Karekök Dışına Çıkarma: √72 Neden 6√2 Olur?

Örnekleri hesaplayıcıda deneyin

√72 → 6√2

72 = 36 × 2 ve √36 = 6.

√144 → 12

Tam karede kök içinde çarpan kalmaz.

√0 → 0

Sıfır geçerli bir karekök girdisidir.

Tam kareyi ayırın

72 = 36 × 2√36 × √26√2

Yaklaşık ile tamı ayırın

6√2: tam gösterim√2 yaklaşık değeriOndalık sonuç yuvarlanır

Kökü sadeleştirmek ne demektir?

Karekökü sadeleştirmek, sayıyı değiştirmeden daha kullanışlı bir biçimde yazmaktır. √72 ile 6√2 aynı değerdir. İlk yazım tek bir büyük sayının kökünü gösterir; ikincisi kökü tam alınabilen kısmı dışarı çıkarır. Böylece toplama, karşılaştırma veya geometri işlemlerinde ifade daha anlaşılır hâle gelir. Burada amaç hemen ondalık sayı üretmek değildir.

Hesaplayıcı negatif olmayan bir tam sayının karekökünü a√b biçimine getirir. Kök dışındaki a katsayısı ile kök içindeki b sayısı ayrı gösterilir. Ayrıca yaklaşık ondalık değeri de görürsünüz. Tam ifadeyle yaklaşık sonucu birbirine karıştırmayın: 6√2 tamdır; ekrandaki birkaç basamaklı 8,485281 gösterimi yuvarlanmış olabilir.

Tam kare parçayı bulma yöntemi

Bir sayının içinde tam kare bir çarpan ararız. 72 = 36 × 2 olduğundan √72 = √36 × √2 yazılır. 36’nın karekökü 6’dır. Böylece sonuç 6√2 olur. Bu adım, karekök içindeki çarpanların negatif olmadığı gerçek sayı durumunda uygulanır. Araç da bu nedenle negatif kök içi kabul etmez.

En büyük tam kareyi ilk bakışta göremiyorsanız daha küçük bir parçayla başlayabilirsiniz. 72 = 4 × 18 üzerinden 2√18 elde edilir. Ardından 18 = 9 × 2 olduğundan 2 × 3√2 = 6√2 olur. İlk adım yanlış değildir; yalnızca bir sadeleştirme adımı daha gerekir.

Asal çarpanlarla sistemli çözüm

180 sayısını düşünelim. Asal çarpanlarına ayırdığımızda 180 = 2² × 3² × 5 olur. Karekök içinde aynı asal çarpandan ikişer tane bulunduğunda bunların biri dışarı çıkar. İki tane 2 dışarıda 2, iki tane 3 dışarıda 3 verir. Tek kalan 5 içeride kalır. Sonuç 6√5 olur.

Bu yöntem rastgele tam kare tahmini yapmaktan daha düzenlidir. Üs çiftse tamamı çiftler hâlinde dışarı çıkabilir. Üs tekse bir tane çarpan kökün içinde kalır. Örneğin 2⁵ = 2⁴ × 2 olduğundan karekökü 2²√2, yani 4√2’dir. Araç da asal çarpanların üslerini bu mantıkla ayırır.

Tam kare, sıfır ve sadeleşmeyen sayı

144 tam karedir; 12 × 12 = 144 olduğundan √144 = 12 çıkar. Kök içinde geriye 1 kalır, fakat √1 = 1 olduğu için ana sonuçta ayrıca yazılması gerekmez. 0 için sonuç 0’dır. 1 için sonuç 1’dir. Bu özel değerlerde sadeleştirme işlemi yeni bir irrasyonel kısım oluşturmaz.

√30 ise daha fazla sadeleşmez. 30 = 2 × 3 × 5 ayrışımında hiçbir asal çarpan çifti yoktur. Kök dışındaki katsayı 1 kabul edilir ve yazımda çoğunlukla gösterilmez. “Sadeleşmiyor” demek değeri bulunamıyor demek değildir; yaklaşık değeri hesaplanabilir, fakat tam ifade √30 olarak kalır.

Toplama ile çarpmayı ayırın

√8 + √18 işlemini doğrudan √26 yapmak yanlıştır. Önce kökleri sadeleştirin: √8 = 2√2, √18 = 3√2. Aynı kök içi bulunduğundan katsayılar toplanabilir ve 5√2 elde edilir. Kök içinde toplama için, çarpımdakiyle aynı kural geçerli değildir.

Benzer şekilde 3√2 + 4√3, tek bir ortak köklü terime dönüşmez. Katsayıları toplayıp 7√5 yazmak başlangıçtaki değeri değiştirmiş olur. Sadeleştirme, hangi terimlerin gerçekten benzer olduğunu görmenize yardım eder; farklı kök içlerini zorla birleştirmez.

