Ağda En Kısa Yol

Bu araç, sizin tanımladığınız yönlü bir ağda seçtiğiniz başlangıçtan hangi düğümlere ulaşılabildiğini ve her birine giderken elde edilebilecek en düşük toplam ağırlığı bulur. Ayrıca seçilen tek hedef için bu toplamı sağlayan bir yol gösterir. Burada düğüm bir bağlantı noktası, kenar ise belirli yönde kullanılabilen bağlantıdır. Ağırlık, o bağlantıyı kullanmanın sayısal karşılığıdır. Yolun ağırlığı üzerindeki kenarların ağırlıkları toplanarak bulunur. En kısa sözü bu toplamla ilgilidir; haritada kısa mesafe, az sayıda bağlantı veya az zamanda ulaşma anlamını kendiliğinden taşımaz. Sayıların neyi temsil ettiğini ve birlikte toplanabilir olup olmadığını kullanıcı belirler.

Bir başlangıç ve bir hedef seçilse de hesap yalnız hedefle sınırlı değildir. Beyan edilen bütün düğümlerin başlangıca göre uzaklıkları değerlendirilir. Hedef, bu genel sonucun içinden hangi tek yolun ayrıca gösterileceğini belirler. Aynı ağı ve başlangıcı koruyup yalnız hedefi değiştirmek diğer düğümlerin en düşük toplamlarını değiştirmez. Sonuçta bütün alternatif yolların listesi veya kaç farklı en kısa yol olduğu bulunmaz. Gösterilen yol, girilmiş özgün kenarlarla kurulmuş bir örnektir. Başka eşit ağırlıklı yolların bulunması mümkündür; tek yol gösterilmesi onun benzersiz olduğunu kanıtlamaz.

Önce Düğümler alanında kullanacağınız bütün kimlikleri, her satıra bir tane gelecek biçimde yazın. Bağlantısı olmayan düğümleri de bu listede tutabilirsiniz. En az bir, en çok 100 düğüm bulunabilir. Kimlik bir İngilizce harfle başlamalı; devamında İngilizce harf, rakam, alt çizgi veya kısa çizgi kullanılmalıdır. Uzunluğu en çok 16 karakterdir. Büyük ve küçük harfler farklı kabul edilir. Aynı kırpılmış kimliğin iki kez yazılması geçerli değildir. Araç kimlikleri alfabetik sıraya koymaz veya benzer yazımları birleştirmez. Kimlikleri konuya özgü uzun açıklamalar yerine kısa ve açık etiketler olarak seçmek, kenar listesini kontrol etmeyi kolaylaştırır.

Düğüm listesi ağın kapsamını açıkça belirler. Kenar listesinde adı geçen bir uç, burada aynı yazımla bulunmalıdır. Bir harfin büyüklüğü değişmişse veya bir düğüm unutulmuşsa yeni düğüm kendiliğinden oluşturulmaz. Başlangıç ve hedef alanlarında da listedeki kimliklerden birer tanesini kullanın. Düğüm beyan sırasını kendi notunuzda saklamak yararlıdır; eşit uzaklıkların bulunduğu durumda hangi yolun seçileceğini bu sıra etkileyebilir. Düğüm adını değiştirmek ise, bütün ilgili alanlarda aynı değişiklik yapılıp beyan sırası korunuyorsa, ağırlık problemini değiştirmez. Kimliklerin kendileri mesafe, öncelik puanı veya fiziksel konum değildir.

Kenarlar alanında her satır kaynak;hedef;ağırlık biçiminde üç hücre içermelidir. Hücreleri noktalı virgülle ayırın; başlık veya sonda fazladan ayırıcı eklemeyin. Sıfır ile 1000 kenar girilebilir. Alan tamamen boşsa hiç kenar bulunmadığı anlaşılır. Buna karşılık dolu bir tablonun arasındaki boş satır veya eksik hücre geçerli bir kenar sayılmaz. Satırların başındaki ve sonundaki sıradan boşluklar temizlenebilir, fakat bir kimliğin ya da sayının içinde boşluk kullanmayın. Düğüm alanı en çok 5000, kenar alanı en çok 80.000 karakter olabilir; başlangıç ve hedef alanlarının her biri en çok 64 karakter taşır.

