Kalan Denklik Sistemi

Her satıra önce kalanı, ardından noktalı virgül ve modülü yazın. Bir sonraki koşul için yeni satıra geçin. Örneğin 4;7 satırı yediye göre dört kalanını isteyen tek koşuldur. Satırda tam iki sayı bulunmalıdır. Başlık, eşitlik, x harfi, mod sözcüğü veya açıklama eklemeyin. Alan genel bir cebirsel ifade değerlendirmez. Koşulların sırasını kendi inceleme amacınıza göre seçebilirsiniz; sonuçtaki Koşul 1, Koşul 2 gibi adlar girilen satırların sırasını belirtir. Bu adlar koşulların önem sıralaması değildir.

En az 2, en fazla 20 koşul kabul edilir. Toplam girdi uzunluğu 4.000 karakteri aşmamalıdır. Her sayı, çevresindeki boşluklar ayıklandıktan sonra en fazla 64 karakter içerebilir. Sayıların çevresindeki boşluklar ve alanın dışındaki boşluklar temizlenir; koşulların arasında boş satır bırakılmamalıdır. Eksik sayı veya boş bölüm sıfırla tamamlanmaz. Satırları başka bir belgeden aktarırken noktalı virgüllerin ve satır sonlarının doğru kaldığını kontrol edin. Yanlış ayırıcı, iki ayrı koşulu tek satırda birleştirebilir veya sayıların anlamını bozabilir.

Kalan işaretli tam sayı olabilir; negatif değer için klavyedeki kısa çizgi eksi işaretini kullanın. Modül ise işaretsiz pozitif tam sayı olmalıdır. Modül sıfır veya negatif olamaz, başına artı işareti de yazılmaz. Ondalık sayı, kesir, bilimsel gösterim, binlik gruplama ve aritmetik ifade kabul edilmez. Baştaki sıfırlar geçerlidir; negatif sıfır kalan olarak girilirse sıfıra dönüşür. Bu yazım düzeni hesapta tam sayıların kesin korunmasını sağlar. Bir sayıyı yuvarlamak veya kesirli bir değeri tam sayıya çevirmek giriş düzeltmesi olarak kendiliğinden yapılmaz.

Girilen kalanın mutlak değeri en fazla 10^30, modül ise 1 ile 10^30 arasında olabilir. Bu üst sınır 1'in ardından 30 sıfır gelen sayıdır. Alana üs ifadesi yerine sayının rakamlarını yazın. Açıklamada görülen binlik noktalarını da girdiyle karıştırmayın. Koşullar sınırlar içinde olsa bile ortak periyot modüllerden çok daha uzun olabilir; sonucu kaydederken bütün basamakları koruyun. Büyük bir sayı görmek hesabın yaklaşık olduğu anlamına gelmez. Aracın yanıtını kısa ondalık gösterime çevirmek aynı kesin tam sayı bilgisini taşımayabilir.

Her kalan a, kendi modülü m için sıfır ile m'nin bir eksiği arasındaki eşdeğer b değerine çevrilir. Böylece 0 ≤ b < m olur. Bu işlem koşulu değiştirmez; aynı kalan sınıfının standart temsilcisini seçer. Örneğin negatif bir sayı ile pozitif başka bir sayı aynı modüle göre eşdeğer olabilir. Normal kalan sütunu bu dönüşümü görünür kılar. Girilen kalan sütunu da özgün sayıyı koruduğundan iki değeri karşılaştırabilirsiniz. Modül bu işlem sırasında küçültülmez, büyütülmez veya başka bir modülle değiştirilmez.

Negatif kalan için normalleştirme, yalnız eksi işaretini kaldırmak değildir. Sayıya modülün uygun bir katı eklenerek belirtilen aralığa girilir. Aynı biçimde büyük pozitif bir kalanın yalnız son rakamını almak genel olarak doğru değildir. Koşulun anlamı modüle göre belirlenir. Sonuçtaki normal kalanı kendi bölme işleminizle kontrol etmek, özellikle negatif girişlerde yazım hatasını fark etmenize yardımcı olur. Her koşul ayrı modülde değerlendirildiği için bütün satırların normal kalanlarının birbirine eşit olması gerekmez; ortak çözümün her birine ayrı ayrı uyması gerekir.

