Sayısal İntegral

Girdi alanındaki her dolu satır tek bir noktadır. Önce x, ardından noktalı virgül ve y yazın; örneğin 2;3,5 satırı x değeri 2, y değeri 3,5 olan noktayı belirtir. Her satırda tam iki bölüm bulunmalıdır. Koordinatların çevresindeki boşluklar ve bütünüyle boş satırlar yok sayılır. Bunun dışında noktaların sırası korunur. Bir satıra birden fazla nokta eklemeyin; başlık, yorum, birim adı veya sütun adı yazmayın. Böylece her satırın aynı açık kuralla okunması sağlanır.

En az iki, en fazla 300 nokta girilebilir. Toplam girdi uzunluğu 20.000 karakteri geçemez. Her x ve y değeri sonlu olmalı ve mutlak değeri 1.000.000.000 sınırını aşmamalıdır. Buradaki noktalar açıklamada kullanılan binlik gruplamadır; alana sınır değerini 1000000000 biçiminde yazın. İki nokta yalnız bir aralık oluşturur; üç nokta iki aralık oluşturur. Nokta sayısını artırmak tek başına daha iyi veri elde edildiğini göstermez. Eklenen noktaların gerçek ölçümü veya açıkça seçilmiş bir modeli temsil etmesi gerekir.

Ondalık ayırıcı olarak virgül veya nokta kullanılabilir. Negatif değer için klavyedeki ASCII kısa çizgi eksi işaretini kullanın. Sayının tam kısmı yazılmalıdır: .5 yerine 0.5, 5. yerine 5 girin. Başta artı işareti, bilimsel gösterim, binlik gruplama veya aynı sayı içinde birden fazla ayırıcı kabul edilmez. Örneğin 1e3 yerine 1000 yazın. Sonlu olmayan bir değer, boş bir koordinat ya da sayının yanına eklenen açıklama da geçerli koordinat değildir.

Koordinatların anlamlı ondalık kısmı en fazla altı basamak olabilir. Örneğin 0,123456 kabul edilir; 0,1234560 da aynı sayıyı gösterdiği için kabul edilir. Buna karşılık 0,1234561 kabul edilmez ve altı basamağa yuvarlanmaz. Bu tercih, birbirine yakın x değerlerinin sessizce eşitlenmesini veya y değerlerinin değiştirilmesini önler. Negatif sıfır normal sıfır olarak ele alınır. Bu nedenle x için -0 ve 0 farklı nokta konumları değildir; aynı seri içinde ardışık kullanılırlarsa eşit x hatası oluşur.

Her yeni x değeri, önceki x değerinden kesin olarak büyük olmalıdır. Eşit veya geriye giden x içeren seri reddedilir. Araç veriyi otomatik sıralamaz, yinelenen x satırlarını birleştirmez ve ölçüm silmez. Örneğin 0, 2, 1 biçimindeki sıra, girildiği haliyle kabul edilemez. Düzeltme yapmadan önce bunun bir yazım hatası mı, farklı bir ölçüm sırası mı olduğunu belirleyin. Noktaları anlamını kontrol etmeden sıralamak, özellikle zamana bağlı bir deneyin ne anlattığını değiştirebilir.

x değerlerinin negatif olması sorun değildir; önemli olan soldan sağa kesin artıştır. Örneğin -2, -0,5 ve 1 sırası geçerlidir. y değerleri ise pozitif, negatif veya sıfır olabilir ve aralarında artma koşulu aranmaz. Düzensiz aralıklar da doğrudan kullanılabilir: ilk iki nokta arasında bir birim, sonraki iki nokta arasında üç birim bulunabilir. Araç her aralığın genişliğini kendi x farkından hesaplar. Tek bir ortak aralık genişliği varsayılmadığı için eşit örnekleme aralığına dönüştürme yapmanız gerekmez.

Komşu iki noktanın x değerleri arasındaki fark aralık genişliğidir. Bu genişlik, iki y değerinin aritmetik ortalamasıyla çarpılır. Kullanılan ifade A = (x₂ − x₁) × (y₁ + y₂) / 2 biçimindedir. x artışı zorunlu olduğundan genişlik pozitiftir; katkının işaretini y değerlerinin toplamı belirler. İki y değeri de pozitifse katkı pozitiftir, ikisi de negatifse katkı negatiftir. Karşıt işaretli y değerlerinde ise büyüklükler birbirini kısmen veya tamamen götürebilir.

Örneğin bir birim genişliğindeki aralıkta y değerleri 2 ve -2 ise katkı sıfırdır. Bu, iki nokta arasında hiç değişim olmadığı anlamına gelmez. Doğrusal parça x eksenini keser; pozitif ve negatif katkılar eşit büyüklükte olduğu için işaretli toplam sıfır olur. Aynı nedenle toplam integralin küçük olması, bütün ölçümlerin küçük olduğu sonucunu vermez. Büyük fakat karşıt işaretli katkılar birbirini götürebilir. Bir ölçüm serisini değerlendirirken yalnız son kartı okumak yerine aralık katkılarını da inceleyin.