Yön, modelin temel parçasıdır. A düğümünden B düğümüne yazılan bağlantı, B'den A'ya dönüş imkânı oluşturmaz. Her iki yön de kullanılabiliyorsa ikisini ayrı satırlarla belirtin; ağırlıkları aynı olmak zorunda değildir. Sonuç tablosundaki Kaynak sütunu ilgili kenarın başladığı düğümü anlatır. Bu, her satırda bütün hesabın başlangıç düğümü demek değildir. Aynı şekilde Hedef sütunu kenarın bittiği düğümdür; seçtiğiniz genel hedefle aynı olabilir veya olmayabilir. Bu ayrımı korumak, özellikle başlangıca geri dönen veya kopuk bileşenlerde bulunan kenarları doğru okumayı sağlar.

Her ağırlık sıfır veya pozitif olmalıdır; tek kenarda en büyük değer 1 milyardır. Tam sayı veya düz ondalık yazılabilir. Nokta ve virgül ondalık ayırıcıdır. Ayırıcının iki yanında da rakam bulunmalıdır. Binlik gruplama, artı ya da eksi işareti, eksi sıfır, üs gösterimi, kesir ifadesi ve hesap ifadesi kabul edilmez. Örneğin tek ayırıcılı 1,000 yazımı ondalık olarak 1 değerindedir; bin olarak anlaşılmaz. Bin yazmak için 1000 kullanın. Araç bir ayırıcının kullanıcının zihninde binlik anlamı taşıyıp taşımadığını tahmin etmez; sayıyı belirtilen ondalık kuralla okur.

Değeri değiştirmeyen son ondalık sıfırlar çıkarıldıktan sonra en çok altı ondalık basamak kullanılabilir. Her ağırlık metni en çok 32 karakterdir; tam sayı bölümünün başındaki sıfırlar da bu uzunluğa dahildir. Sınır aşımı sessiz yuvarlama ile düzeltilmez. Ağdaki bütün ağırlıklar aynı karşılaştırılabilir birimde olmalıdır. Bazı kenarlara süre, bazılarına para yazıp toplamı anlamlı bir uzaklık gibi okumayın. Bütün değerler süreyi temsil ediyorsa aynı süre birimini koruyun. Araç birim dönüştürmez ve sayıların ölçüm veya maliyet açısından doğru tanımlandığını denetlemez. Hesaplanan en düşük toplam, yalnız girilmiş ortak ağırlık modelinin sonucudur.

Aynı yönlü düğüm çifti için birden fazla satır yazılabilir. Bu paralel kenarlar ağırlıkları aynı olsa bile ayrı özgün kayıtlar olarak kalır. Sonuçta e1, e2 gibi kimlikler giriş satırlarıyla eşleşir. Böylece seçilen yolun hangi kaydı kullandığı görülebilir; birbirine benzeyen satırlar tek bir bağlantıya indirgenmez. Paralel kenar satırı sayısı, aynı yönlü çiftin ilk kaydından sonraki her tekrarı sayar. İlk kaydın ağırlığının daha büyük ya da daha küçük olması bu sayımın tanımını değiştirmez. Gerçekte farklı seçenekleri temsil eden satırları açıklayan notları hesap dışında saklayabilirsiniz.

Bir düğümden yine kendisine giden öz döngü de sıfır veya pozitif ağırlıkla geçerlidir ve sonuç tablosunda korunur. Buna rağmen seçilen basit yolun parçası olmaz. Basit yol, düğümleri tekrar etmeden ilerleyen yoldur. Negatif olmayan bir döngüyü bir yürüyüşten çıkarmak toplam ağırlığı artırmaz; bu nedenle ulaşılabilen her hedef için en az bir basit en kısa yol bulunur. Sıfır döngüler yüzünden aynı toplamlı pek çok yürüyüş kurulabilmesi bu sonucu bozmaz. Araç bu yürüyüşleri saymaz, döngüdeki düğümleri birleştirmez ve özgün kenar kayıtlarını silmez.

