Dört eşit kenarı ve dört eşit açısı olan kareyi düşünün. Aynı düzen üç kenarda eşkenar üçgen, altı kenarda düzgün altıgen olarak karşımıza çıkar. Düzgün çokgen hesaplayıcısı, bu tür şekillerin alanını, çevresini, bir kenarını ve açılarını birlikte gösterir. Kullanmak için bütün formülleri bilmeniz gerekmez: kenar sayısını ve elinizdeki bir uzunluğu seçmeniz yeterlidir.

Buradaki en önemli koşul, şeklin gerçekten düzgün olmasıdır. Hem bütün kenarlar hem bütün iç açılar eşit olmalıdır. Yalnızca kenarları eşit olan eğik bir dörtgen, kareyle aynı alanı vermeyebilir. Bir çizimde altı kenar görmek de o şekli otomatik olarak düzgün altıgen yapmaz. Hesabın doğruluğu, ölçtüğünüz şeklin seçilen modele uymasına bağlıdır.

Hangi bilgileri yazmalısınız?

Önce kenar sayısını belirtin. Üçgen için 3, kare için 4, beşgen için 5 yazılır. Bu kutuya bir kenarın uzunluğunu değil, şeklin etrafındaki düz parçaların adedini yazın. Ardından uzunluk birimini seçin ve bildiğiniz ölçüyü belirtin: bir kenar, merkezden köşeye uzaklık veya merkezden kenarın ortasına dik uzaklık.

Üç uzunluk seçeneğinden yalnızca birini kullanmanız yeterlidir; diğerleri düzgünlük koşulundan hesaplanır. Örneğin karede bir kenarı biliyorsanız merkezden kenara uzaklık kenarın yarısıdır. Merkezden köşeye uzaklık ise daha büyüktür. Bu iki mesafeyi aynı ölçü sanmak, özellikle alan hesabında belirgin fark yaratır.

Merkezden köşeye ve kenara olan uzaklıkları ayırın

Şeklin tam ortasından bir köşesine çizilen çizgi dış yarıçapı verir. Aynı merkezden bir kenarın ortasına, kenara dik çizilen kısa çizgi ise iç yarıçaptır. İç yarıçap için apotem adı da kullanılır. Formda bu terim tek başına bırakılmaz; ölçünün nereden nereye alınacağı açıkça yazılır.

Kenar uzunluğu 4 cm olan bir karede merkezden kenar ortasına uzaklık 2 cm'dir. Merkezden köşeye uzaklık ise √8, yaklaşık 2,828 cm olur. 2 yerine 2,828 yazılması yalnızca başka bir yazım değildir; başka büyüklükte bir şekil tanımlar. Merkezin üzerinden bir köşeden karşı köşeye ölçtüğünüz tam genişlik de dış yarıçap değildir.

Çevreyi bulmak en kolay başlangıçtır

Düzgün çokgende bütün kenarlar aynı uzunluktadır. Bu nedenle çevre, kenar sayısı ile bir kenarın uzunluğunun çarpımıdır. Altı kenarın her biri 2 cm ise çevre 6 × 2 = 12 cm olur. Şeklin etrafına şerit geçirmek gibi bir ihtiyaçta başlangıç ölçüsü budur.

Çevre, şeklin kapladığı alanı tek başına her durumda söylemez. Aynı çevreye sahip farklı kenar sayısındaki düzgün şekillerin alanları farklı olabilir. Örneğin çevresi 12 cm olan karenin kenarı 3 cm, alanı 9 cm²'dir. Çevresi yine 12 cm olan düzgün altıgenin alanı yaklaşık 10,392 cm² olur. Kenar sayısı bu yüzden ayrı bir girdidir.

Alanın mantığı: merkezde birleşen üçgenler

Düzgün çokgenin merkezini bütün köşelere birleştirin. Şekil, kenar sayısı kadar eş üçgene ayrılır. Her üçgenin tabanı bir çokgen kenarı, dik yüksekliği merkezden kenarın ortasına olan uzaklıktır. Üçgen alanını taban × yükseklik / 2 ile bulup bütün üçgenleri topladığınızda çokgen alanına ulaşırsınız.

Bu toplamın kısa yazımı çevre × iç yarıçap / 2'dir. Buradaki yüksekliğin merkezden köşeye uzaklık olmadığını hatırlayın. Köşeye giden çizgi üçgenin eğik yan kenarıdır; dik yükseklik yerine kullanılamaz. Araç her iki uzunluğu da sonuçta göstererek çiziminizle karşılaştırmanızı sağlar.

Kenarı 2 cm olan düzgün altıgen örneği

Kenar sayısını 6, uzunluk seçimini bir kenar ve değeri 2 cm yapalım. Çevre 12 cm çıkar. Merkezden kenar ortasına olan uzaklık √3 cm, yaklaşık 1,732 cm'dir. Alan 12 × √3 / 2 = 6√3 cm², yaklaşık 10,392 cm² olur.