Ortak çözüm bulunduğunda R, bütün koşulları sağlayan en küçük negatif olmayan tam sayıdır. M pozitif ortak periyottur ve giriş modüllerinin EKOK'una eşittir. R her zaman 0 ≤ R < M aralığındadır. Bütün çözümler R'ye M'nin herhangi bir tam sayı katı eklenerek elde edilir. Buradaki k negatif, sıfır veya pozitif olabilir. Bu nedenle R, bütün tam sayılar içinde en küçük çözüm diye adlandırılmaz; negatif yönde aile devam eder. Belirtilen en küçüklük yalnız negatif olmayan çözümlere ilişkindir.

R'nin kendisi sıfır olabilir. Bu, çözüm bulunmadığını söylemez; sıfırın bütün koşulları sağladığını gösterir. Ortak periyot bir olduğunda standart temsilci sıfırdır ve bütün tam sayılar çözüm olur. Periyot daha büyükse sıfır, o periyodun bütün tam sayı katlarını başlatan temsilcidir. Sonucu okurken temsilci, periyot ve aileyi birlikte koruyun. Tek başına R, diğer çözümlerin aralığını; tek başına M ise doğru kalan sınıfını açıklamaz. İki bilgi birlikte sistemin ortak kesişimini tanımlar.

Modüller ortak bölenler içeriyorsa periyot genellikle modüllerin çarpımı değildir. EKOK, aynı asal çarpanların gereksiz tekrarını kaldırarak ortak tekrar aralığını verir. Buna rağmen yalnız EKOK'u hesaplamak ortak çözüm bulunduğunu kanıtlamaz. Kalanların da ortak bölenlere göre uyumlu olması gerekir. Uyum yoksa modüllerin matematiksel EKOK'u ayrı bir sayı olarak bulunabilir, fakat bu sayıdan ortak çözüm ailesi çıkarılamaz. Araç böyle bir durumda tüm sistem için R ve M'yi uygulanmaz gösterir; daha önceki birkaç koşulun sonucunu bütün sisteme mal etmez.

Son R'nin her koşulu sağlaması, ailedeki diğer sayıların da aynı kalanları vermesinin ilk parçasıdır. İkinci parça M'nin bütün giriş modüllerinin katı olmasıdır. Herhangi bir tam sayı k için M k da her modüle tam bölünür. Bu nedenle R'ye M k eklemek hiçbir koşuldaki kalanı değiştirmez. Pozitif ve negatif k değerleri için aynı gerekçe geçerlidir. Böylece aileyi anlamak için sonsuz sayıda üyeyi tek tek yazmanız gerekmez; temsilcinin uyumu ve ortak periyot birlikte bütün üyeleri kapsar.

Ters yönde de ortak çözümün kapsamı açıklanabilir. R dışında başka bir ortak çözüm x varsa x ile R'nin farkı her giriş modülüne tam bölünür. Dolayısıyla bu fark modüllerin EKOK'unun da katıdır. Bu yüzden x, R + M k biçiminin dışına çıkamaz. Aile yalnız bazı uygun sayıları seçmez; bütün ortak tam sayı çözümlerini temsil eder. R'yi standart aralıkta vermek de aynı aileyi farklı başlangıç sayılarıyla tekrar adlandırmak yerine tek bir temsilciyle okumayı sağlar. Kontrolünüzde hem kalanı hem periyodu korumanızın nedeni bu iki yöndeki ilişkidir.