Yöntem, negatif olmayan ağırlıklar için Dijkstra yaklaşımını kullanır. Başlangıcın uzaklığı sıfırdır. Daha sonra bulunmuş yolların toplamları karşılaştırılarak henüz kesinleşmemiş düğümler arasında en düşük geçici uzaklık seçilir. Bir bağlantı üzerinden daha düşük toplam bulunduğunda ilgili düğümün değeri iyileştirilir. Bir düğümün uzaklığı kesinleştiğinde sonradan daha ucuz bir yol bulunmamasının gerekçesi, bütün devam ağırlıklarının negatif olmamasıdır. Başka bir yola eklenen kenarlar mevcut toplamı azaltamaz. Bu koşul, yalnız bütün ağın toplamı için değil her bir kenar için gerekir; tek bir negatif kenar da bu aracın kapsamı dışındadır.

Her sonlu uzaklık, başlangıçtan gerçekten kurulabilen bir yolun ağırlığına karşılık gelir. Bir düğümün öncülü, ona hangi özgün kenarla ulaşıldığını gösterir. Kesinleşmiş öncüller sonradan değiştirilmez. Bu düzen, sıfır ağırlıklı kenarlarda uzaklıklar eşit kalsa bile öncül zincirinin döngüye girmemesini sağlar. Zincirde geriye gidildiğinde daha önce kesinleşmiş düğümlere dönülür. Kullanıcının bütün ara denemeleri izlemesi gerekmez; sonuçta bulunan uzaklıklar, öncüller ve özgün kenar kontrolleri gösterilir. Bu sayısal denetimler, ağın gerçek dünyadaki bütün bağlantıları doğru içerdiğini veya ağırlıkların doğru ölçüldüğünü ayrıca kanıtlamaz.

Birden fazla en kısa yol bulunduğunda aynı girdiyle aynı yolun gösterilmesi için açık bir sıra tercihi uygulanır. O anda sonlu geçici uzaklığı bulunan ve henüz kesinleşmemiş düğümler eşitse, düğüm listesinde önce beyan edilmiş olan seçilir. Bir düğümün çıkış kenarları da özgün satır sırasıyla değerlendirilir. Aynı uzaklığı sağlayan yeni bir aday geldiğinde mevcut öncül korunur. Bu tercihler sonucu tekrar üretilebilir kılar. Kimlikler alfabetik olarak karşılaştırılmaz; ilk harfi daha önce gelen bir düğümün bulunduğu yolun seçileceği sözü verilmez.

Sıra kuralı, o anda aday olan düğümler içindir. Daha erken yazılmış bir düğüme henüz bir yol bulunmamışsa, sırf listede erken durduğu için o seçimde öne geçmez. Sıfır ağırlıklı bir kenarla sonradan keşfedilen düğüm, aynı uzaklıktaki bazı düğümlerden sonra kesinleşebilir. Dolayısıyla bütün eşit uzaklıklı düğümlerin genel beyan sırasıyla dizileceği de iddia edilmez. Düğüm veya kenar sırasını değiştirmeniz en düşük toplamları değiştirmez, fakat seçilen eşit ağırlıklı yolu değiştirebilir. Gösterilen yolun bütün seçenekler içinde en az kenarlı, sözlük sırasında ilk veya tek mümkün yol olduğu sonucunu çıkarmayın.

Sıfır, geçerli bir uzaklıktır. Başlangıçtan sıfır ağırlıklı kenarlarla başka düğümlere ulaşılabilir ve bu düğümlerin uzaklıkları da sıfır olabilir. Başlangıç ile hedef aynıysa seçilen yol yalnız başlangıç düğümünü içerir; kenar sayısı ve toplamı sıfırdır. Bunun için ağda bir dönüş döngüsü bulunması gerekmez. Bu durumda da diğer düğümlerin hesabı sürer. Hedefin hemen belirlenmiş olması, bütün ağ sonuçlarının boş bırakılmasına veya başlangıca sıfır uzaklıkla bağlı diğer düğümlerin atlanmasına neden olmaz.

