Poisson Dağılımı Hesaplama: Sabit Pencerede Tam Olay Sayısı

Önce hangi olayı saydığınızı belirleyin

Poisson hesabında soru, seçilmiş bir pencerede tam k olay görülmesidir. Pencere bir saat, bir çalışma günü, belirli büyüklükte bir yüzey veya sabit bir hacim olabilir. Olayın tanımı ve pencerenin sınırları değişmeden kalmalıdır. Bir destek kanalına gelen yeni mesajları sayarken aynı mesajın tekrar açılmasını ikinci olay sayarsanız başka bir büyüklüğü ölçmüş olursunuz. Hesaplamaya başlamadan önce bu ayrımı netleştirmek, sonuçtaki basamak sayısından daha değerlidir.

Formdaki ilk bilgi, o pencereye ait ortalama olay sayısıdır. İkinci bilgi, olasılığını merak ettiğiniz tam sayıdır. Örneğin ortalaması dört olay olan bir pencerede tam iki olay sorusu, üç veya dört olayın olasılığını içermez. Sonucu okumadan önce cümlenizi yazın: “Bu belirli pencerede tam iki yeni olay.” Böylece toplam olay grubu ile tek bir olay sayısının olasılığı birbirine karışmaz.

Ortalama λ ile tam sayı k farklı bilgiler taşır

λ, aynı tür pencerelerin uzun dönem ortalaması olarak düşünülebilir. Bir pencerenin gözlenen sayısı değildir ve tam sayı olmak zorunda değildir. Ortalama 0,4 olay, her pencerede bir olayın onda dördünün gerçekleşeceğini söylemez. Pencerelerde sıfır, bir, iki veya daha fazla olay görülebilir; bu sayımların ortalaması 0,4 olabilir. Bir olayın kaç kez sayılacağına ilişkin k ise sıfır dahil bir tam sayıdır.

λ değerini k alanına, gözlenmiş tek bir sayımı da otomatik olarak λ alanına taşımayın. Tek pencerenin sayımı, ortalamaya ilişkin güvenilir bilgi vermek için yeterli olmayabilir. Bu araç elinizdeki sayımlardan ortalama tahmini yapmaz. Ortalama ve pencere tanımını siz verirsiniz. Çıktı, verdiğiniz ortalama doğru kabul edildiğinde seçtiğiniz tam sayının model içindeki olasılığıdır; ortalamanın ölçüm veya tahmin hatasını kapsamaz.

Hızı pencerenin ortalamasına dönüştürün

Bir hız biliyorsanız ortalamayı hız × maruziyet ile hazırlayabilirsiniz. Saatte sekiz olay için on beş dakikalık pencere, saatin dörtte biridir. Bu pencerenin ortalaması 8 × 15/60 = 2 olur. Forma λ olarak iki yazılır. Sekiz yazmak bir saatlik pencereyi kullanmak anlamına gelir ve on beş dakikalık soruya yanlış bir ortalama bağlar. Birimler aynı temelde ifade edilmeden çarpma yapılmamalıdır.

Aynı düşünce alan veya hacim için de geçerlidir. Metrekare başına ortalama üç bağımsız nokta sayılıyor ve iki metrekarelik sabit bir yüzey inceleniyorsa, homojen model altında λ = 3 × 2 = 6 hazırlanır. Santimetrekare ile metrekareyi, mililitre ile litreyi karıştırmayın. Form birim seçmez veya birim dönüşümünü kendiliğinden yapmaz. Hızın hangi büyüklüğe bölündüğünü ve pencerenin o büyüklükte ne kadar olduğunu önce yazılı olarak kontrol edin.