Sonucu kareye alarak kontrol edin

Sonuç a√b ise karesi a² × b olmalıdır. √180 için 6√5 bulduğunuzda 6² × 5 = 36 × 5 = 180 kontrolünü yapın. Böylece dışarı yanlış katsayı çıkarıp çıkarmadığınızı görürsünüz. Dış katsayıyı yalnızca b ile çarpmak doğru kontrol değildir; önce katsayının karesi alınır.

Bu araç 0 ile 10¹² arasındaki tam sayılarda çalışır. Küpkök, negatif sayının karmaşık karekökü veya değişkenli cebirsel ifadeler bu formda desteklenmez. Örneğin √x² ifadesi gerçek x için |x| gerektirir; sayısal sadeleştirmeden hareketle her durumda x yazılamaz.

AKLINIZA TAKILABİLİR

20 soru, açıklamalı cevaplarıyla

01√50 kök dışına nasıl çıkar?

50 = 25 × 2 yazın. 25’in karekökü 5 olduğundan √50 = 5√2 olur. Kontrol için 5’in karesini 2 ile çarpın: 25 × 2 = 50. Kök dışına 25 yazmak yanlıştır; dışarı çıkan değer tam kare çarpanın kendisi değil, kareköküdür.

02√48 için 2√12 buldum; yanlış mı?

Değer olarak yanlış değildir, fakat henüz en sade biçim değildir. 12 = 4 × 3 olduğundan √12 = 2√3 olur. Böylece 2√12 = 4√3 elde edilir. Sadeleştirmeyi, kök içinde 1’den büyük tam kare çarpan kalmayana kadar sürdürmelisiniz.

03Kök içindeki her çift sayı sadeleşir mi?

Hayır. Çift olması yalnızca 2’ye bölündüğünü gösterir. Karekök dışına çıkarmak için 4, 9, 16 gibi 1’den büyük tam kare çarpan gerekir. Örneğin 6 çifttir ama 6 = 2 × 3 ayrışımında çiftlenmiş asal çarpan yoktur; √6 sadeleşmez.

04Tek sayıların karekökü sadeleşebilir mi?

Evet. 45 = 9 × 5 olduğundan √45 = 3√5 olur. Benzer biçimde √81 = 9’dur. Sayının tek veya çift olması karar için yeterli değildir. Asıl soru, içinde 1’den büyük bir tam kare çarpanın bulunup bulunmadığıdır.

05√1 neden 1’dir, -1 de mümkün değil mi?

Karekök işareti tek başına kullanıldığında negatif olmayan esas karekökü belirtir; √1 = 1’dir. Buna karşılık x² = 1 denkleminin iki çözümü vardır: 1 ve -1. Bir sayının karekökünü yazmakla bir ikinci derece denklemi çözmek farklı işlemlerdir; işaret kuralı bu ayrımdan gelir.

06Negatif sayı yazarsam neden uyarı alıyorum?

Bu model gerçek sayılarda, negatif olmayan kök içleri için hazırlanmıştır. Negatif bir sayının gerçek karekökü bulunmaz. Karmaşık sayı kullanarak ayrı bir işlem yapılabilir; fakat bu araç o kapsamı desteklemez. Negatif girdi sessizce mutlak değere çevrilmez, çünkü böyle yapmak soruyu değiştirir.

07√0 sonucu gerçekten sıfır mı?

Evet. 0 × 0 = 0 olduğu için sıfırın karekökü sıfırdır. Asal çarpanlara ayırmaya gerek olmayan özel bir durumdur. Araç kök dışı katsayıyı 0 olarak gösterir. Bu sonuç, sıfıra bölme veya belirsiz bir ifade oluşturmaz; yalnızca karekök işlemidir.

086√2 ile √72’nin eşitliğini nasıl anlarım?

6√2’nin karesi 6² × 2 = 72’dir ve 6√2 negatif değildir. Dolayısıyla √72’nin esas değerine eşittir. İsterseniz iki ifadeyi yaklaşık olarak da karşılaştırabilirsiniz. Tam eşitliği göstermek için kare alma yöntemi daha sağlamdır; ondalık ekranın basamak sayısına bağlı kalmaz.

09Kök içindeki sayının yarısını dışarı çıkarabilir miyim?

Genel bir “yarısını çıkarma” kuralı yoktur. Örneğin √18 için 9√2 yazmak yanlıştır; doğru ayrım 18 = 9 × 2 ve sonuç 3√2’dir. Kökten çıkacak katsayı tam kare çarpanın kareköküdür. Her işlemde çarpanlara ayırma adımını açıkça yazmak hatayı önler.

10√12 + √27 nasıl toplanır?

Önce √12 = 2√3 ve √27 = 3√3 olarak sadeleştirin. Ortak kök içi 3 olduğundan katsayıları toplayabilirsiniz: 2√3 + 3√3 = 5√3. Doğrudan √39 yazılmaz. Toplama kuralı, benzer köklü terimlerin katsayıları üzerinde uygulanır.