Ulaşılamadı ise başlangıçtan ilgili düğüme yönlere uyan hiçbir yol bulunmadığını belirtir. Bu durum sıfırla gösterilmez. Ulaşılamayan hedef için geçerli sıfır kenarlı yol uydurulmaz; hedef yol kenar sayısı Uygulanmaz olur. Bir bileşenin kendi içinde bağlı olması, başlangıçtan o bileşene ulaşılabildiği anlamına gelmez. Benzer biçimde kopuk bir düğümden başlangıca yönelen kenar, ters yönde geçiş sağlamaz. Hedef ulaşılamaz olsa da diğer erişilebilir düğümlerin uzaklıkları sonuçta bulunur. Bu bilgiler, yalnız hedef kartına bakıldığında gözden kaçabilecek yön veya kapsam hatalarını araştırmaya yardımcı olur.

Tablo bütün özgün kenarları giriş sırasıyla gösterir. Her satırda kenarın ağırlığı, iki ucun başlangıca göre uzaklıkları, üçgen payı, hedef yol adımı ve durum bulunur. Kaynağına ulaşılabilen bir kenar için üçgen payı d(kaynak) + ağırlık − d(hedef) biçimindedir. En kısa uzaklıklar doğru bulunduğunda bu pay negatif değildir. Çünkü kaynak üzerinden hedefe gitmek mümkün bir alternatif yoldur ve hedefin en düşük toplamı bu alternatiften daha büyük olamaz. Pay, iki ayrı fiziksel ölçümün belirsizliği veya ağın kapasitesi olarak yorumlanmaz; girilmiş modeldeki uzaklık ilişkisini açıklar.

Pay sıfırsa kenar sıkıdır; kaynak üzerinden gitmek hedefin en düşük toplamını sağlar. Ancak her sıkı kenar seçilen genel hedef yolunda bulunmak zorunda değildir. Başka bir düğüme ait en kısa yolun kenarı, eşit bir alternatif veya sıfır ağırlıklı öz döngü de sıkı olabilir. Hedef yol adımı yalnız gerçekten seçilmiş kenarlarda doludur; diğerlerinde çizgi gösterilir. Kenarın kaynağına ulaşılamıyorsa üçgen payı Uygulanmaz olur. Böyle bir kaynağa sıfır uzaklık atanıp hayalî bir eşitsizlik kurulmaz. Kaynağı ulaşılamayan kenarın hedefi erişilebilir olsa bile bu kural değişmez; yönleri ayrı değerlendirmek gerekir.

Sonuç kartı seçilen hedefin en düşük toplamını veya Ulaşılamadı ifadesini verir. Özet bölümünde düğüm ve kenar sayılarıyla birlikte her düğümün uzaklığı, öncülü ve kesinleşme sırası bulunur. Öncül gösterimindeki düğüm ve e kimliği aynı özgün bağlantıyı işaret eder. Başlangıcın öncülü yoktur; ulaşılamayan düğümlerde de öncül veya sıra uydurulmaz. Kenar tablosundaki hedef yol adımlarını sırayla okuyarak seçilen yolun hangi satırlardan kurulduğunu izleyebilirsiniz. Yalnız sıkı durumuna bakıp bütün bu satırları tek bir yolmuş gibi birleştirmeyin; farklı dallar aynı anda sıkı olabilir.

Tek kenarın 1 milyarlık sınırı, yol toplamının da 1 milyardan küçük olması gerektiği anlamına gelmez. Bir yol birçok geçerli kenarın toplamıdır. En çok 100 düğümlü bu kapsamda seçilen basit yol en çok 99 kenar içerir. Sonuçlarda büyük toplamlar korunur ve ekran için sayısal sınırın içine çekilmez. Hesapta girilmiş ondalıklar ve toplamlar kesin olarak ele alınır; gereksiz son ondalık sıfırlar gösterimden çıkarılabilir. Bu kesinlik, ölçüm doğruluğu veya gerçek koşulların değişmeyeceği garantisi değildir. Ağırlıkların değişmesi gerçek bir model değişimiyse sonucun da değişmesi beklenebilir.