Sabit hız varsayımının pratik karşılığı

Tek λ ile hesap yapmak, pencere boyunca olay hızının değişmediğini varsayar. Günün sakin saatlerini yoğun saatlerle birleştirip bütün gün için tek ortalama bulmak, her kısa pencereye aynı ortalamayı vermeyi haklı çıkarmaz. Bir kampanya sırasında artan mesaj akışı ile normal günlerdeki akış farklı olabilir. Benzer şekilde bir yüzeyin belirli köşelerinde olaylar kümeleniyorsa bütün alanı homojen kabul etmek uygun olmayabilir.

Olayların birbirinden bağımsız oluşması da önemlidir. Bir olay başka olayları tetikliyor, aynı kaynaktan toplu kayıtlar geliyor veya sayımlar birbirine bağlı gruplar halinde oluşuyorsa basit model yetersiz kalabilir. Form bu ilişkileri ölçmez. Verdiğiniz iki sayıdan bağımsızlık veya homojenlik kararı çıkarılamaz. Sonucu bir operasyonel kararın tek gerekçesi yapmak yerine, pencere tanımını ve olayların oluşma biçimini açıklayan verilerle birlikte değerlendirin.

Formülün parçalarını okuyun

Tek bir tam sayının olasılığı P(X=k) = exp(−λ) × λ^k / k! bağıntısıyla bulunur. Buradaki X, penceredeki rastgele olay sayısıdır. k! ise k’den bire kadar tam sayıların çarpımıdır; 0! değeri birdir. Formül, farklı k değerlerine farklı ağırlıklar verir. λ ve k aynı sayı olduğunda bile olasılık bir olmaz: ortalamanın çevresinde başka tam sayılar da mümkündür.

Örneğin λ = 4 ve k = 2 için exp(−4) × 4² / 2! kullanılır. Olasılık yaklaşık 0,14652511111, yüzde karşılığı yaklaşık %14,652511111 olur. Bu örnek bir teklifin, işlemin veya belirli bir kişinin gerçekleşme olasılığı değildir. Belirlenmiş pencere ve olay tanımı için matematiksel bir senaryodur. Sonuç, aynı koşullardaki çok sayıda pencere düşünülerek yorumlanır; tek pencerenin mutlaka iki olay vereceği söylenmez.

Yüzde ile 0–1 arasındaki olasılığı ayırın

Ana sonuç yüzde olarak gösterilir. Yardımcı satırda aynı olasılığın sıfır ile bir arasındaki karşılığı bulunur. %14,65 civarındaki bir sonuç, 0–1 ölçeğinde yaklaşık 0,1465’tir. Bu iki gösterim farklı olasılıklar değildir; biri diğerinin yüz katıdır. Başka bir tabloda veya hesapta sonuç kullanırken hangi ölçeğin beklendiğine bakın. Yüzdeyi doğrudan 0–1 olasılığı isteyen bir formüle yazmak yüz katlık hataya yol açar.

Yüzde işaretinin önündeki yaklaşık simgesi, sonucun yuvarlanarak yazıldığını belirtir. Gösterim en çok on iki anlamlı basamak kullanır; ölçtüğünüz ortalamanın da bu kadar kesin olduğunu söylemez. Ortalama kaba bir tahminse çok basamaklı olasılık, verideki belirsizliği ortadan kaldırmaz. Rapor hazırlarken model varsayımını, pencereyi ve λ değerinin nasıl elde edildiğini sayının yanında belirtmek, yalnız ayrıntılı bir yüzde vermekten daha açıklayıcıdır.

Büyük ortalamada tek sayının olasılığı neden küçüktür?

λ = 10000 ve k = 10000 için sonuç yaklaşık %0,398938955896’dır. Ortalama ile istenen sayı aynı olduğu halde tam bu tek sayının olasılığı yüzde birden küçüktür. Sayımın ortalamanın yakınında bulunması ile tam bir sayı olması farklı olaylardır. Ortalamanın çevresindeki çok sayıda olası tam sayı, toplam olasılığı paylaşır. Araç bu sayıların oluşturduğu bir aralığı toplamaz; yalnız yazdığınız k değerini hesaplar.