Bileşik toplam, bütün komşu aralık katkılarının sırayla toplanmasıdır. Birikimli sütun ilk noktada sıfırdan başlar. İkinci noktada ilk aralığın katkısını, üçüncü noktada ilk iki aralığın toplamını gösterir. Son noktadaki birikimli değer, sonuç kartındaki işaretli sayısal integrale eşittir. İlk satırda aralık genişliği ve aralık katkısının tireyle gösterilmesinin nedeni, o noktadan önce hesaplanan bir aralığın bulunmamasıdır. Bu tireler eksik ölçüm veya bilinmeyen y değeri anlamına gelmez.

Bu araç geometrik mutlak alan hesaplamaz. Negatif aralık katkıları negatif kalır; pozitif katkılara eklenirken onları azaltabilir. Eksenin iki tarafındaki büyüklükleri ayrı ayrı pozitif saymak, başka bir sorudur. Üstelik bir aralıkta doğru parçası ekseni kesiyorsa yalnız bütün aralık katkısının mutlak değerini almak, o parçanın toplam geometrik alanını vermez. İşaretli sonuçtan geometrik alan elde etmek için doğrudan mutlak değer kullanmayın. İhtiyaç duyduğunuz niceliğin işaretli birikim olup olmadığını ölçümlerin bağlamından belirleyin.

Fiziksel anlamda da aynı ayrım geçerlidir. Örneğin zamana göre işaretli hızın integrali, uygun birimlerle yer değiştirmeyi temsil edebilir. Toplam gidilen mesafe için hareketin yön değiştirdiği yerlerin ve hız büyüklüğünün ayrıca değerlendirilmesi gerekir. Araç bu anlamı sizin yerinize seçmez ve mesafe çıktısı adı vermez. Eksen birimleri tutarlı olsa bile ölçümün nasıl tanımlandığını bilmek gerekir. Sonuç kartında genel x·y birimi kullanılması, bu bağlamı otomatik olarak varsaymamak içindir.

Girilen iki komşu nokta arasında doğrusal değişim varsayımı yapıldığında yamuk katkısı o doğru parçasının integralini kesin verir. Parçalar bir araya getirildiğinde elde edilen parçalı doğrusal modelin toplam integrali de kesin hesaplanır. Ancak ölçülmeyen noktalardaki gerçek eğrinin bu doğru parçalarıyla çakıştığı bilinmez. Bu yüzden aynı sayı, asıl bilinmeyen eğrinin integrali açısından bir yaklaşımdır. Aritmetiğin kesinliği ile ölçüm modelinin gerçeğe uygunluğunu ayrı değerlendirin; birinin sağlanması diğerini kanıtlamaz.

Araç bilinmeyen eğri için garanti edilmiş hata sınırı üretmez. Noktalar arasındaki eğrilik, ölçüm hatası veya ani değişim yalnız verilen koordinatlardan belirlenemez. Daha sık ölçüm bazı durumlarda ayrıntıyı daha iyi gösterebilir, fakat burada bu durum için sayısal bir doğruluk güvencesi verilmez. Ayrıca yöntem sembolik bir fonksiyon çözümleyicisi değildir; alana formül yazıp türev veya kapalı biçimde integral bulamazsınız. Simpson hesabı, eğri uydurma, dışa doğru kestirim ve ölçüm aralığı dışındaki değerler de kapsam dışıdır.

Kabul edilen koordinatlar hesapta milyonda bir birim ölçeğinde tam sayılarla tutulur. Aralık katkıları ortak 2000000000000 paydası üzerinden kesin paylarla toplanır; sonuç gerektiğinde sadeleştirilmiş kesir olarak da gösterilir. Bu yapı, altı ondalıklı iki koordinatın çarpımı ve ikiye bölünmesiyle oluşabilen en fazla on üç ondalıklı değeri kayıpsız gösterebilir. Gösterilen kesin ondalık metin ve kesir esas alınır. İkincil sayısal alanlarda kullanılan standart sayı gösterimi, özellikle çok büyük değerlerle küçük farklar birlikteyken aynı hassasiyeti korumayabilir.

Bu hesap kesinliği, bir ölçüm cihazının altı basamağa kadar doğru olduğunu söylemez. Girdideki bütün rakamlar sizin verdiğiniz koordinatın parçası kabul edilir; ölçüm belirsizliği ayrıca eklenmez. Daha önce başka bir yazılımda yuvarlanmış veya sayısal dönüşümle basamak kaybetmiş bir veri bu araca ulaştığında kaybolan rakamlar geri getirilemez. Orijinal ölçüm metnini korumak, birimleri kaydetmek ve düzeltmelerin nedenini kendi çalışma notunuzda belirtmek karşılaştırmanın izlenebilmesine yardımcı olur. Araç bir veri doğrulama laboratuvarı veya ölçüm kalibrasyon hizmeti değildir.

