Yuvarlak bir şeklin bir doğrultuda uzatıldığını düşünün. Ortasından geçen uzun ölçü ile ona dik kısa ölçü farklıysa karşınıza elips biçimi çıkabilir. Bu araç, ideal bir elipsin alanını, yaklaşık çevresini ve odaklarını hesaplar. Tam genişlikleri biliyorsanız ölçüyü önce ikiye bölmek zorunda değilsiniz; formda tam eksen seçeneğini kullanabilirsiniz.

Yine de her oval şekil elips değildir. Kenarları yuvarlatılmış bir dikdörtgen, iki ucu yarım daireli bir koşu pisti veya elle çizilmiş gelişigüzel bir oval farklı geometriye sahiptir. Yalnız uzunluk ve genişliğin aynı olması bu şekilleri aynı yapmaz. Hesaplayıcı, verdiğiniz ölçülerden elips varsayar; fotoğrafa veya nesneye bakıp biçimin gerçekten elips olduğunu doğrulamaz.

İki temel ölçü nereden alınır?

Uzun eksen, elipsin merkezinden geçerek en uzak iki ucunu birleştirir. Kısa eksen, yine merkezden geçer ve uzun eksene diktir. Bu ölçüler bir uçtan diğer uca tam uzunluklardır. Merkezden yalnızca bir uca alınan ölçüler ise yarı eksenlerdir. İsimler benzer olsa da sayılar iki kat farklıdır.

Tam uzunluğu 10 cm, tam genişliği 6 cm olan elipsin yarı eksenleri 5 cm ve 3 cm'dir. Formda tam eksen seçiliyse 10 ve 6; merkezden kenara seçiliyse 5 ve 3 yazın. Aynı fiziksel şekil iki giriş yoluyla da aynı alanı ve çevreyi vermelidir. Bu karşılaştırma, ölçü seçimini kontrol etmek için kullanışlıdır.

Hangi sayıyı önce yazmalısınız?

Bu araç iki ölçünün büyük olanını uzun yarı eksen, küçük olanını kısa yarı eksen olarak düzenler. Bu yüzden 5 ve 3 yerine 3 ve 5 yazmak şekli değiştirmez. Sonuçta hangi eksenin uzun kabul edildiği ayrıca gösterilir. Bu kolaylık, ölçüleri yanlış türde yazabileceğiniz anlamına gelmez; ikisi de aynı seçimle tam veya yarım olmalıdır.

Bir ölçüyü tam uzunluk, diğerini merkezden kenara uzaklık olarak yazmayın. Örneğin uzun eksenin tamamı 10 cm, kısa yarı eksen 3 cm diye not aldıysanız önce ortak ölçü türüne geçin. Ya tam eksenlerle 10 ve 6, ya yarı eksenlerle 5 ve 3 kullanın. Birimlerin de aynı olması gerekir.

Alanı bulmak için iki yarı ekseni çarpın

Elips alanı π × uzun yarı eksen × kısa yarı eksendir. Yarı eksenler 5 cm ve 3 cm ise alan 15π cm², yaklaşık 47,124 cm² olur. Tam eksenlerle aynı işlem π × uzun eksen × kısa eksen / 4 biçiminde yazılır. 10 × 6 / 4 yine 15 verdiği için sonuç değişmez.

Bu formülün pratik kontrolü, elipsi çevreleyen dikdörtgene bakmaktır. Örnekte tam boyutları 10 × 6 cm olan dikdörtgenin alanı 60 cm²'dir. Elips bu dikdörtgenin içinde kalır ve alanı yaklaşık 47,124 cm² olur. Elips alanının çevreleyen dikdörtgenden büyük çıkması ölçü veya işlem hatasına işaret eder.

Neden tam ölçülerle dörtte bir alınıyor?

Her tam eksen yarı eksenin iki katıdır. İki tam ölçüyü çarptığınızda iki çarpan da ikiyle büyüdüğü için sonuç dört katına çıkar. Alan formülündeki bölü dört bu farkı düzeltir. Tam uzunlukları doğrudan π ile çarpmak gerçek elips alanını dört kat büyük verir.

Örneğin 10 cm ve 6 cm tam eksenlerini yarı eksen sanırsanız alanı 60π, yaklaşık 188,496 cm² bulursunuz. Oysa bu ölçülerde doğru alan 15π'dir. Sayıların dört kat farklı çıkmasının nedeni yaklaşık çevre yöntemi veya yuvarlama değildir; ölçü türünün yanlış seçilmesidir. Bu ayrımı özellikle başka bir çizimden veri aktarırken kontrol edin.

Elipsin çevresi neden yaklaşık gösteriliyor?

Dairede çevreyi 2πr ile buluruz. Elipsin iki ekseni farklı olduğunda aynı kolaylıkta tek bir daire formülü kullanılamaz. Çevre, eğrinin bütün küçük parçalarının uzunluklarının toplamıdır. Bu hesaplayıcı, elips yay uzunluğunu sayısal bir integral yöntemiyle hesaplar ve sonucu yaklaşık çevre olarak sunar.

