aralık genişler. Ortalamanın merkezi değişmez. Daha yüksek düzey, aynı verilerle daha dar aralık vermez.

Güven düzeyini tek aralığa olasılık gibi yüklemeyin

Güven düzeyi yöntemin tekrar örneklemdeki kapsama davranışını anlatır. Aynı koşullarda çok sayıda bağımsız örneklem alıp aynı yüzde 95 yöntemiyle aralıklar kurduğunuzu düşünün. Uzun dönemde bu aralıkların yaklaşık yüzde 95'i sabit anakütle ortalamasını kapsar. Her yüz örneklemde tam doksan beş başarılı aralık bulunacağı garantisi verilmez; oran tekrarlar boyunca yönteme aittir.

Hesaplanmış belirli bir aralık sabit ortalamayı ya içerir ya içermez. Bu aralık için “anakütle ortalaması yüzde 95 olasılıkla içindedir” ifadesi burada kullanılan sıkçı yorumu doğrudan anlatmaz. Daha açık bir aktarım, kullanılan yöntemi ve düzeyi belirterek anakütle ortalaması için tahmin edilen sınırları vermektir. Güven düzeyi, gözlemlerin yüzde kaçının bu dar aralıkta bulunacağını da söylemez.

Varsayılan örnek: 100 merkezi ve yüzde 95 aralık

Örneklem ortalaması 100, bilinen anakütle σ değeri 15 ve n=100 olsun. Standart hata 1,5; yüzde 95 z katsayısıyla hata payı yaklaşık 2,93994597681'dir. Alt sınır yaklaşık 97,0600540232, üst sınır yaklaşık 102,939945977 olur. Toplam genişlik yaklaşık 5,87989195362'dir. Formda hata payı ile iki uç aynı görünüm içinde ayrı etiketlerle gösterilir.

Bu hesapta kullanılan birim örneğin dakika ise bütün bu değerler dakikadır. Gözlem sayısı ve z katsayısı ölçüm değeri değildir. Örneği aktarırken “100±2,93994597681” yazımının hangi birime ve hangi yüzde düzeyine ait olduğunu belirtin. Yalnız 2,94 demek hem birimi hem yöntemi kaybettirir. Gösterilen çok sayıda basamak da başlangıçtaki ölçümlerin bu kadar hassas olduğunu kendiliğinden kanıtlamaz.

Büyük merkez yanında küçük pozitif pay

İkinci örnekte ortalama 10¹², σ=0,00000001 ve n=100 kullanılır. Yüzde 95 hata payı yaklaşık 1,95996398454E-9'dur. Pay pozitiftir; kuramsal aralık merkezin biraz altında ve üstündedir. Ancak çok büyük merkezin yanına bu küçük fark eklendiğinde sıradan sayısal karşılık iki ucu da aynı merkeze yuvarlayabilir. Bu, σ'nın sıfır olduğu anlamına gelmez.

Form bu durumda alt sınırı “örneklem ortalaması − pay”, üst sınırı “örneklem ortalaması + pay” olarak gösterir. Merkez ± pay özeti ve toplam pozitif genişlik korunur. Böylece iki kısa değerin aynı görünmesi, yanlış bir noktasal aralık gibi sunulmaz. Bilimsel yazımdaki E-9, on üzeri eksi dokuz çarpanıdır; küçük payı okumak için sıfırların sayısını tahmin etmenize gerek kalmaz.

Kısa yazım da farklı uçları aynı gösterebilir

Sayısal karşılıkların kendisi farklı olsa bile on iki anlamlı basamaklı görünüm küçük farkı gizleyebilir. Örneğin çok büyük bir merkez ve daha küçük ama hesaplanabilir bir payla, iki uç kısa yazımda aynı sayıya yuvarlanabilir. Form yalnız uçların sayısal eşitliğini değil, kısa görünümdeki birleşmeyi de dikkate alır. Gerekirse yine merkezden çıkarılan ve eklenen pay ayrı gösterilir.

Bu yaklaşım yeni bir istatistiksel yöntem değildir; aynı aralığın daha açık yazımıdır. Pozitif σ ile kuramsal genişlik pozitiftir. Bir hesap tablosuna sınırları aktarırken o programın sayı ve görünüm hassasiyetini de kontrol edin. Görüntüdeki yuvarlanmış uçların farkını alıp sıfır genişlik bulmak, burada hesaplanan hata payını veya modeldeki değişkenliği ortadan kaldırmaz.

σ=0 gerçek noktasal model sınırıdır

Üçüncü örnekte ortalama 7, σ=0 ve n=1 kullanılır. Standart hata, hata payı ve toplam genişlik sıfır olur; alt ve üst sınır 7'dir. Bu noktasal aralık, modelde değişkenliğin olmadığı girdi varsayımından gelir. Güven düzeyini değiştirmek sıfırla çarpılan hata payını büyütmez. Sonuç, ölçümlerin hatasız olduğunu veya gerçek anakütle bilgisinin doğrulandığını söylemez.