Büyük sayılarla çalışırken λ^k veya k! değerini ayrı ayrı büyütmek kullanışlı değildir. Araç olasılığı logaritmik biçimde değerlendirir. k ve λ birbirine yakın olduğunda büyük terimleri çıkarıp küçük bir sonuç bırakmanın yol açabileceği hassasiyet kaybını ayrıca azaltır. Bu sayısal yöntem modeli değiştirmez. Sonuç yine aynı tam olay sayısının yaklaşık olasılığıdır; normal dağılım yaklaşımına veya farklı bir olay tanımına geçirilmez.

Faktöriyel kısmının logaritmik düzeltmesinde Stirling açılımı kullanılır; küçük tam sayılar ayrı kontrol edilir. Yakın ortalama ve olay sayısının farkı, büyük logaritmik terimleri doğrudan çıkarmak yerine kararlı bir seriyle değerlendirilir. NIST DLMF kaynağı bu faktöriyel açılımının matematiksel temelini incelemek içindir. Yöntem seçimi, ortalamanın belirsizliğini veya olayların bağımsızlığı sorununu çözmez; yalnız aynı bağıntının sayısal hesabını daha dikkatli yürütür.

Çok küçük olasılık ile imkânsızlık aynı değildir

λ pozitif olduğunda sıfır dahil her geçerli tam k için Poisson olasılığı pozitiftir. Bazı sonuçlar normal ondalık görünüm için çok küçüktür. Örneğin λ = 1000 ve k = 0 için yüzde olasılığı yaklaşık 5,07595889755E−433 biçiminde yazılır. E−433, sayının 10’un eksi 433’üncü kuvvetiyle çarpıldığını gösterir. Uzun bir sıfır dizisi yerine bu gösterim, değerin küçüklüğünü ve pozitif oluşunu korur.

Bilgisayarın normal sayısal karşılığı, yeterince küçük bir değerde sıfıra yuvarlanabilir. Bu, modelin olayı imkânsız saydığı anlamına gelmez. Ekrandaki bilimsel yazım ve ilgili açıklama bu ayrımı belirtir. Çok uzak kuyruklarda yaklaşık hesabın son basamakları daha fazla etkilenebilir; gösterilen bütün basamakları değişmez kesin rakamlar gibi kullanmayın. Böyle bir sonuç için önce ortalamanın ve pencerenin gerçekten doğru yazıldığını kontrol edin.

λ sıfırken ayrı bir durum vardır

λ = 0 girildiğinde araç, pencerede hiç olay oluşmayan sınır modelini kullanır. k = 0 için olasılık 1, yani %100’dür. k pozitifse olasılık gerçek sıfırdır. Bu davranış çok küçük pozitif λ ile aynı değildir. Pozitif ortalama, ne kadar küçük olursa olsun, pozitif olay sayısına matematiksel olarak sıfır olmayan olasılık verir. Ortalama sıfır ile neredeyse sıfır arasındaki ayrımı bilerek koruyun.

Gerçek veride olay görüldüğü halde λ değerini sıfır almak, kullanılan ortalama veya model hakkında soru işaretidir. Geçmişte olay gözlenmemiş olması, gelecekteki olay hızının kesin sıfır olduğunu tek başına kanıtlamaz. Bu araç veri toplama süresini veya ortalama tahmininin güvenilirliğini değerlendirmez. Sıfır ortalama özel durumunu, ölçülmüş belirsiz bir hızın yerine bir kesinlik beyanı olarak kullanmayın.

Yüzde yüzün hemen altında kalan sonuç

Çok küçük pozitif λ ile k = 0 seçildiğinde, hiç olay görülmeme olasılığı bire çok yakındır; yine de birden küçüktür. Yuvarlama normal görünümde %100 yazabilecek kadar küçük bir fark bırakabilir. Böyle bir durumda araç, yüzde yüz ile küçük eksik kısmı birlikte gösterir. “100 − yaklaşık küçük bir değer” yazımı, kesin yüzde yüz ile yuvarlanan yüzde yüzün karıştırılmasını önler.