Alan formülünde π bulunmasıyla çevrenin sayısal olarak hesaplanması farklı konulardır. Alanın cebirsel ifadesi doğrudan πab'dir. Çevre içinse program eğri boyunca değişen uzunluk katkılarını toplar. Ekranda çok basamak bulunması sonucu ölçümden bağımsız kesin çevreye dönüştürmez; yöntemin sayısal yaklaşımı ve girdilerin doğruluğu birlikte önemlidir.

İki çevre sonucu neden gösteriliyor?

Ana çevre sonucu sayısal yay hesabından gelir. Ayrı bir satırda Ramanujan yaklaşımı da gösterilir. Bu, elips çevresi için kullanılan daha kısa bir yaklaşık formülle yapılan karşılaştırmadır. İki değer çoğu sıradan ölçüde birbirine yakın olur; elips çok inceldikçe aradaki fark daha görünür hâle gelebilir.

Bu iki sonucu ortalamak daha doğru bir çevre üretmez. Aynı soruya iki farklı yöntemle bakılır; ana sonuç, aracın kullandığı sayısal yay hesabıdır. Yaklaşık formülün gösterilmesi, yöntemi kontrol etmek ve başka bir hesaplayıcıdaki küçük farklılığı açıklamak içindir. Bir üretim toleransının karşılandığını yalnızca bu iki sayının yakınlığıyla kanıtlayamazsınız.

10 × 6 cm elipsi birlikte hesaplayalım

Tam eksenleri 10 cm ve 6 cm seçin. Araç bunları önce 5 cm ve 3 cm yarı eksenlerine dönüştürür. Alan yaklaşık 47,124 cm², çevre yaklaşık 25,527 cm olur. Çevreyi alanın kareköküyle veya iki eksenin basit ortalamasıyla bulmaya çalışmayın; bunlar genel elips çevresini vermez.

Bu elipsi bir kâğıttan kesmek istediğinizde kesilecek yüzey alanı ile kenar boyunca gereken şerit farklı sonuçlardır. Yüzey kaplaması için cm², çevre bandı için cm kullanılır. Ölçülerin gerçek iç kenarı mı dış kenarı mı temsil ettiği de ayrıca belirlenmelidir. Kalın bir çerçevenin dış ölçülerini yazmak iç açıklığın alanını vermez.

İki eksen eşitse ne olur?

Uzun ve kısa yarı eksenler eşit olduğunda elips daire olur. Yarı eksenlerin ikisi de 4 cm ise alan 16π cm², çevre 8π cm'dir. Tam eksen seçeneğinde aynı şekil için 8 cm ve 8 cm yazılır. Araç bu özel durumda doğrudan daire çevresini kullanır.

Bu örnek hesap kontrolü için de yararlıdır. Tam genişliği 8 cm olan daireyi 4 cm yarıçapla daire aracına girdiğinizde aynı alan ve çevreyi görmelisiniz. Küçük ekran yuvarlamaları dışında fark varsa ölçü türünü veya birimi kontrol edin. Dairenin elipsin özel durumu olması, her elipsin tek yarıçapla hesaplanabileceği anlamına gelmez.

Odaklar neyi anlatır?

Elipsin uzun ekseni üzerinde, merkezin iki yanında iki odak bulunur. Elips üzerindeki herhangi bir noktadan bu iki odağa olan uzaklıkların toplamı aynı kalır. Odakların merkezden uzaklığı, uzun yarı eksenin karesi ile kısa yarı eksenin karesi arasındaki farkın kareköküdür.

Yarı eksenler 5 cm ve 3 cm ise merkezden bir odağa uzaklık √(25 − 9) = 4 cm'dir. Odakların birbirine uzaklığı 8 cm olur. Ekrandaki merkezden odağa ölçüsünü iki odak arası ölçü sanmayın. Dairede iki odak merkezde birleşir; bu uzaklığın sıfır çıkması normaldir.

Basıklık sayısını nasıl okuyabilirsiniz?

Sonuçta gösterilen eksantriklik, merkezden odağa uzaklığın uzun yarı eksene bölümüdür. Bu araçta terim, elipsin daireden ne kadar uzaklaştığını anlatan basıklık ölçüsüyle birlikte açıklanır. Dairede sıfırdır; şekil uzayıp inceldikçe bire yaklaşır. Örnekte 4/5 = 0,8 olur.

Bu sayıyı doğrudan yüzde alan kaybı gibi okumayın. 0,8 eksantriklik, alanın yüzde 80 küçüldüğü anlamına gelmez. Ayrıca yalnız uzunluğa bakılarak bulunmaz; iki eksenin ilişkisini içerir. Bir elipsi aynı oranla büyüttüğünüzde alan ve çevre büyür, fakat bu basıklık ölçüsü değişmez.