Koşulların aralarında asal modüllere sahip olması zorunlu değildir. Önceden birleşmiş koşulların ailesi x = R + M k, yeni koşulun normal kalanı b ve modülü m olsun. Yeni koşulu sağlayabilmek için M k ≡ b − R (mod m) gerekir. M ile m'nin EBOB'u g ise bu mümkün olması için g'nin b − R farkını tam bölmesi gerekir. Araç her birleştirmede bu koşulu inceler. Ortak bölen bulunması tek başına hata değildir; önemli olan farkın o ortak bölene uyumudur.

Fark tam bölünüyorsa önceki aile ile yeni koşulun ortak üyeleri bulunabilir. Birleştirmede kullanılan çarpan t, önceki R'ye M'nin kaç katının ekleneceğini belirler. Yeni temsilci bu değer üzerinden bulunur ve yeni pozitif periyot EKOK(M, m) olur. Ardından temsilci yeni periyoda göre standart aralığa alınır. Tablo bu ara sayıları gösterir. t, bütün ailedeki serbest k ile aynı rolü taşımaz; o satırdaki birleştirmeyi kuran belirli bir çarpandır. Son ailede k yine bütün tam sayıları dolaşır.

Bu işlemin dayanağı ortak bölen ve Bézout ilişkileridir. g'ye bölündükten sonra kalan katsayılarla uygun bir modüler çarpan belirlenir. Bazı koşullar önceki aileye zaten dahildir; bu durumda yeni bir sınıf seçmeye gerek kalmayabilir ve t sıfır görünebilir. Bu, koşulun atlandığını söylemez. Araç yeni koşulun uyumunu kontrol ederek ailenin değişmeden kalabildiğini gösterir. Hesabı anlamak için her satırda önceki R ve M ile yeni R ve M'yi birlikte okuyun; yalnız çarpanın büyüklüğünden yeni kısıtın etkisini çıkarmayın.

Modül 1 geçerlidir. Her tam sayı bir ile bölündüğünde sıfır kalan verdiği için bu satır yeni bir sınırlama getirmez. Girilen kalan önce sıfıra normalleştirilir ve koşul yine kayıtta tutulur. Sistemde başka koşullar varsa ortak aile onlar tarafından belirlenir. Modül 1 satırını görmek ortak periyodun mutlaka bir olacağı anlamına gelmez; bütün modüllerin EKOK'u kullanılır. Araç bu özel durumu sıfıra bölme veya olmayan bir ters sayı arama gibi işlemlere zorlamadan ele alır.

Aynı koşulun tekrar yazılması da kabul edilir. Ayrıca farklı görünen iki kalan aynı modüle göre eşdeğer olabilir; bu durumda ikinci satır yeni kısıt getirmeden öncekiyle uyumlu kalır. Buna karşılık aynı modül için farklı normal kalanlar istenirse çelişki oluşur. Bu nedenle tekrarlar sessizce silinmez. Girilen satırlar ayrı koşullar olarak tabloda görünür ve eşdeğerlik veya uyumsuzluk açıkça değerlendirilir. Satır sayısının artması çözüm ailesinin mutlaka daraldığı anlamına gelmez; eklenen koşulun önceki koşullara göre ne söylediği önemlidir.

Bir adımda g, b − R farkını tam bölmüyorsa o ana kadar birleşmiş aile ile yeni koşulun ortak üyesi yoktur. Araç bu ilk çelişkiyi gösterir ve sonraki birleştirmelere devam etmez. Farkın g ile kalanı sıfırdan farklı olarak verilir. Bu sayı fark negatif olduğunda da sıfır ile g'nin bir eksiği arasında standart kalandır. Dolayısıyla negatif bir farkın pozitif kalan vermesi normaldir. Çelişkiyi değerlendirirken farkın kendisini, ortak böleni ve sıfır olmayan kalanı aynı satırda okuyun.