İlk ağı, düğüm sırasını, kenar sırasını ve ağırlık birimini kendi notunuzda saklayın. Bir bağlantıyı düzeltirken yalnız gerçekten değiştirmek istediğiniz hücreleri değiştirin. Sonuç farklılaşırsa önce toplam uzaklıkların mı yoksa yalnız eşit ağırlıklı yol seçiminin mi değiştiğini kontrol edin. Yeni bir bağlantı başlangıçtan erişimi genişletebilir; ters yönlü bir bağlantı eklemek aynı etkiyi yapmak zorunda değildir. Bir ağırlığı küçültmek bazı düğümlere daha ucuz yol sağlayabilir, ancak bütün düğümlerin değerinin değişmesi gerekmez. Sonuçtaki özgün satır kimlikleri, bu karşılaştırmayı belirli kayıtlara bağlamanıza yardımcı olur.

Araç hesap başlamadan bütün düğüm ve kenar satırlarını doğrular. Yalnız hedef yolunda kullanılacak satırların doğru olması yeterli değildir. Ulaşılamayan bir bileşendeki bozuk ağırlık veya bilinmeyen uç da bütün girdiyi geçersiz kılar. Eksik hücre sıfır sayılmaz, hatalı bağlantı atlanmaz ve kısmi ağın sonucu tam sonuç gibi gösterilmez. Bir hata varsa ilgili girdiyi düzeltip yeniden hesaplayın. Düğüm ve kenar alanlarına başlık, açıklama veya birim eklememek; kopyalanan tablonun ortasında boş satır bırakmamak bu tür hataları azaltır. Çok uzun bir listeyi sınırın içine girmesi için kesmek ise ağın kendisini değiştirir.

Bu hesap kullanıcı tarafından beyan edilmiş soyut ağı çözer. Canlı harita, adres, şehir, trafik, yol kapaması veya rota sağlayıcısı bağlı değildir. Negatif ağırlıklar, kapasite altında maksimum akış, bütün arz ve talepleri karşılayan taşıma tahsisi ya da proje kritik yolu hesaplanmaz. Ağırlığı mesafe, süre veya maliyet olarak adlandırmanız bu dış koşulları kendiliğinden modele katmaz. Gerçek bir ulaşım veya operasyon kararında hangi bağlantıların kullanılabilir olduğu ve sayıların hangi koşulları temsil ettiği ayrıca belirlenmelidir. Gösterilen matematiksel optimum, bu veri hazırlama kararlarının doğruluğuna onay vermez.

Kullanıcı girdileri ve hesap sonuçları ağ üzerinden gönderilmez veya kendiliğinden saklanmaz. Kendi kayıtlarınızda ağı paylaşırken kimliklerin anlamını, yönleri, ortak birimi, başlangıcı ve seçilen hedefi belirtin. Sıra tercihini de saklamak, eşit maliyetli yol seçimini yeniden açıklayabilmek için önemlidir. Sonucu yalnız bir toplam sayı olarak aktarmak yerine seçilen özgün kenarları ve ulaşılamayan düğümleri de göz önünde tutun. Bir yolun bulunması, gerçek bağlantıların güvenli, açık veya izinli olduğu anlamına gelmez; aracın cevapladığı soru girilmiş sayısal modelde hangi toplamın en düşük olduğudur.

1. Bütün düğüm kimliklerini, bağlantısı olmayanlar dahil, istediğiniz sırayla yazın. 2. Her yönlü kenarı başlangıç;hedef;ağırlık biçiminde ve ortak birimle girin. 3. Beyan ettiğiniz düğümlerden başlangıcı ve inceleyeceğiniz hedefi seçin. 4. Hedef uzaklığını, seçilen özgün kenarları ve bütün düğüm mesafelerini birlikte okuyun.

1. İlk düğüm ve kenar listesini, sıralarını ve ağırlık birimini kendi notunuzda saklayın. 2. Yalnız gerçekten değiştirmek istediğiniz bağlantı veya ağırlıkları düzenleyin; ters yönü ayrıca belirtin. 3. Yeni sonuçta bütün mesafeleri, hedef yolunu ve özgün kenar satırlarını karşılaştırın. 4. Eşit maliyette farklı bir yol seçilebileceğini koruyun; ulaşılamayan düğümleri sıfır mesafeli saymayın.