Eksik kısım yüzde puanı ölçeğinde yazılır. Bu iki terimi aynı ölçekle okuyun. Normal sayı olarak çok küçük bir farkın tutulamaması, λ’nın sıfır olduğu anlamına gelmez. Olasılık satırı da benzer biçimde bir ile küçük farkı ayırır. Bu gösterim özellikle çok küçük ortalamaları karşılaştırırken önemlidir; yalnız yuvarlanmış iki ana değere bakarak senaryoların matematiksel olarak eşit olduğuna karar vermeyin.

Beklenen sayı, varyans ve standart sapma

Sonuç satırlarında beklenen olay sayısı λ, varyans λ ve standart sapma √λ bulunur. Beklenen sayı, tek pencere için zorunlu sayım değildir. Varyans sayımın yayılımını ifade eder; standart sapma ise olay sayısıyla aynı ölçek üzerinden okunabilir. λ = 4 için beklenen sayı dört, varyans dört ve standart sapma ikidir. Bu bilgiler, tam iki olayın yüzde olasılığından farklı özelliklerdir.

Standart sapmayı ortalamaya ekleyip çıkarmak, tek başına belirli güven düzeyine sahip bir aralık oluşturmaz. Sayım ayrık ve negatif olmayan tam sayılardan oluşur; özellikle küçük ortalamalarda simetrik bir aralık uygun bir özet olmayabilir. Araç güven aralığı, tahmin aralığı veya istatistiksel test üretmez. Yardımcı değerler dağılımın temel büyüklüklerini gösterir; gözlenmiş verideki bütün değişkenlik kaynaklarının kapsandığını söylemez.

Bir sonucun kaydını hazırlayın

Sonucu paylaşırken yalnız yüzdeyi taşımayın. Olayın tanımı, pencerenin süresi veya büyüklüğü, kullanılan ortalama ve istenen tam sayı birlikte yazılmalıdır. “On beş dakikada tam bir yeni kayıt, aynı pencere için λ = 2” açıklaması, “%27 civarında” ifadesinden daha kullanılabilirdir. Sayıları yeniden hesaplarken hız dönüşümünü ve k’nin gerçekten tam sayı olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.

Form λ ve k için 0–10000 aralığını destekler; λ kesirli, k tam sayılıdır. Bu giriş sınırı dağılımın matematiksel olarak daha büyük k değerlerine kapalı olduğunu söylemez. Birimler veya açıklama sözcükleri sayı alanına yazılmaz; ortalamayı seçtiğiniz pencereye dönüştürüp yalnız sayıyı girin. Tam, en az ve en fazla sorularını ayırın; bu sayfanın çıktısını başka bir olayın toplam olasılığı gibi etiketlemeyin.

Yöntemi kaynağından inceleyin

NIST/SEMATECH istatistik el kitabı Poisson olasılık kütlesini ve dağılımın temel büyüklüklerini açıklar. OpenStax’ın istatistik bölümü, olay sayısının sabit pencereye bağlanmasını ve ortalama hızın o pencereye taşınmasını ele alır. Kaynak kartları bu tanımları incelemek içindir. Kaynaklarda bir yöntemin yer alması, sizin veri kümenizde varsayımların doğru olduğu veya bir operasyonel kararın onaylandığı anlamına gelmez.

Bu rehberdeki hesaplar ve örnek pencereler, araçtaki iki girişin nasıl okunacağını gösterir. Kaynak kitapların metin, alıştırma veya görselleri aktarılmaz. Sayısal sonuç ile modelin uygunluğu ayrı değerlendirilir: doğru uygulanmış bir formül, yanlış pencere veya değişen hızla yine yanıltıcı bir senaryo verebilir. Olasılığı kullanmadan önce olay tanımını ve ortalamanın dayandığı bilgileri gözden geçirmek, bu ayrımı korumanın pratik yoludur.