Bir çelişki oluştuğunda daha önceki ara R ve M değerleri bütün sistemin çözümü değildir. Bu değerler yalnız o satıra kadar gelen koşulların birleşimini anlatır. Sonuç kartı çözüm yok der; bütün sistem için bir R, M veya aile üretilmez. Önceki satırlarda birleşme görülmesi bu sonucu değiştirmez. Ortak çözüm bulunmadığı için son R üzerinden bütün özgün koşulların kontrolü de uygulanmaz. Sonuçtaki doğrulanan özgün koşul sayısının sıfır olması, önceki ara birleşmelerin hiç incelenmediği anlamına gelmez; tam sisteme ait son doğrulama bulunmadığını belirtir.

Çelişkiden sonra kalan satırlar işlenmedi olarak gösterilir. Bu satırların ortak aileye uyduğu veya uymadığı sonucunu çıkarmayın; birleştirme o noktada durmuştur. Bununla birlikte bütün giriş satırlarının yazımı ve sayı sınırları hesap öncesinde kontrol edilir. Sonraki bir satırda geçersiz modül veya bozuk sayı varsa önceki olası çelişki bu hatayı örtmez ve girdi kabul edilmez. “İşlenmedi” ifadesi, sayının yazımının hiç okunmadığı anlamına gelmez. Yazım denetimiyle ortak çözüm aramasının bu farklı rollerini ayrı tutun.

Aynı koşulların sırasını değiştirmek, hepsi tutarlıysa ortak çözüm ailesini değiştirmez. Standart R ve ortak periyot M yine aynı olmalıdır. Ancak ara birleşmeler, t çarpanları ve önceki periyotlar farklı görünebilir. Bunlar farklı sırayla aynı kesişime ulaşılmasının sonucudur. Koşulları karşılaştırırken yalnız ara bir satırın değişmesine bakarak matematiksel cevabın değiştiğini varsaymayın. Son aileyi ve bütün koşulların son kontrolünü birlikte okuyun. Kaydınızda giriş sırasını da saklamak adım tablosunu yeniden anlamayı kolaylaştırır.

Uyumsuz bir sistemde sıra değişikliği ilk gösterilen çelişkiyi değiştirebilir. Araç en küçük numaralı çelişen çifti bütün olası satır düzenleri arasında aramaz; verilen sıradaki ilk uyumsuz birleştirmeyi gösterir. Buna rağmen tam sistemin ortak çözümü olmadığı sonucu değişmez. Tek bir sorunlu satırı incelemek istiyorsanız önce hangi önceki aileyle çatıştığını okuyun. Bir satırı kaldırmak veya değiştirmek matematiksel soruyu değiştirir. Düzeltme yalnız gerçek kalan koşulunuzun yanlış aktarıldığına ilişkin bir gerekçeye dayanmalıdır.

Tablonun ilk dört sütunu koşul adını, girilen kalanı, modülü ve normal kalanı verir. Sonraki iki sütun o satırdan hemen önceki ailenin R ve M değerleridir. İlk satırda görülen R = 0 ve M = 1, henüz bir kısıt gelmeden bütün tam sayıların mümkün olduğu başlangıcı anlatır. Bu iki sayı kullanıcıya ait ek koşul değildir. Ortak bölen, fark ve farkın kalanı sütunları birleştirmenin mümkün olup olmadığını açıklar. Böylece sayıların hangi iki aile arasında karşılaştırıldığı görülebilir.

Çarpan t ile yeni R ve M sütunları başarılı birleşmeyi gösterir. Çelişki satırında bunların yerine çizgi bulunur; çünkü yeni ortak aile kurulamaz. Sonraki işlenmeyen satırlarda önceki aileye ve hesaplanan çarpana ilişkin alanlar da çizgiyle gösterilir. Çizgiler sıfır sayı değildir. Sonuç kontrolü sütunu ise tam sistem tutarlıysa son R'nin ilgili modüldeki kalanını verir. Sistemin tamamı çelişkiliyse önceki satırlar yalnız önceki koşulların birleşmesi olarak etiketlenir; bu etiketleri bütün sistemin doğrulandığı şeklinde okumayın.