Noktaları artan x sırasıyla, her satıra x;y gelecek biçimde hazırlayın. Bütün x değerlerini kendi içinde, bütün y değerlerini kendi içinde aynı birimde tutun. Hesaplayın; her aralık katkısını ve sıfırdan başlayan birikimli sütunu okuyun. Son işaretli toplamı, ölçümlerin aralığı ve doğrusal model varsayımıyla birlikte değerlendirin.

İlk değerlendirmede nokta ve aralık sayılarını beklediğiniz listeyle karşılaştırın. Alt x, üst x ve toplam açıklık, ölçüm kapsamının doğru aktarılıp aktarılmadığını anlamaya yardımcı olur. Ardından ilk ve son y değerlerini, pozitif ve negatif katkılı aralık sayılarını kontrol edin. Tabloda beklemediğiniz büyük bir katkı görüyorsanız o aralığın genişliğine ve iki uç y değerine birlikte bakın. Uzun bir aralık, uç değerler orta büyüklükte olsa bile toplamda belirgin pay oluşturabilir.

İlk seriyi ve sonuç tablosunu kaydedin. Düzeltilmiş ölçümü kendi satırında değiştirin; x artışını yeniden kontrol edin. Tekrar hesaplayıp komşu aralık katkıları ile son birikimli değeri karşılaştırın. Karşılaştırmada birimleri ve ölçüm kapsamını aynı tutun; hata garantisi çıkarmayın.

Bir iç noktadaki y değerini değiştirmek, o noktanın hem solundaki hem sağındaki aralık katkısını etkileyebilir. Bir x değerini değiştirmek ise komşu genişlikleri değiştirir ve kesin artış koşulunu bozabilir. Son toplamın hangi değişiklikten etkilendiğini anlayabilmek için mümkünse bir düzeltmeyi bir seferde inceleyin. Başlangıç veya bitiş noktasını değiştiriyorsanız yalnız ölçüm değerini değil, hesaplanan kapsamı da değiştirmiş olabilirsiniz. Farklı kapsamların toplamlarını aynı deneyin aynı aralığıymış gibi yorumlamayın.

Ölçümleri başka bir tablodan aktarırken her satırda yalnız x ve y değerinin kaldığını kontrol edin. Başlıkları, birim adlarını ve açıklamaları girdi alanına eklemeyin. Ondalık ayırıcıların, eksi işaretlerinin ve satır sonlarının doğru aktarıldığını gözden geçirin. Başka bir programda yuvarlanmış rakamlar burada geri getirilemez. Karşılaştırma yapacaksanız özgün ölçüm listesini, kullanılan birimleri ve yaptığınız düzeltmeleri kendi çalışma notunuzda saklayın.

Bu hesaplayıcı kullanıcı girdilerini veya sonuçlarını ağ üzerinden göndermez. Her hesap o çağrıda verilen noktalardan oluşur; önceki serinin noktaları yeni seriye eklenmez. Hatalı girdi yaklaşık bir sonuç üretmek için sessizce düzeltilmez. Eşit x değerleri birleştirilmez, ters sıralı bölüm otomatik çevrilmez ve fazla ondalıklar yuvarlanmaz. Hata aldığınızda ilgili satırın hem yazımını hem ölçümdeki yerini kontrol edin. Düzelttiğiniz girdinin ölçümün gerçek anlamını koruduğundan emin olduktan sonra yeniden hesaplayın.

Matematiksel dayanak [NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5](https://dlmf.nist.gov/3.5) bölümündeki 3.5.1 tek aralık yamuk formülüdür. Burada düzensiz aralıklı toplam, bu tek aralık ifadesini her komşu ölçüm çifti için ayrı uygulayıp toplama yoluyla özgün olarak kurulmuştur. Aynı bölümdeki 3.5.2 eşit aralıklı bileşik formül ve 3.5.3 koşullu hata ifadesi, düzensiz seri için doğrudan uygulanmış gibi sunulmaz. Araç bilinmeyen eğriye ait türev veya hata sınırı bilgisi istemediğinden böyle bir garanti üretmez.

[scipy.integrate.trapezoid belgesi](https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.trapezoid.html), örnek noktaları ve verilen sıra üzerinden bileşik yamuk yaklaşımını; [scipy.integrate.cumulative_trapezoid belgesi](https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.cumulative_trapezoid.html) ise başlangıca sıfır eklenen birikimli çıktı yaklaşımını açıklamak için kaynak alınmıştır. Bu araç çalışma sırasında SciPy kütüphanesini kullanmaz ve kütüphaneden kod kopyalamaz. Kaynaktaki işlev ters x sırasını kabul edebilir; burada kesin artan x koşulu bilinçli ürün kuralıdır. Kaynak işlevle aynı bütün davranışların sunulduğu iddia edilmez.