Aynı düzgün altıgende merkezden köşeye uzaklık 2 cm'dir. Bu eşitlik düzgün altıgenin özel bir özelliğidir; bütün çokgenlerde kenar ile dış yarıçap eşit değildir. Sonuçları farklı şekillere taşırken bu özel durumu genel kural gibi kullanmayın. Karede, beşgende veya sekizgende ilişki değişir.

İç yarıçaptan kare hesabı

Bir karenin merkezinden bir kenarın ortasına olan uzaklığın 2 metre olduğunu biliyorsunuz. Kenar sayısını 4, ölçü seçimini merkezden kenar ortasına uzaklık ve değeri 2 yazın. Araç kenarı 4 metre, çevreyi 16 metre ve alanı 16 m² olarak hesaplar.

Bu örnekte alan ve çevrenin sayısal değerleri aynı olsa da birimleri farklıdır. Alan zeminin ne kadar yer kapladığını, çevre etrafındaki çizginin uzunluğunu anlatır. Zemini kaplama miktarını çevre satırından, kenar bandını alan satırından belirleyemezsiniz. Sayıyı aktarırken birimini de aktarmak bu karışıklığı önler.

Dış yarıçaptan düzgün altıgen hesabı

Merkezden köşeye uzaklığı 5 cm olan düzgün altıgeni seçelim. Kenarı da 5 cm, çevresi 30 cm olur. İç yarıçap 5√3/2, yaklaşık 4,330 cm'dir. Alan 30 × 4,330… / 2, yaklaşık 64,952 cm² çıkar.

Ölçü bir köşeden karşı köşeye tam 10 cm olarak alınmışsa, bu örnekte dış yarıçap 5 cm'dir. Ancak karşılıklı köşelerden geçen tam genişlik her yöndeki genişlikle aynı değildir. Bir parçanın dar bir yere sığıp sığmayacağını anlamak için sadece bir çap benzeri ölçüye bakmayın; yerleşim yönünü ve gerçek dış ölçüleri de değerlendirin.

İç açı neyi gösterir?

İç açı, iki komşu kenarın şeklin içinde oluşturduğu açıdır. Düzgün üçgende 60, karede 90, düzgün altıgende 120 derecedir. Kenar sayısı arttıkça bir iç açı büyür ve 180 dereceye yaklaşır. Bu, her köşenin daha az keskin görünmesini açıklar.

Bir iç açı 180 − 360/kenar sayısı işlemiyle bulunur. Örneğin düzgün sekizgende 180 − 45 = 135 derece elde edilir. Bu değer, merkezden komşu iki köşeye çizilen çizgiler arasındaki merkez açısıyla aynı değildir. Sekizgende merkez açısı 45 derecedir; iki sonucu birbirinin yerine kullanmayın.

Dış açı ve bütün açıların toplamı

Bir kenar boyunca ilerleyip sonraki kenara döndüğünüzde yaptığınız yön değişimi dış açıdır. Dışbükey düzgün çokgende bir dış açı 360/kenar sayısıdır. Şeklin etrafında bir tam tur dolaşıldığında dış açıların toplamı 360 derece olur. Kenar sayısı değişse de bir tam tur değişmez.

İç açıların toplamı ise (kenar sayısı − 2) × 180 derecedir. Altıgende toplam 720 derece, bir iç açı 120 derecedir. Toplam açı ile tek köşe açısını ayırın. Sonuçta ikisinin de gösterilmesi, çizim veya ödevde hangi bilginin sorulduğunu kontrol etmenizi kolaylaştırır.

Köşegen sayısı uzunluk değildir

Köşegen, komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Karede iki, düzgün altıgende dokuz köşegen vardır. Sayı, n × (n − 3) / 2 ile bulunur. Her köşe kendisine ve iki komşusuna bağlanan çizgileri köşegen saymaz; kalan bağlantılar iki kez sayıldığı için toplam ikiye bölünür.

Araç köşegenlerin adedini verir, bütün köşegenlerin ayrı uzunluklarını veya toplam uzunluğunu vermez. Altıgende farklı uzunlukta köşegenler bulunabilir. Bu nedenle dokuz sayısını tek bir köşegen uzunluğuyla çarpıp bütün çizgilerin toplamını bulmak doğru olmayabilir. Üçgende köşegen sayısının sıfır olması normaldir; bütün köşe çiftleri zaten kenarla bağlıdır.

Ölçek değişiminde alanı ayrı düşünün

Aynı şeklin bütün uzunlukları iki katına çıktığında çevre iki, alan dört katına çıkar. Kenarı 2 cm olan kare 4 cm² iken kenarı 4 cm olan kare 16 cm²'dir. Ölçekli bir çizimde uzunluk çarpanını alana doğrudan uygulamak bu yüzden yanlıştır.

Birim değiştirirken de benzer dikkat gerekir. 1 m, 100 cm; fakat 1 m², 10.000 cm²'dir. Formdaki birim seçimi yazılmış rakamları dönüştürmez. 2 metreyi santimetreyle kullanmak için 200 yazmalısınız. Aynı birim seçimi, sonuçtaki çevrenin uzunluk birimini ve alanın kare birimini birlikte belirler.

Şeklin düzgün olmadığı nasıl anlaşılır?