Ortak çözüm varsa tam sayılar üzerinde sonsuz aile, yoksa sıfır çözüm vardır. Bu araç belirli bir alt ve üst sınır içinde kaç çözüm bulunduğunu ayrıca saymaz. Tablo da çözüm noktalarının listesi değildir; girilen koşulların nasıl birleştirildiğini gösterir. Bir takvim tarihi, iş planı veya kök bulma sonucu üretilmez. Böyle bir kullanım bağlamınız varsa kalan denkliklerini o bağlamdan doğru kurduğunuzdan ayrıca emin olun. Matematiksel ailenin varlığı uygulamadaki bütün ek koşulların sağlandığını tek başına söylemez.

Kesin tam sayı hesabı sayesinde büyük modüllerin ortak periyodu ve temsilcisi bütün basamaklarıyla korunur. En geniş girişlerde periyot yüzlerce basamağa uzayabilir. Bu büyüklük, kullanıcıya yaklaşık bir olasılık veya güven puanı verildiği anlamına gelmez. Sonucu başka bir yere aktarırken R, M ve k'nin tam sayı olması bilgisini birlikte koruyun. Yalnız kısa bir başlangıç parçasını kopyalamak veya son basamakları yuvarlamak başka bir aile oluşturabilir. Kendi kontrolünüzde seçtiğiniz aile üyelerinin bütün modüllerde doğru kalanı verdiğini tam bölmeyle inceleyin.

Hesaplayıcı kullanıcı girdilerini veya sonuçlarını ağ üzerinden göndermez. Her hesap yalnız o anda girilen satırları kullanır; önceki koşullar yeni sisteme eklenmez. Sonucu saklayacaksanız giriş sırasını, özgün kalanları ve modülleri aileyle veya çelişki açıklamasıyla birlikte kaydedin. Bu bilgi, normalleştirme nedeniyle görünüşü değişen negatif kalanın nereden geldiğini de açıklar. Kullanım sırasında bir satırı değiştirdiğinizde bütün sistemi yeniden hesaplayın. Önceki R ve M'ye yalnız elle bir ekleme yaparak yeni koşulun sonucu bulunmuş sayılmaz.

Kaynak olarak [SymPy 1.14.0 Documentation, solve_congruence](https://docs.sympy.org/latest/modules/ntheory.html#sympy.ntheory.modular.solve_congruence) bölümünden yararlanılmıştır. İncelenen kapsam yöntem başlığından ilgili diğer başvuruların sonuna kadar olan bölüm ile görünen sürüm ve sayfa altı bilgileridir; bütün Number Theory sayfasının veya bütün belgelerin okunduğu iddia edilmez. Kaynak, modüllerin aralarında asal olmak zorunda olmadığını ve bazı sistemlerin ortak çözümü bulunmayabileceğini açıklar. Bu rehberdeki ortak bölenle birleştirme, EKOK periyodu, modül 1 ve tekrar açıklamaları özgün matematiksel anlatımla verilmiştir.

Belgede görünen son güncelleme tarihi 27 Nisan 2025'tir. Kaynağa erişim tarihi 18 Ekim 2026, okuma aralığı 14:29:14–14:30:02 UTC'dir. Bu tarihler yöntemin ilk yayın tarihi olarak kullanılmaz; doğrulanmış ilk yayın tarihi verilmez. Hak bildirimi Copyright © 2025 SymPy Development Team olarak korunur. Yöntem için doğrulanmış bireysel yazar adı eklenmez. Belgenin yeniden kullanım lisansı doğrulanmadığından yazılımın lisansının belgelere de aynen uygulandığı varsayılmaz; BSD, Creative Commons veya başka bir yeniden dağıtım izni ileri sürülmez.

Bu rehberin Türkçe anlatımı, hesap uygulaması ve aşağıdaki üç örnek özgün hazırlanmıştır. Kaynağın metni, kodu, örnekleri, tabloları veya şekilleri kopyalanmamıştır. Kaynağa erişim mümkün olması sınırsız yeniden yayımlama izni anlamına gelmez. Atıf, SymPy projesinin bu aracı ya da kullanıcının koşul sistemini onayladığı iddiası da değildir. Açıklanan yöntem ve sınırlar bu tek matematiksel sorunun kapsamını belirler. Ortak aile ile yalnız önceki koşullara ait ara değerleri ayırmak, kaynaktan bağımsız olarak sonuçları doğru kullanmanın önemli bir parçasıdır.