Bu özgün ağda düğüm beyan sırası S, B, A, C, T, U olarak korunur. Paralel S→A satırları farklı kayıtlar olarak kalır. B ve A aynı uzaklıkta bulunduğunda B'nin önce beyan edilmiş olması seçimi etkiler.

Düğümler alanı:

Kenarlar alanı:

Sonuç kartı — En kısa hedef uzaklığı: 4,5

Özgün kenar sonuçlarının tamamı:

Hesabın adımları:

1. Düğümler, bütün özgün kenar satırları, ağırlıklar ve başlangıç/hedef kimlikleri eksiksiz denetlendi. 2. Başlangıçtan erişilebilen bütün düğümlerin en düşük toplam ağırlıkları kesin hesaplandı; hedefte erken durulmadı. 3. Öncül yolları, bütün kenar eşitsizlikleri, erişim ve varsa seçilen hedef yolunun toplamı doğrulandı. 4. 1. adım: e2; S → B; ağırlık 1,25. 5. 2. adım: e8; B → T; ağırlık 3,25.

Seçilen yol S → B → T, özgün e2 ve e8 kenarlarıyla 1,25 + 3,25 = 4,5 toplamını verir. S→A yönündeki eşit satırlar birleştirilmez; e3 öncülü eşit e4 yüzünden değişmez. Çok sayıda sıkı kenar bulunmasına rağmen yalnız iki satır hedef yol adımı taşır. U→S satırında S'ye ulaşılabilmesi, ters yönde U'ya gidilebildiğini göstermez; bu kenarın kaynağı ulaşılamaz ve üçgen payı uygulanmaz.

Başlangıç ve hedefin ikisi de S'dir. Sıfır ağırlıklı bağlantılar, A ile B arasındaki döngü ve T'nin öz döngüsü geçerlidir. Hedef yolunun boş kenar dizisi olması, ağdaki diğer düğümlerin hesabını durdurmaz.

Düğümler alanı:

Kenarlar alanı:

Sonuç kartı — En kısa hedef uzaklığı: 0

Özgün kenar sonuçlarının tamamı:

Hesabın adımları:

1. Düğümler, bütün özgün kenar satırları, ağırlıklar ve başlangıç/hedef kimlikleri eksiksiz denetlendi. 2. Başlangıçtan erişilebilen bütün düğümlerin en düşük toplam ağırlıkları kesin hesaplandı; hedefte erken durulmadı. 3. Öncül yolları, bütün kenar eşitsizlikleri, erişim ve varsa seçilen hedef yolunun toplamı doğrulandı.

Seçilen yol yalnız S düğümünü içerir; kenar ve ağırlık toplamı sıfırdır. Diğer sonuçlar yine bulunur: C'nin uzaklığı 7, X'in uzaklığı 8'dir. Sıfır uzaklıklı T, A ve B düğümleri ayrı kalır. Sıkı kenarlar bu örnekte de seçilen hedef yolunun parçası değildir; başlangıç hedefle aynı olduğundan hiçbir satır hedef yol adımı taşımaz.

Bu özgün ağda tek kenar ağırlıkları üst sınıra kadar çıkar. T ve Z kendi aralarında sıfır ağırlıklı bağlantılar taşır; ancak R başlangıcından bu bileşene geçiş yoktur. Başlangıç ile seçilen hedef farklıdır.

Düğümler alanı:

Kenarlar alanı:

Sonuç kartı — En kısa hedef uzaklığı: Ulaşılamadı

Özgün kenar sonuçlarının tamamı:

Hesabın adımları:

1. Düğümler, bütün özgün kenar satırları, ağırlıklar ve başlangıç/hedef kimlikleri eksiksiz denetlendi. 2. Başlangıçtan erişilebilen bütün düğümlerin en düşük toplam ağırlıkları kesin hesaplandı; hedefte erken durulmadı. 3. Öncül yolları, bütün kenar eşitsizlikleri, erişim ve varsa seçilen hedef yolunun toplamı doğrulandı.

R, P ve Q erişilebilirdir; Q'nun 2000000000 toplamı iki geçerli kenarın toplamıdır ve tek kenar sınırını aşabilir. Q→R bağlantısındaki pozitif pay tabloda korunur. T ve Z arasındaki sıfır döngü başlangıçtan erişim oluşturmaz. Hedef için Ulaşılamadı ve yol kenar sayısında Uygulanmaz gösterimleri bu nedenle sıfır maliyetli geçerli yoldan ayrılır.