Kenarları ayrı ayrı ölçtüğünüzde farklı uzunluklar çıkıyorsa bu model uygun değildir. Kenarlar eşit görünse bile köşeler farklı açılarda olabilir. Örneğin bir eşkenar dörtgeni eğdikçe kenarları aynı kalırken alanı değişir. Düzgün dörtgen olarak hesaplamak, gerçekte kare olmayan şekli kare kabul etmek olur.

Bir arazi, yamuk kesilmiş levha veya düzensiz oda için yalnızca kenar adedini ve tek uzunluğu yazmak yeterli bilgi sağlamaz. Böyle durumlarda şekli ölçülmüş üçgenlere bölmek veya koordinatları kullanmak gibi başka yöntemler gerekir. Bu hesaplayıcının çok sayıda kenar kabul etmesi, düzensiz sınırları otomatik olarak çözebildiği anlamına gelmez.

Çok kenarlı şekillerde sayıyı büyütmek neyi değiştirir?

Merkezden köşeye uzaklık sabit tutulursa kenar sayısı artan düzgün çokgen, çevresindeki çembere yaklaşır. Her kenar kısalır ve şeklin dışı daha yuvarlak görünür. Fakat kenar uzunluğunu sabit tutup kenar sayısını artırırsanız şeklin genel büyüklüğü de artar. İki karşılaştırma aynı değildir.

Bu nedenle birkaç sonuç arasında karşılaştırma yaparken hangi ölçüyü sabit bıraktığınızı not edin. Birinde kenarı, diğerinde dış yarıçapı aynı tutmak alan değişimini yanlış yorumlatabilir. Araç her sonucun yanında kullanılan ölçüleri gösterir; bir senaryoyu kaydederken yalnızca alanı değil bu bilgileri de saklamak yararlıdır.

Sonucu ölçümünüzle karşılaştırın

Önce kenar adedinin doğru olduğunu, sonra uzunluğun kenar mı merkez ölçüsü mü olduğunu kontrol edin. Hesaplanan dış yarıçap iç yarıçaptan büyük olmalıdır. Çevreyi kenar sayısı × kenar uzunluğuyla, alanı çevre × iç yarıçap / 2 ile yeniden kontrol edebilirsiniz.

Ondalık sonuçlar ideal geometrinin sayısal karşılığıdır. Eğilmiş, aşınmış veya yaklaşık ölçülmüş bir parçada çok basamaklı sonuç gerçek ölçü hassasiyetini artırmaz. Kesim payı, kaplama kaybı ve bağlantı boşluğu bu hesaba kendiliğinden eklenmez. Araç geometrik boyutları hesaplar; yapı, montaj veya üretim güvenliğine ilişkin bir onay vermez.

Aynı kenarlı kare ile altıgeni karşılaştıralım

Bir kenarı 2 cm olan karede çevre 8 cm, alan 4 cm²'dir. Aynı kenar uzunluğundaki düzgün altıgende çevre 12 cm, alan yaklaşık 10,392 cm² olur. Altıgenin yalnızca iki fazla kenarı bulunması, alan farkının da iki santimetrekare olacağı anlamına gelmez. Merkezden kenara uzaklık ve şeklin bütün yerleşimi değişir.

Bu karşılaştırmayı bir şablon seçerken kullanabilirsiniz; ancak her iki şablonun aynı kutuya sığdığını varsaymayın. Kenar uzunluğu eşit olsa bile dış yarıçaplar ve yönlere göre genişlikler farklıdır. Alana bakarak taşıma kutusunun ölçüsünü veya parçanın dar bir boşluktan geçeceğini belirlemek için ek ölçüler gerekir.

Açı sonucu kesim açısıyla aynı olmak zorunda değil

Düzgün altıgenin bir iç açısı 120 derecedir. Fakat bunu bir kesim makinesinin ayarına doğrudan 120 olarak girmek her bağlantı biçiminde doğru değildir. Makinenin sıfır konumu, iki parçanın birleşme düzeni ve verilen açının hangi yüzeyler arasında ölçüldüğü ayrıca bilinmelidir. Araç geometrik iç ve dış açıları hesaplar; makineye özgü kesim ayarı üretmez.

Çizimdeki merkez açısı, dış açı ve iç açı başlıklarını bu yüzden ayrı okuyun. Bir değerin formülde doğru bulunması, başka bir araçta aynı başlıkla kullanıldığı anlamına gelmez. Uygulama ölçüsünü belirlemeden önce çizim üzerindeki iki doğruyu işaretleyerek hangi açının arandığını netleştirin.

Ölçüden sonra sonucu yeniden kurun

Sonucu kaydederken yalnız alanı değil kenar sayısını ve bilinen uzunluğun türünü de not edin. Örneğin “altıgen, kenar 2 cm” ile “altıgen, iç yarıçap 2 cm” aynı şekli tanımlamaz. Girdi bilgileri korunursa daha sonra farklı birimle kontrol yapmak veya çizimi büyütmek kolaylaşır; belirsiz bir alan sayısından başlangıç ölçülerini tek başına çıkarmak mümkün olmayabilir.