1. Her koşulu kalan ve pozitif modül olarak aynı satırda hazırlayın.

2. Koşulları noktalı virgülle ayırarak en az iki satır halinde girin.

3. Ortak çözüm varsa R, M ve bütün koşulların son kontrolünü birlikte okuyun.

4. Başka çözümler yazmak için ailedeki k yerine istediğiniz tam sayıyı koyun.

1. Koşulları kontrol etmek istediğiniz sırayla girin.

2. İlk çelişen koşulun önceki R ve M değerlerini tablodan okuyun.

3. Ortak bölen g ile farkın ve sıfır olmayan kalanın ilişkisini inceleyin.

4. İşlenmedi olarak gösterilen sonraki satırları doğrulanmış saymayın.

Koşullar alanına aşağıdaki satırları sırayla girin. Her tablo satırındaki metin tek bir kalan ve modül koşuludur.

Sonuç kartı: Ortak çözüm ailesi: x = 14 + 90 k; k ∈ Z.

Birleştirme tablosu bütün 13 sütunuyla aşağıdadır. Çizgiler hesaplanmış sıfır anlamına gelmez.

İlk iki koşul birleştiğinde temsilci 14 ve periyot 18 olur. Üçüncü koşul 15'e göre 14 kalanını ister; bu temsilci onu da sağlar. Periyot ise 18 ile 15'in EKOK'u olan 90'a çıkar. Sonuç x = 14 + 90 k ailesidir ve son R bütün özgün modüllerde kontrol edilir. Modüller ortak bölenler içerse de farklar uygun bölünebilirliği sağladığından çelişki oluşmaz. Ara tablodaki önceki değerlerle son ailenin değerlerini ayrı okuyun.

Koşullar alanına aşağıdaki satırları sırayla girin. Her tablo satırındaki metin tek bir kalan ve modül koşuludur.

Sonuç kartı: Ortak çözüm ailesi: x = 17 + 36 k; k ∈ Z.

Birleştirme tablosu bütün 13 sütunuyla aşağıdadır. Çizgiler hesaplanmış sıfır anlamına gelmez.

-7 sayısı 12'ye göre 5 ile eşdeğerdir. İkinci satır aynı koşulu tekrarlar ve aileyi daraltmaz. Modül 1 satırı da ek kısıt getirmediğinden temsilci 5, periyot 12 olarak kalır. Son koşul 18'e göre 17 kalanını istediğinde birleşme x = 17 + 36 k ailesini verir. Dört özgün koşulun son kontrolleri birlikte sağlanır. Negatif kalan, tekrar ve modül 1 bu örnekte geçerli girişlerdir; hiçbir satır sessizce kaldırılmamıştır.

Koşullar alanına aşağıdaki satırları sırayla girin. Her tablo satırındaki metin tek bir kalan ve modül koşuludur.

Sonuç kartı: Ortak çözüm ailesi: Çözüm yok.

Birleştirme tablosu bütün 13 sütunuyla aşağıdadır. Çizgiler hesaplanmış sıfır anlamına gelmez.

İlk iki koşul x = 9 + 12 k ailesini verir. Üçüncü koşulun normal kalanı 2, modülü 8'dir. Ortak bölen 4 ve fark 2 − 9 = -7 olur. -7'nin 4'e göre normal kalanı 1 olduğundan tam bölünebilirlik yoktur; sistemin ortak çözümü bulunmaz. Önceki 9 ve 12 bütün sistemin R ve M'si olarak sunulmaz. Dördüncü satırın yazımı geçerlidir, ancak önceki çelişki nedeniyle birleştirmesi yapılmamış ve işlenmedi diye belirtilmiştir.