Uzun bir oval ile elips arasındaki farkı unutmayın

İki ucu yarım daire, ortası düz kenarlı bir pistin çevresi, düz kısımlar ve iki yarım daire toplamıyla hesaplanır. Bu şeklin en uzun ve en kısa ölçülerini elips formuna yazmak farklı bir sınır oluşturur. Görsel benzerlik, alanların veya çevrelerin eşit olduğu anlamına gelmez.

Aynı sorun yuvarlatılmış köşeli masalarda veya kapaklarda da görülür. Şeklin hangi geometrik parçalardan oluştuğunu çiziminden kontrol edin. Bu hesaplayıcı yalnız ideal elipsi modeller; herhangi bir ovalin çevresini iki ölçüden kesin olarak çıkaramaz. Ölçüsü alınmış özel bir kontur için daha ayrıntılı çizim veya sınır verisi gerekir.

Ölçek ve ölçüm hatası sonucu nasıl etkiler?

İki ekseni de iki katına çıkarırsanız çevre iki, alan dört katına çıkar. Yalnız bir ekseni iki katına çıkarmak ise alanı iki katına çıkarır, fakat çevre için basit bir iki kat kuralı vermez. Şeklin basıklığı da değişir. Bu nedenle karşılaştırma yaparken iki ölçüden hangisinin değiştiğini not edin.

Yaklaşık ölçülerle çalışırken alanın her iki eksendeki hatadan etkilendiğini düşünün. Uzunluk ve genişlik biraz büyük ölçülmüşse alan da büyür. Programın daha çok ondalık göstermesi bu ölçüm hatasını ortadan kaldırmaz. Özellikle kenar bandı veya kesim işinde gerekli hassasiyet, ekran basamaklarından değil kullanılan ölçüm yönteminden değerlendirilmelidir.

Sonucu kullanmadan önce kontrol listesi

Ölçülerin ikisi de tam eksen mi, ikisi de yarı eksen mi? Aynı birimde mi? Nesne gerçekten elips mi? Bu üç sorunun yanıtı doğruysa alanı tam eksenlerin çarpımı × π / 4 ile kontrol edebilirsiniz. Çevre karşılaştırmasında ise kullanılan yaklaşık yöntemin farklı olabileceğini hesaba katın.

Sıfır uzunluk, gerçek bir kapalı elips oluşturmadığından desteklenmez. Çok küçük pozitif eksenlerde şekil aşırı ince olur ve sayısal çevre yöntemi özel dikkat gerektirir; araç gerektiğinde yöntem uyarısı gösterir. Sonuçlara kesim payı, dikiş payı veya malzeme uzaması eklenmez. Bunlar ayrı uygulama kararlarıdır ve geometrik çevreyle aynı kavram değildir.

İki elipsin alanını karşılaştırırken ölçüleri izleyin

Tam eksenleri 12 cm ve 4 cm olan elipsin alanı 12π cm²'dir. Tam eksenleri 8 cm ve 6 cm olan başka bir elipsin alanı da 12π cm² olur. İki ölçü çarpımı aynı olduğu için alan eşittir, fakat şekiller aynı değildir. İlk elips daha uzun ve incedir; çevreleri ve odak konumları da farklıdır.

Bu örnek, eşit alanın aynı kenar bandı gerektirmediğini gösterir. Bir kaplamayı aynı alana yaymakla bir çerçevenin etrafını dolaşmak farklı ihtiyaçlardır. Yalnızca alanı kaydederseniz sonraki çevre hesabını tek başına yeniden kuramazsınız. Her iki ekseni ve tam mı yarım mı olduklarını sonuçla birlikte saklayın.

Elips bir dikdörtgenin köşelerini kesmek değildir

Elipsi çevreleyen dikdörtgenin dört kenarına orta noktalardan değdiğini düşünün. Köşelerde kalan bölgeler, elipsin dışındadır. Ancak bu köşeleri belirli bir yarıçapla yuvarlamak genel olarak elips oluşturmaz. Elips sınırının eğriliği boyunca değişimi başka bir kurala uyar.

Bu nedenle bir çizimde yalnızca dış uzunluk ve genişlik verilmişse şeklin tanımını da arayın. “Köşeleri yuvarlatılmış dikdörtgen” veya “iki yarım daireyle kapanan biçim” açıklaması varsa elips alanını kullanmayın. Araç, daha fazla ondalıkla işlem yaparak yanlış şekil varsayımını düzeltemez; önce doğru geometrik model seçilmelidir.

Eksik bir ekseni yalnız çevreden tahmin etmeyin

Elinizde tek bir uzunluk veya yalnız çevre varsa iki eksenin tamamı belirlenmiş olmaz. Birçok farklı elips aynı çevreye yaklaşabilir. Bu sürüm verilen iki eksenden ileri hesap yapar; tek eksen ve çevreden diğer ekseni çözen ayrı bir ters hesap sunmaz. Eksik ölçüyü rastgele doldurmak yerine gerekli uzunluğu çizimden veya güvenilir ölçümden tamamlayın.