Örneklemde bütün değerlerin aynı olması tek başına anakütle σ değerinin kesin sıfır olduğuna kanıt değildir. Aynı görünen sonuç uçları da böyle bir kanıt oluşturmaz. σ=0 varsayımı ile pozitif σ'nın yuvarlama nedeniyle dar görünmesi ayrı durumlardır. Formun noktasal açıklaması yalnız gerçekten sıfır girilen standart sapmaya dayanır; küçük pozitif değer sessizce bu duruma çevrilmez.

Bu sınırın aritmetik çıktısı, pozitif σ normal modelindeki tekrar örneklem güven yorumuyla aynı iddia değildir. Seçilen yüzde noktasal varsayımın doğruluğuna veya kapsamasına garanti vermez. Bir sıfır değerin gerçekten bilinen anakütle bilgisi olup olmadığı kullanıcı girdisinden doğrulanmaz.

Çok küçük standart sapma ve gösterim sınırı

Pozitif σ ile n sonlu ve z pozitif olduğundan kuramsal hata payı pozitiftir. Çok küçük değerlerin ara standart hata hesabında kaybolmasını önlemek için çarpanlar korunur. Standart hatanın kısa sayısal karşılığı sıfıra yuvarlansa bile hata payı gösterilebilir durumda kalabilir. Bu durumda standart hatanın bilimsel yazımı korunur ve hesapta gerçek sıfır gibi kullanılmaz.

Ana hata payının kendisi sıfıra yuvarlanacak kadar küçükse standart sapma alanında açıklayıcı hata gösterilir. Ölçüm birimini, σ değerini ve gözlem sayısını birlikte kontrol edin. Birim değiştiriyorsanız ortalama ile σ'yı aynı ölçekle dönüştürmeniz gerekir. Çok küçük sonuçlarda gösterilebilir sayıların aralığı genişler; yaklaşık görünümün bütün basamaklarının sıradan sayısal karşılıkta tutulduğu iddia edilmez.

Girişleri hazırlama ve kapsamı kontrol etme

Ortalama −10¹² ile 10¹², bilinen σ sıfır ile 10¹² arasındadır. Gözlem sayısı 1–1.000.000.000 aralığında tam sayı olmalıdır. Negatif ortalama kabul edilir; negatif standart sapma kabul edilmez. Sayı alanına yüzde veya ölçüm birimi eklemeyin. Güven düzeyini listeden seçin. Form girdi değerlerini sonlu sayıya dönüştürdüğü için sınırsız kaynak basamağını bir ölçüm kaydı gibi tutmaz.

Bu araç tek bir gelecekteki gözlemin tahmin aralığı, bir oran için güven aralığı veya tek taraflı sınır vermez. Sonlu anakütle düzeltmesi, ağırlıklı ve bağımlı gözlemler, normalite testi ve bilinmeyen σ modeli kapsam dışıdır. Oran İçin Örneklem Büyüklüğü aracı farklı bir planlama sorusunu ele alır; buradaki ortalama hata payını yüzde puan hatası gibi kullanmayın.

Dar aralık bütün belirsizlikleri kapsamaz

Hata payı bu modelde örneklem ortalamasının değişkenliğini ele alır. Örneklemin nasıl seçildiğinden gelen yanlılığı, yanlış anakütle tanımını veya ölçümdeki sistematik kaymayı ayrıca hesaplamaz. Bu sorunlar varken gözlem sayısını artırmak formülün payını küçültebilir; fakat başka bir soruya ait veriyi doğru anakütlenin temsilcisine dönüştürmez. Dar aralığı yorumlamadan önce örneklemin hangi soruyu cevapladığını belirleyin.

Aynı nedenle görünen ondalık basamakları veri kalitesiyle eşitlemeyin. Ortalama ve σ'nın hangi çözünürlükte ölçüldüğü, bilinen σ bilgisinin hangi koşullarda geçerli olduğu ve gözlemlerin aynı düzeni temsil edip etmediği ayrıca önemlidir. Form bu bilgiler için yeni bir doğruluk puanı üretmez. Sonuç matematiksel olarak değerli olsa da aktarımda yöntem koşullarını belirtmek aralığın anlamını korur.

Sonucu aktarırken koşulları da saklayın

Bir hesabı paylaşırken örneklem ortalaması, bilinen σ, bağımsız gözlem sayısı, güven düzeyi ve ölçüm birimini birlikte verin. Anakütlenin ve örnekleme koşullarının kısa tarifi sonucun anlamını korur. Aynı sayılar farklı birime veya farklı anakütleye ait olduğunda aynı araştırma sorusunu temsil etmez. Ekrandaki aralık tek başına örneklemin nasıl seçildiğini anlatamaz.

Ekran görüntüsü mevcut giriş ve sonuç görünümünü saklamaya yardımcı olur. Paylaşım bağlantısı hesaplama sayfasını açar ve girdileri kendiliğinden bağlantıya eklemez. Sitenize ekleme seçeneği ziyaretçinin kendi özetleriyle çalışacağı aracı sunar. Küçük pay nedeniyle merkez ± pay gösterimi kullanıldıysa bu açıklamayı da aktarın; iki aynı görünen sınırın yanlışlıkla σ=0 diye yorumlanmasını önleyin.