Yöntem bağlamı MIT OpenCourseWare'in Spring 2020 dönemli Lecture 13: Dijkstra’s Algorithm belgesindeki negatif olmayan ağırlıklar ve mesafelerin kesinleşmesi açıklamalarına dayanır. Beş sayfalık belgenin ilk dört sayfasındaki yöntem metni ile son sayfasındaki OCW bilgileri okunmuştur. Fall 2011 dönemli Lecture 15: Shortest Paths I: Intro belgesinin ilk altı sayfasındaki ilgili yol, erişim ve ağırlık açıklamaları ile son sayfasındaki footer da kaynak kapsamındadır. PDF metinleri okunmuş olmakla birlikte kaynak PDF'lerinin piksel üzerinden görsel incelemesinin tamamlandığı iddia edilmez. Bu rehberin Türkçe anlatımı, veri örnekleri ve eşitlik tercihlerinin açıklaması özgündür; kaynak metni, sözde kodu, kodu, şekli, tablosu veya çözülmüş örneği aktarılmamıştır.

Kaynak ve hak metinlerine erişim 18 Ekim 2026 tarihinde 16:58:26–17:02:44 UTC aralığında kaydedilmiştir; erişim zamanı yayın tarihi değildir. Spring 2020 ve Fall 2011 ders dönemleridir. Yöntem belgelerine ayrı bir ilk yayın veya güncelleme tarihi atanmamıştır. 2020 ders sayfasındaki Erik Demaine, Jason Ku ve Justin Solomon adları dersin öğretim ekibi olarak listelenir; her biri PDF'nin doğrulanmış bireysel yazarı gibi sunulmaz. Ders sayfasındaki © 2001–2026 Massachusetts Institute of Technology bildirimi korunur. Bu yıl aralığı, tek bir yöntem belgesinin yayın tarihi olarak kullanılmaz.

MIT OpenCourseWare'in güncel Privacy and Terms of Use sayfası CC BY-NC-SA 4.0 koşullarına yönlendirir. Bu genel koşul, geçmiş PDF'lerin tarihsel lisans sürümünün ayrıca doğrulandığı anlamına gelmez. Koşul sayfasındaki Last Updated: 08/11/2026 yazımı, tarih düzeni açıkça açıklanmadığından başka bir tarih biçimine çevrilmemiş ve ders belgelerine taşınmamıştır. NonCommercial koşulundan ticari kullanım izni çıkarılmaz; bütün üçüncü taraf içeriğinin aynı koşullarda olduğu varsayılmaz. Kaynak materyali aktarımı yapılmadığından kaynak lisansının özgün uygulamaya kendiliğinden uygulanacağı da iddia edilmez. MIT ile ilişki veya MIT onayı ileri sürülmez; kaynak başlıkları, kurum ve bağlantıları atıf amacıyla korunur.

- [MIT OpenCourseWare · Lecture 13: Dijkstra’s Algorithm · ders sayfası](https://ocw.mit.edu/courses/6-006-introduction-to-algorithms-spring-2020/resources/mit6_006s20_lec13/) - [MIT OpenCourseWare · Lecture 13: Dijkstra’s Algorithm · yöntem PDF'si](https://ocw.mit.edu/courses/6-006-introduction-to-algorithms-spring-2020/d819e7f4568aced8d5b59e03db6c7b67_MIT6_006S20_lec13.pdf) - [MIT OpenCourseWare · Lecture 15: Shortest Paths I: Intro](https://www.ocw.mit.edu/courses/6-006-introduction-to-algorithms-fall-2011/7a2abc9bc568c743404e85e85cf6dc59_MIT6_006F11_lec15.pdf) - [MIT OpenCourseWare · Privacy and Terms of Use](https://ocw.mit.edu/pages/privacy-and-terms-of-use/) - [Creative Commons · CC BY-NC-SA 4.0 Deed](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/) - [Creative Commons · Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International · Legal Code](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/legalcode.en)