11√2 ile √3’ü neden tek kökte toplayamıyorum?

Toplamları √5 değildir; çünkü kareleri alındığında arada 2√6 terimi de oluşur. Kök içlerinin farklı olması nedeniyle bu iki terim benzer terim değildir. √2 + √3 ifadesi tam biçimiyle bırakılabilir veya yaklaşık hesaplanabilir. Tek köklü daha kısa bir ifade her zaman yoktur.

12√2 × √8 nasıl hesaplanır?

İki kök içi de negatif olmadığı için çarpımı √16 olarak yazabilirsiniz; sonuç 4’tür. Alternatif olarak √8 = 2√2 deyip √2 × 2√2 = 2 × 2 = 4 bulabilirsiniz. Buradaki çarpma kuralını, köklerin toplandığı işlemlere taşımamalısınız.

13Tam kareyi ilk bakışta bulamıyorsam ne yapmalıyım?

Sayıyı asal çarpanlarına ayırın ve aynı çarpanları ikili gruplandırın. Örneğin 200 = 2³ × 5² yazılır. Bir çift 2 dışarıda 2, bir çift 5 dışarıda 5 verir; içeride bir 2 kalır. Sonuç 10√2’dir. Bu yöntem büyük tam kareyi zihinden arama zorunluluğunu kaldırır.

14Sonuçta kök dışı katsayı 1 ise neden görünmüyor?

1 ile çarpmak değeri değiştirmediği için 1√7 yerine √7 yazılır. Araç alt sonuçta katsayıyı yine 1 olarak gösterebilir. Bu, kök dışına bir sayı çıkmadığı anlamına gelir. Sadeleşmeyen bir kökün geçerli ve tam sonucu bu şekilde korunur.

15Ondalıklı kök içi neden bu formda kabul edilmiyor?

Bu araç tam sayıların asal çarpan çiftlerini ayırır. 0,72 gibi ondalıkları ayrı biçimde ele almak gerekir; örneğin kesre dönüştürülüp pay ve paydanın kökleri incelenebilir. Girdiyi yuvarlamak doğru çözüm değildir. Genel sayısal karekök için köklü sayı aracını kullanabilirsiniz.

16Küpkök dışına çıkarma için aynı yöntemi kullanabilir miyim?

Benzer düşünce vardır ama ikili değil, üçlü asal çarpan grupları gerekir. Örneğin küpkök içindeki 2³ dışarıya 2 olarak çıkar. Bu form yalnızca karekök içindir; küpkök seçeneği bulunmaz. İkinci dereceden kök kuralını üçüncü dereceden köke aynen uygulamak yanlış sonuç verir.

17√x² her zaman x midir?

Gerçek x için doğru eşitlik √x² = |x| olur. Örneğin x = -3 alırsanız √9 = 3 çıkar; -3 çıkmaz. Bu araç sayısal girdiler kullandığı için değişkenin işaret koşullarını çözmez. Cebirsel ifadelerde mutlak değer ayrıntısını ayrıca korumalısınız.

18Yaklaşık sonuçtaki son rakam neden değişebiliyor?

Ekranda gösterilen ondalık değer belirli sayıda basamağa yuvarlanır. Daha fazla basamak gösteren başka bir hesap makinesinde devamı farklı görünebilir. Tam ifade, örneğin 6√5, bu gösterim farkından etkilenmez. Karşılaştırırken tam biçimi veya aynı basamak hassasiyetini kullanın.

1910¹² gibi büyük bir tam karede ne olur?

10¹²’nin karekökü 10⁶, yani 1000000’dur. Bu değer aracın üst girdi sınırına dahildir. Daha büyük sayılar desteklenen aralık dışında kalır ve reddedilir. Üst sınır, bir matematiksel yasak değil, bu uygulamanın açıkça belirlenmiş hesaplama sözleşmesidir.

20Sonucu başka bir işlemde nasıl kullanmalıyım?

Mümkünse tam köklü biçimi koruyun. Örneğin 3√2 ile işlem yaparken önce 4,242641’e yuvarlamak, sonraki adımlarda küçük hatalar biriktirebilir. Son aşamada gerekiyorsa ondalığa geçin. Kök içini ve dış katsayıyı karıştırmadan taşımak, özellikle geometri ve denklem çözümlerinde yararlıdır.

Kaynaklar ve yöntem

Açıklamalar ve örnekler bu sayfa için hazırlanmıştır. Kaynak bağlantıları yöntemi incelemeniz içindir; bağlantı verilmesi, hesabınıza veya işleminize özel koşulların doğrulandığı anlamına gelmez. Bu hesabın yöntemi sayfada gösterilen matematik bağıntısına dayanır.