Kaynaklar 18 Ekim 2026 tarihinde, 11:13:11–11:13:37 UTC erişim aralığında okunmuştur. Bu erişim zamanı belgelerin yayın tarihi değildir; sayfa yayın tarihleri doğrulanmış olarak verilmez. DLMF sitesinde görülen 1.2.8 sürümünün 15 Eylül 2026 sürüm tarihi de bu bölümün yayın tarihi yerine kullanılmaz. Hak bildirimleri ayrı korunur: © 2010–2026 NIST ve © 2008 The SciPy community. [NIST bildirimleri](https://dlmf.nist.gov/about/notices) içeriğe özgü kısıtlar bulunabileceğini açıklar; bütün içeriğin kamu malı veya açık lisanslı olduğu ileri sürülmez.

Rehberin anlatımı, örnekleri ve hesap uygulaması özgün hazırlanmıştır. Kaynakların metin, tablo, şekil veya kodu kopyalanmamıştır; bir kaynağın lisansı bu özgün araca kendiliğinden aktarılmamıştır. Kaynak göstermek, her kaynak parçasının sınırsız biçimde yeniden yayımlanabileceği anlamına gelmez. Hesaplanan değerleri kullanırken de formülün uygulanma koşullarını koruyun: artan x, tutarlı birimler ve komşu noktalar arasında doğrusal model. Özellikle hata garantisi, geometrik alan veya sembolik çözüm gerektiren bir soruda bu çıktının kapsamını genişleterek yorumlamayın.

Noktalar alanına aşağıdaki satırları sırayla girin. Her tablo satırındaki metin ayrı bir girdi satırıdır; satırları birleştirmeyin.

Sonuç kartı: İşaretli sayısal integral: 4 x·y birimi.

Nokta tablosunda x ve aralık genişliği x birimiyle, y değerleri y birimiyle, katkılar ve birikimli integral x·y birimiyle okunur.

İlk aralıkta y değerleri 2 ve -2 olduğundan işaretli katkı sıfırdır. İkinci aralık iki x birimi genişliğindedir; uç değerlerin ortalaması 1 olduğundan katkı 2 olur. Son aralık da 2 katkı ekler. Birikimli sütunun 0, 0, 2, 4 biçiminde ilerlemesi bu üç katkının toplamını gösterir. Sıfır katkılı ilk aralıkta doğrusal parça ekseni keser; burada pozitif ve negatif kısımlar birbirini götürür. Sonucun 4 olması, mutlak geometrik alanın da 4 olduğu anlamına gelmez.

Noktalar alanına aşağıdaki satırları sırayla girin. Her tablo satırındaki metin ayrı bir girdi satırıdır; satırları birleştirmeyin.

Sonuç kartı: İşaretli sayısal integral: -10 x·y birimi.

Nokta tablosunda x ve aralık genişliği x birimiyle, y değerleri y birimiyle, katkılar ve birikimli integral x·y birimiyle okunur.

İlk aralık iki x birimi genişliğindedir ve ortalama y değeri -2'dir; katkı -4 olur. İkinci aralık üç x birimi genişliğinde, ortalama y değeri yine -2 olduğundan katkısı -6'dır. Bu iki negatif katkı toplamda -10 verir. Birikimli değerin azalması hata değildir; işaretli değerler korunmaktadır. Sonucu pozitif bir büyüklüğe dönüştürmek için işareti silmek, aracın hesapladığı niceliği değiştirmiş olur. Ölçümlerin bağlamında negatif y'nin ne anlama geldiğini ayrıca değerlendirin.

Noktalar alanına aşağıdaki satırları sırayla girin. Her tablo satırındaki metin ayrı bir girdi satırıdır; satırları birleştirmeyin.

Sonuç kartı: İşaretli sayısal integral: -0,45 x·y birimi.

Nokta tablosunda x ve aralık genişliği x birimiyle, y değerleri y birimiyle, katkılar ve birikimli integral x·y birimiyle okunur.

İlk iki y değeri eşit büyüklükte ve karşıt işaretli olduğundan ilk katkı sıfırdır. Sonraki 0,75 genişlikli aralık -0,9 katkı verir. Son aralık ise aynı genişlikte olmasına rağmen uç değerlerin ortalaması pozitif olduğu için 0,45 ekler. Böylece son birikimli değer -0,45 olur; sadeleştirilmiş kesin kesir -9/20'dir. Başlangıç ve bitiş y değerlerinin pozitif olması toplamın pozitif olmasını gerektirmez. Bütün aralıkların genişlikleri ve işaretli katkıları birlikte belirleyicidir.